3.1 પ્રસ્તાવના

પ્રકરણ 1 માં, બધા વિદ્યુતભારો, ભલે તે મુક્ત હોય કે બંધાયેલા, સ્થિર માનવામાં આવ્યા હતા. ગતિમાં રહેલા વિદ્યુતભારો વિદ્યુતપ્રવાહનું નિર્માણ કરે છે. આવા પ્રવાહો કુદરતી રીતે ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં થાય છે. વીજળી એક એવી ઘટના છે જેમાં વિદ્યુતભારો વાતાવરણમાંથી વાદળોમાંથી પૃથ્વી પર વહે છે, કેટલીકવાર વિનાશક પરિણામો સાથે. વીજળીમાં વિદ્યુતભારોનો પ્રવાહ સ્થિર નથી, પરંતુ આપણા રોજિંદા જીવનમાં આપણે ઘણાં ઉપકરણો જોઈએ છીએ જ્યાં વિદ્યુતભારો સ્થિર રીતે વહે છે, જેમ કે નદીમાં પાણી સરળતાથી વહે છે. ટૉર્ચ અને સેલ-ચાલિત ઘડિયાળ આવા ઉપકરણોના ઉદાહરણો છે. વર્તમાન પ્રકરણમાં, આપણે સ્થિર વિદ્યુતપ્રવાહો સંબંધિત કેટલાક મૂળભૂત નિયમોનો અભ્યાસ કરીશું.

3.2 વિદ્યુતપ્રવાહ

કલ્પના કરો કે વિદ્યુતભારોના પ્રવાહની દિશાને લંબરૂપે એક નાનું ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે. ધન અને ઋણ બંને વિદ્યુતભારો આ ક્ષેત્રફળમાં આગળ અને પાછળ વહી શકે છે. આપેલ સમય અંતરાલ $t$ માં, ધારો કે $q_{+}$ એ ધન વિદ્યુતભારની ચોખ્ખી માત્રા (એટલે કે, આગળની દિશામાંથી પાછળની દિશામાં બાદ કરતાં) છે જે આગળની દિશામાં ક્ષેત્રફળમાંથી વહે છે. તે જ રીતે, ધારો કે $q_{-}$ એ ઋણ વિદ્યુતભારની ચોખ્ખી માત્રા છે જે આગળની દિશામાં ક્ષેત્રફળમાંથી વહે છે. સમય અંતરાલ $t$ માં આગળની દિશામાં ક્ષેત્રફળમાંથી વહેતા વિદ્યુતભારની ચોખ્ખી માત્રા, તો પછી, $q=q_{+}-q_{-}$ છે. આ $t$ ના સમપ્રમાણમાં છે સ્થિર પ્રવાહ માટે અને ભાગફળ

$$ \begin{equation*} I=\frac{q}{t} \tag{3.1} \end{equation*} $$

ને આગળની દિશામાં ક્ષેત્રફળમાંથી વહેતો પ્રવાહ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. (જો તે ઋણ સંખ્યા બને, તો તે પાછળની દિશામાં પ્રવાહ સૂચવે છે.)

પ્રવાહો હંમેશા સ્થિર હોતા નથી અને તેથી વધુ સામાન્ય રીતે, આપણે પ્રવાહને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ધારો કે $\Delta Q$ એ સમય અંતરાલ $\Delta t [$ દરમિયાન એક વાહકના આડછેદમાંથી વહેતો ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર છે એટલે કે, સમય $t$ અને $(t+\Delta t)]$ વચ્ચે. તો પછી, સમય $t$ પર વાહકના આડછેદમાંથી વહેતો પ્રવાહ $\Delta Q$ અને $\Delta t$ ના ગુણોત્તરની કિંમત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યારે $\Delta t$ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે,

$$ \begin{equation*} I(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t} \tag{3.2} \end{equation*} $$

SI એકમોમાં, પ્રવાહનો એકમ એમ્પિયર છે. એમ્પિયરને પ્રવાહોના ચુંબકીય અસરો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે આપણે આગળના પ્રકરણમાં અભ્યાસ કરીશું. એમ્પિયર સામાન્ય રીતે ઘરેલું ઉપકરણોમાં પ્રવાહોની ક્રમનું હોય છે. સરેરાશ વીજળી હજારો એમ્પિયરના ક્રમના પ્રવાહો વહન કરે છે અને બીજી આત્યંતિક તરફ, આપણા ચેતાઓમાં પ્રવાહો માઇક્રોએમ્પિયરમાં હોય છે.

