5.1 પ્રસ્તાવના

ચુંબકીય ઘટનાઓ પ્રકૃતિમાં સાર્વત્રિક છે. વિશાળ, દૂરની ગેલેક્સીઓ, સૂક્ષ્મ અદૃશ્ય પરમાણુઓ, માનવો અને પ્રાણીઓ બધા જ વિવિધ સ્રોતોમાંથી આવતા અનેક ચુંબકીય ક્ષેત્રો દ્વારા સંપૂર્ણપણે વ્યાપ્ત છે. પૃથ્વીનું ચુંબકત્વ માનવ વિકાસ પહેલાંનું છે. ચુંબક (magnet) શબ્દ ગ્રીસમાં આવેલા મેગ્નેશિયા નામના એક ટાપુના નામ પરથી ઉતરી આવ્યો છે, જ્યાં ચુંબકીય અયસ્કના ભંડાર મળી આવ્યા હતા, જે લગભગ $600 \mathrm{BC}$ પહેલાં જાણીતા હતા.

પાછલા પ્રકરણમાં આપણે શીખ્યા છીએ કે ગતિમાન વિદ્યુતભારો અથવા વિદ્યુતપ્રવાહો ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે. ઓર્સ્ટેડ, એમ્પીયર, બાયોટ અને સાવર્ટ જેવા વૈજ્ઞાનિકોને આ શોધનો શ્રેય આપવામાં આવે છે, જે ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં થઈ હતી.

આ પ્રકરણમાં, આપણે ચુંબકત્વને એક સ્વતંત્ર વિષય તરીકે જોઈશું. ચુંબકત્વ વિશેની કેટલીક સામાન્ય રીતે જાણીતી વિચારસરણીઓ નીચે મુજબ છે:

(i) પૃથ્વી ચુંબકની જેમ વર્તે છે, જેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ભૌગોલિક દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ લગભગ નિર્દેશિત હોય છે.

(ii) જ્યારે એક દંડચુંબકને મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે છે, ત્યારે તે ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં સંકેત કરે છે. જે છેડો ભૌગોલિક ઉત્તર તરફ સંકેત કરે છે તેને ઉત્તર ધ્રુવ અને જે છેડો ભૌગોલિક દક્ષિણ તરફ સંકેત કરે છે તેને ચુંબકનો દક્ષિણ ધ્રુવ કહેવામાં આવે છે.

(iii) જ્યારે બે ચુંબકોના ઉત્તર ધ્રુવો (અથવા દક્ષિણ ધ્રુવો) નજીક લાવવામાં આવે છે ત્યારે એક અપાકર્ષણ બળ લાગે છે. તેનાથી વિપરીત, એક ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવ અને બીજાના દક્ષિણ ધ્રુવ વચ્ચે આકર્ષણ બળ હોય છે.

(iv) આપણે ચુંબકના ઉત્તર અથવા દક્ષિણ ધ્રુવને અલગ કરી શકતા નથી. જો એક દંડચુંબકને બે ભાગમાં તોડવામાં આવે, તો આપણને કંઈક નબળા ગુણધર્મોવાળા બે સમાન દંડચુંબકો મળે છે. વિદ્યુતભારોથી વિપરીત, ચુંબકીય એકધ્રુવીય તરીકે ઓળખાતા અલગ ચુંબકીય ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવો અસ્તિત્વમાં નથી.

(v) લોખંડ અને તેના મિશ્રધાતુઓમાંથી ચુંબકો બનાવવાનું શક્ય છે.

આપણે દંડચુંબકના વર્ણન અને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેના વર્તણૂકથી શરૂઆત કરીએ છીએ. આપણે ચુંબકત્વનો ગૉસનો નિયમ વર્ણવીએ છીએ. તે પછી આપણે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના વર્ણનથી તેને આગળ ચલાવીએ છીએ. આગળ આપણે વર્ણવીએ છીએ કે કેવી રીતે પદાર્થોને તેમના ચુંબકીય ગુણધર્મોના આધારે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. આપણે પેરા-, ડાયા- અને ફેરો-ચુંબકત્વ વર્ણવીએ છીએ. આપણે વિદ્યુતચુંબકો અને કાયમી ચુંબકો પરના વિભાગ સાથે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ.