3.3 વાહકોમાં વિદ્યુતપ્રવાહો

જો વિદ્યુતક્ષેત્ર લાગુ પાડવામાં આવે તો વિદ્યુતભાર પર બળ અનુભવાશે. જો તે ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોય, તો તે આ રીતે ગતિ કરશે જે પ્રવાહમાં ફાળો આપે છે. કુદરતમાં, મુક્ત આવેશિત કણો અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે વાતાવરણની ઉપરની સ્તરોમાં જેને આયોનોસ્ફિયર કહેવામાં આવે છે. જો કે, પરમાણુઓ અને અણુઓમાં, ઋણ આવેશિત ઇલેક્ટ્રોન અને ધન આવેશિત ન્યુક્લિયસ એકબીજા સાથે બંધાયેલા હોય છે અને તેથી ગતિ કરવા માટે મુક્ત નથી. સ્થૂળ દ્રવ્ય ઘણા અણુઓથી બનેલું છે, ઉદાહરણ તરીકે પાણીનો એક ગ્રામ લગભગ $10^{22}$ અણુઓ ધરાવે છે. આ અણુઓ એટલા ગાઢ રીતે ભરાયેલા છે કે ઇલેક્ટ્રોન હવે વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયસ સાથે જોડાયેલા નથી. કેટલીક સામગ્રીમાં, ઇલેક્ટ્રોન હજુ પણ બંધાયેલા રહેશે, એટલે કે, જો વિદ્યુતક્ષેત્ર લાગુ પાડવામાં આવે તો પણ તેઓ પ્રવેગિત થશે નહીં. અન્ય સામગ્રીમાં, ખાસ કરીને ધાતુઓમાં, કેટલાક ઇલેક્ટ્રોન વ્યવહારિક રીતે સ્થૂળ સામગ્રીની અંદર ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોય છે. આ સામગ્રી, સામાન્ય રીતે વાહકો તરીકે ઓળખાય છે, જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર લાગુ પાડવામાં આવે છે ત્યારે તેમાં વિદ્યુતપ્રવાહો વિકસિત થાય છે.

જો આપણે ઘન વાહકોને ધ્યાનમાં લઈએ, તો અલબત્ત પરમાણુઓ એકબીજા સાથે દૃઢતાથી બંધાયેલા હોય છે જેથી પ્રવાહ ઋણ આવેશિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા વહન કરવામાં આવે છે. જો કે, અન્ય પ્રકારના વાહકો પણ છે જેમ કે વિદ્યુતવિભાજ્ય દ્રાવણો જ્યાં ધન અને ઋણ બંને વિદ્યુતભારો ગતિ કરી શકે છે. આપણી ચર્ચાઓમાં, આપણે ફક્ત ઘન વાહકો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું જેથી પ્રવાહ સ્થિર ધન આયનોની પૃષ્ઠભૂમિમાં ઋણ આવેશિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા વહન કરવામાં આવે.

પહેલા એ કેસ ધ્યાનમાં લો જ્યારે કોઈ વિદ્યુતક્ષેત્ર હાજર નથી. ઇલેક્ટ્રોન ઉષ્મીય ગતિને કારણે ગતિ કરતા હશે જે દરમિયાન તેઓ સ્થિર આયનો સાથે અથડામણ કરે છે. આયન સાથે અથડામણ કરતો ઇલેક્ટ્રોન અથડામણ પહેલાની જેમ જ ઝડપ સાથે બહાર આવે છે. જો કે, અથડામણ પછી તેના વેગની દિશા સંપૂર્ણ રીતે રેન્ડમ હોય છે. આપેલ સમયે, ઇલેક્ટ્રોનના વેગ માટે કોઈ પસંદગીની દિશા નથી. આમ સરેરાશ, કોઈપણ દિશામાં મુસાફરી કરતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા જેટલી હશે. તેથી, કોઈ ચોખ્ખો વિદ્યુતપ્રવાહ હશે નહીં.

ચાલો હવે જોઈએ કે જો વિદ્યુતક્ષેત્ર લાગુ પાડવામાં આવે તો આવા વાહકના ટુકડા પર શું થાય છે. આપણા વિચારો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા માટે, ત્રિજ્યા $R$ ના સિલિન્ડરના આકારમાં વાહકની કલ્પના કરો (ફિગ. 3.1). ધારો કે હવે આપણે સમાન ત્રિજ્યાના ડાઇઇલેક્ટ્રિકની બે પાતળી વર્તુળાકાર ડિસ્ક લઈએ અને એક ડિસ્ક પર વિતરિત ધન વિદ્યુતભાર $+Q$ મૂકીએ અને તે જ રીતે બીજી ડિસ્ક પર $-Q$ મૂકીએ. આપણે બંને ડિસ્કને સિલિન્ડરની બે સપાટ સપાટીઓ પર જોડીએ છીએ. વિદ્યુતક્ષેત્ર સર્જાશે અને તે ધનથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશિત થશે. ઇલેક્ટ્રોન આ ક્ષેત્ર દ્વારા $+Q$ તરફ પ્રવેગિત થશે. તેથી તેઓ વિદ્યુતભારોને તટસ્થ કરવા માટે ગતિ કરશે. ઇલેક્ટ્રોન, જ્યાં સુધી તેઓ ગતિ કરી રહ્યા છે, ત્યાં સુધી વિદ્યુતપ્રવાહનું નિર્માણ કરશે. તેથી ધ્યાનમાં લેવાયેલી પરિસ્થિતિમાં, ખૂબ જ ટૂંકા સમય માટે પ્રવાહ હશે અને તે પછી કોઈ પ્રવાહ નહીં.

આકૃતિ 3.1 ધાતુના સિલિન્ડરના છેડે મૂકેલા વિદ્યુતભારો $+Q$ અને $-Q$. ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતભારોને તટસ્થ કરવા માટે સર્જાયેલા વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે વિસરણ કરશે. આમ પ્રવાહ થોડા સમય પછી બંધ થઈ જશે જ્યાં સુધી વિદ્યુતભારો $+Q$ અને $-Q$ સતત પુનઃભરાતા નથી.

આપણે એક પદ્ધતિની પણ કલ્પના કરી શકીએ છીએ જ્યાં સિલિન્ડરના છેડા તાજા વિદ્યુતભારો સાથે સપ્લાય કરવામાં આવે છે જેથી વાહકની અંદર ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા તટસ્થ થયેલા કોઈપણ વિદ્યુતભારોની ભરપાઈ કરી શકાય. તે કિસ્સામાં, વાહકના શરીરમાં સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર હશે. આનું પરિણામ ટૂંકા સમયગાળા માટેના પ્રવાહને બદલે સતત પ્રવાહ તરફ દોરી જશે. પદ્ધતિઓ, જે સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર જાળવી રાખે છે તે સેલ અથવા બેટરી છે જેનો આપણે આ પ્રકરણમાં પછી અભ્યાસ કરીશું. આગળના વિભાગોમાં, આપણે વાહકોમાં સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્રના પરિણામે થતા સ્થિર પ્રવાહનો અભ્યાસ કરીશું.

3.4 ઓહમનો નિયમ

આકૃતિ 3.2 લંબાઈ $l$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ A ધરાવતી લંબચોરસ સ્લેબ માટે સંબંધ $\mathrm{R}=\rho \mathrm{l} / \mathrm{A}$ દર્શાવે છે.

પ્રવાહોના પ્રવાહ સંબંધિત એક મૂળભૂત નિયમ જી.એસ. ઓહમ દ્વારા 1828 માં શોધવામાં આવ્યો હતો, પ્રવાહોના પ્રવાહ માટે જવાબદાર ભૌતિક પદ્ધતિ શોધાયા પહેલા લાંબા સમય પહેલા. કલ્પના કરો કે એક વાહક જેમાંથી પ્રવાહ $I$ વહી રહ્યો છે અને ધારો કે $V$ એ વાહકના છેડા વચ્ચેનો સંભવિત તફાવત છે. તો ઓહમનો નિયમ જણાવે છે કે

$$ \begin{align*} V & \propto I \\ \text { or, } V & =R I \tag{3.3} \end{align*} $$

જ્યાં સમપ્રમાણતાનો અચળાંક $R$ ને વાહકનો પ્રતિરોધ કહેવામાં આવે છે. પ્રતિરોધનો SI એકમ ઓહમ છે, અને તેને પ્રતીક $\Omega$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. પ્રતિરોધ $R$ માત્ર વાહકની સામગ્રી પર જ નહીં પરંતુ વાહકના પરિમાણો પર પણ આધાર રાખે છે. $R$ ની વાહકના પરિમાણો પરની અવલંબન નીચે પ્રમાણે સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે.

જ્યોર્જ સિમોન ઓહમ (1787– 1854) જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી, મ્યુનિખમાં પ્રોફેસર. ઓહમ તેમના નિયમ તરફ દોરી ગયા હતા ઉષ્માના વહન વચ્ચેની સામ્યતા દ્વારા: વિદ્યુતક્ષેત્ર તાપમાન ઢાળ સાથે સમાન છે, અને વિદ્યુતપ્રવાહ ઉષ્મા પ્રવાહ સાથે સમાન છે.

ધારો કે સમીકરણ (3.3) ને સંતોષતો વાહક લંબાઈ $l$ અને આડછેદીય ક્ષેત્રફળ $A$ ની સ્લેબના રૂપમાં છે [ફિગ. 3.2(a)]. કલ્પના કરો કે આવી બે સમાન સ્લેબને બાજુમાં બાજુમાં મૂકવામાં આવી છે [ફિગ. 3.2(b)], જેથી સંયોજનની લંબાઈ $2 l$ હોય. સંયોજનમાંથી વહેતો પ્રવાહ કોઈપણ સ્લેબમાંથી વહેતા પ્રવાહ જેટલો જ છે. જો $V$ પ્રથમ સ્લેબના છેડા વચ્ચેનો સંભવિત તફાવત છે, તો $V$ પણ બીજી સ્લેબના છેડા વચ્ચેનો સંભવિત તફાવત છે કારણ કે બીજી સ્લેબ પ્રથમ સમાન છે અને બંનેમાંથી સમાન પ્રવાહ I વહે છે. સંયોજનના છેડા વચ્ચેનો સંભવિત તફાવત સ્પષ્ટ રીતે બે વ્યક્તિગત સ્લેબ વચ્ચેના સંભવિત તફાવતનો સરવાળો છે અને તેથી $2 V$ બરાબર છે. સંયોજનમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે અને સંયોજન $R_{\mathrm{C}}$ નો પ્રતિરોધ [સમીકરણ (3.3) માંથી] છે,

$$ \begin{equation*} R_{C}=\frac{2 V}{I}=2 R \tag{3.4} \end{equation*} $$

કારણ કે $V / I=R$, કોઈપણ સ્લેબનો પ્રતિરોધ. આમ, વાહકની લંબાઈ બમણી કરવાથી પ્રતિરોધ બમણો થાય છે. સામાન્ય રીતે, તો પ્રતિરોધ લંબાઈના સમપ્રમાણમાં છે,

$$ \begin{equation*} R \propto l \tag{3.5} \end{equation*} $$

આગળ, કલ્પના કરો કે સ્લેબને લંબાઈના સમયે કાપીને બે ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જેથી સ્લેબને લંબાઈ $l$ ની બે સમાન સ્લેબના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય, પરંતુ દરેકનું આડછેદીય ક્ષેત્રફળ $A / 2$ હોય [ફિગ. 3.2(c)].

સ્લેબ વચ્ચે આપેલ વોલ્ટેજ $V$ માટે, જો $I$ સંપૂર્ણ સ્લેબમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે, તો સ્પષ્ટ છે કે બે અર્ધ-સ્લેબમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I / 2$ છે. કારણ કે અર્ધ-સ્લેબના છેડા વચ્ચેનો સંભવિત તફાવત $V$ છે, એટલે કે, સંપૂર્ણ સ્લેબ જેટલો જ, દરેક અર્ધ-સ્લેબ $R_{1}$ નો પ્રતિરોધ છે

$$ \begin{equation*} R_{1}=\frac{V}{(I / 2)}=2 \frac{V}{I}=2 R \tag{3.6} \end{equation*} $$

આમ, વાહકના આડછેદના ક્ષેત્રફળને અડધું કરવાથી પ્રતિરોધ બમણો થાય છે. સામાન્ય રીતે, તો પ્રતિરોધ $R$ આડછેદીય ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,

$$ \begin{equation*} R \propto \frac{1}{A} \tag{3.7} \end{equation*} $$

સમીકરણો (3.5) અને (3.7) ને જોડીને, આપણી પાસે છે

$$ \begin{equation*} R \propto \frac{l}{A} \tag{3.8} \end{equation*} $$

અને તેથી આપેલ વાહક માટે

$$ \begin{equation*} R=\rho \frac{l}{A} \tag{3.9} \end{equation*} $$

જ્યાં સમપ્રમાણતાનો અચળાંક $\rho$ વાહકની સામગ્રી પર આધાર રાખે છે પરંતુ તેના પરિમાણો પર નથી. $\rho$ ને પ્રતિરોધકતા કહેવામાં આવે છે. છેલ્લા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, ઓહમનો નિયમ વાંચે છે

$$ \begin{equation*} V=I \times R=\frac{I \rho}{A} \tag{3.10} \end{equation*} $$

દરેક એકમ ક્ષેત્રફળ (પ્રવાહને લંબરૂપે લેવામાં આવે છે) માં પ્રવાહ, $I / A$, ને પ્રવાહ ઘનતા કહેવામાં આવે છે અને તેને $j$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. પ્રવાહ ઘનતાના SI એકમો $\mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}$ છે. વધુમાં, જો $E$ એ છેડા પરના સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રનું માન હોય તો $E l$ છે. આનો ઉપયોગ કરીને, છેલ્લું સમીકરણ વાંચે છે

$$ \begin{align*} & E l=j \rho l \\ \text { or, } & E=j \rho \tag{3.11} \end{align*} $$

$E$ અને $j$ ના મૂલ્યો માટેનો ઉપરોક્ત સંબંધ ખરેખર વેક્ટર સ્વરૂપમાં રચી શકાય છે. પ્રવાહ ઘનતા, (જેને આપણે પ્રવાહને લંબરૂપ એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પ્રવાહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે) $\mathbf{E}$ સાથે પણ નિર્દેશિત છે, અને તે પણ એક વેક્ટર $\mathbf{j}(\equiv j \mathbf{E} / \mathrm{E})$ છે. આમ, છેલ્લું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે,

$$ \begin{align*} \mathbf{E} & =\mathbf{j} \rho \tag{3.12}\\ \text { or, } & \mathbf{j}=\sigma \mathbf{E} \tag{3.13} \end{align*} $$

જ્યાં $\sigma \equiv 1 / \rho$ ને વાહકતા કહેવામાં આવે છે. ઓહમનો નિયમ ઘણીવાર સમીકરણ (3.3) ઉપરાંત સમીકરણ (3.13) માં સમકક્ષ સ્વરૂપમાં જણાવવામાં આવે છે. આગલા વિભાગમાં, આપણે ઇલેક્ટ્રોનના વિસરણની લાક્ષણિકતાઓમાંથી ઉદ્ભવતા ઓહમના નિયમના મૂળને સમજવાનો પ્રયાસ કરીશું.

3.5 ઇલેક્ટ્રોનનું વિસરણ અને પ્રતિરોધકતાનું મૂળ

જેમ પહેલા ઉલ્લેખ કર્યો છે, ઇલેક્ટ્રોન ભારે સ્થિર આયનો સાથે અથડામણ કરશે, પરંતુ અથડામણ પછી, તે સમાન ઝડપ સાથે પરંતુ રેન્ડમ દિશાઓમાં બહાર આવશે. જો આપણે બધા ઇલેક્ટ્રોનને ધ્યાનમાં લઈએ, તો તેમનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય હશે કારણ કે તેમની દિશાઓ રેન્ડમ હોય છે. આમ, જો $N$ ઇલેક્ટ્રોન હોય અને $i^{\text {th }}$ ઇલેક્ટ્રોન $(i=1,2,3, \ldots N)$ નો આપેલ સમયે વેગ $\mathbf{v}_{i}$ હોય, તો

$$ \begin{equation*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{v}_{i}=0 \tag{3.14} \end{equation*} $$

હવે એ પરિસ્થિતિ ધ્યાનમાં લો જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર હાજર હોય. ઇલેક્ટ્રોન આ ક્ષેત્ર દ્વારા પ્રવેગિત થશે

$$ \begin{equation*} \mathbf{a}=\frac{-e \mathbf{E}}{m} \tag{3.15} \end{equation*} $$

જ્યાં $-e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $\boldsymbol{m}$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે. ફરીથી આપેલ સમય $\boldsymbol{t}$ પર $\boldsymbol{i^\text {th }}$ ઇલેક્ટ્રોનને ધ્યાનમાં લો. આ ઇલેક્ટ્રોનની છેલ્લી અથડામણ $t$ પહેલા કેટલાક સમય થઈ હશે, અને ધારો કે $t_{i}$ એ તેની છેલ્લી અથડામણ પછી વીતેલો સમય છે. જો $\mathbf{v_i}$ તેની છેલ્લી અથડામણ પછી તરત જ તેનો વેગ હતો, તો સમય $t$ પર તેનો વેગ $\mathbf{V}_{i}$ છે

$$ \begin{equation*} \mathbf{v} _{i}=\mathbf{v} _{i}+\left(-\frac{e \mathbf{E}}{m}\right) t _{i} \tag{3.16} \end{equation*} $$

કારણ કે તેની છેલ્લી અથડામણથી શરૂ કરીને તે સમય અંતરાલ $t_{i}$ માટે સમીકરણ (3.15) દ્વારા આપવામાં આવેલા પ્રવેગ સાથે પ્રવેગિત થયો હતો (ફિગ. 3.3). સમય $t$ પર ઇલેક્ટ્રોનનો સરેરાશ વ