5.2 દંડચુંબક

આકૃતિ 5.1 દંડચુંબકને ઘેરતા લોખંડના ભૂકાની ગોઠવણી. આ નમૂનો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓનું અનુકરણ કરે છે. આ નમૂનો સૂચવે છે કે દંડચુંબક એક ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ છે.

પ્રખ્યાત ભૌતિકશાસ્ત્રી આલ્બર્ટ આઇન્સ્ટાઈનની બાળપણની સૌથી પહેલી યાદોમાંની એક તેમના સંબંધી દ્વારા ભેટમાં મળેલા ચુંબકની હતી. આઇન્સ્ટાઈન મંત્રમુગ્ધ થઈ ગયા હતા, અને તેની સાથે અનંત રમ્યા હતા. તેમને આશ્ચર્ય થયું કે કેવી રીતે ચુંબક તેનાથી દૂર મૂકેલી અને કોઈપણ રીતે સ્પ્રિંગ અથવા દોરી દ્વારા તેની સાથે જોડાયેલી ન હોય તેવી ખીલીઓ અથવા પિન જેવી વસ્તુઓને અસર કરી શકે છે.

આપણો અભ્યાસ ટૂંકા દંડચુંબક પર મૂકેલી કાચની શીટ પર છાંટેલા લોખંડના ભૂકાની તપાસ કરીને શરૂ કરીએ છીએ. લોખંડના ભૂકાની ગોઠવણી આકૃતિ 5.1 માં બતાવેલ છે. લોખંડના ભૂકાનો નમૂનો સૂચવે છે કે ચુંબકમાં વિદ્યુત દ્વિધ્રુવના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભાર જેવા બે ધ્રુવો છે. પ્રસ્તાવના વિભાગમાં ઉલ્લેખિત મુજબ, એક ધ્રુવને ઉત્તર ધ્રુવ અને બીજાને દક્ષિણ ધ્રુવ તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યારે મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે છે, ત્યારે આ ધ્રુવો અનુક્રમે ભૌગોલિક ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવો તરફ લગભગ સંકેત કરે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતી સોલેનોઇડની આસપાસ લોખંડના ભૂકાનો સમાન નમૂનો જોવા મળે છે.

5.2.1 ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ

લોખંડના ભૂકાનો નમૂનો આપણને ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ* દોરવાની મંજૂરી આપે છે. આ દંડચુંબક અને વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતી સોલેનોઇડ બંને માટે આકૃતિ 5.2 માં બતાવેલ છે. સરખામણી માટે પ્રકરણ 1, આકૃતિ 1.17(d) જુઓ. વિદ્યુત દ્વિધ્રુવની વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ પણ આકૃતિ 5.2(c) માં પ્રદર્શિત કરવામાં આવી છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દ્રશ્ય અને સાહજિક સમજ છે. તેમના ગુણધર્મો છે:

(i) ચુંબક (અથવા સોલેનોઇડ) ની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ લૂપ બનાવે છે. આ વિદ્યુત દ્વિધ્રુવથી વિપરીત છે, જ્યાં આ ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભાર પરથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે અથવા અનંતતામાં ગુમ થાય છે.

આકૃતિ 5.2 (a) દંડચુંબક, (b) વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતી પરિમિત સોલેનોઇડ અને (c) વિદ્યુત દ્વિધ્રુવની ક્ષેત્ર રેખાઓ. મોટા અંતરે, ક્ષેત્ર રેખાઓ ખૂબ સમાન હોય છે. (i) અને (ii) તરીકે લેબલ કરાયેલ વક્રો બંધ ગૉસીયન સપાટીઓ છે.

(ii) આપેલ બિંદુ પર ક્ષેત્ર રેખાની સ્પર્શક તે બિંદુએ પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\mathbf{B}$ ની દિશાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(iii) પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા જેટલી મોટી હોય, તેટલી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\mathbf{B}$ ની તીવ્રતા મોટી હોય છે. આકૃતિ 5.2(a) માં, પ્રદેશ (ii) ની આસપાસ B પ્રદેશ (i) કરતાં મોટી છે.

(iv) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાને છેદતી નથી, કારણ કે જો તેઓ છેદે તો, છેદન બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અનન્ય ન હોય.

ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વિવિધ રીતે દોરી શકાય છે. એક રસ્તો એ છે કે વિવિધ સ્થાનોએ નાની ચુંબકીય કંપાસ સોય મૂકવી અને તેનું અભિગમન નોંધવું. આ આપણને અવકાશમાં વિવિધ બિંદુઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાનો ખ્યાલ આપે છે.

5.2.2 સમતુલ્ય સોલેનોઇડ તરીકે દંડચુંબક

આકૃતિ 5.3 (a) દંડચુંબક સાથેની સમાનતા દર્શાવવા માટે પરિમિત સોલેનોઇડના અક્ષીય ક્ષેત્રની ગણતરી. (b) એકસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\mathbf{B}$ માં ચુંબકીય સોય. આ ગોઠવણીનો ઉપયોગ B અથવા સોયનો ચુંબકીય ચાકમાત્રા $\mathbf{m}$ નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે.

પાછલા પ્રકરણમાં, આપણે સમજાવ્યું છે કે કેવી રીતે વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપ ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ તરીકે વર્તે છે (વિભાગ 4.10). આપણે એમ્પીયરની પૂર્વધારણાનો ઉલ્લેખ કર્યો હતો કે તમામ ચુંબકીય ઘટનાઓને પરિભ્રમણ કરતા પ્રવાહોના સંદર્ભમાં સમજાવી શકાય છે.

દંડચુંબક અને સોલેનોઇડ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની સમાનતા સૂચવે છે કે દંડચુંબકને સોલેનોઇડ સાથે સામ્યતા દ્વારા પરિભ્રમણ કરતા પ્રવાહોની મોટી સંખ્યા તરીકે વિચારી શકાય છે. દંડચુંબકને અડધા ભાગમાં કાપવું એ સોલેનોઇડને કાપવા જેવું છે. આપણને નબળા ચુંબકીય ગુણધર્મોવાળી બે નાની સોલેનોઇડ મળે છે. ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત રહે છે, સોલેનોઇડના એક ચહેરામાંથી બહાર આવે છે અને બીજા ચહેરામાં પ્રવેશે છે. દંડચુંબક અને વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતી પરિમિત સોલેનોઇડની નજીક નાની કંપાસ સોય ખસેડીને અને નોંધીને કે બંને કિસ્સાઓમાં સોયના વિચલન સમાન છે, આ સામ્યતાની ચકાસણી કરી શકાય છે.

આ સામ્યતાને વધુ મજબૂત બનાવવા માટે આપણે આકૃતિ 5.3 (a) માં દર્શાવેલ પરિમિત સોલેનોઇડના અક્ષીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરીએ છીએ. આપણે દર્શાવીશું કે મોટા અંતરે આ અક્ષીય ક્ષેત્ર દંડચુંબકના ક્ષેત્ર જેવું દેખાય છે.

$$ \begin{equation*} B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 m}{r^{3}} \tag{5.1} \end{equation*} $$

આ દંડચુંબકનું દૂરનું અક્ષીય ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ છે જે પ્રાયોગિક રીતે મેળવી શકાય છે. આમ, દંડચુંબક અને સોલેનોઇડ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે. દંડચુંબકનો ચુંબકીય ચાકમાત્રા આમ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતી સમતુલ્ય સોલેનોઇડના ચુંબકીય ચાકમાત્રા જેટલો હોય છે.

5.2.3 એકસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દ્વિધ્રુવ

ચાલો જાણીતા ચુંબકીય ચાકમાત્રા $\mathbf{m}$ ની નાની કંપાસ સોય મૂકીએ અને તેને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરવા દઈએ. આ ગોઠવણી આકૃતિ 5.3(b) માં બતાવેલ છે.

સોય પરનું ટોર્ક [સમીકરણ (4.23) જુઓ],

$$ \begin{equation*} \tau=\mathbf{m} \times \mathbf{B} \tag{5.2} \end{equation*} $$

પરિમાણમાં $\tau=m B \sin \theta$

અહીં $\tau$ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક છે અને $\theta$ એ $\mathbf{m}$ અને $\mathbf{B}$ વચ્ચેનો કોણ છે. ચુંબકીય સ્થિતિઊર્જા માટેની અભિવ્યક્તિ પણ સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા જેવી જ રેખાઓ પર મેળવી શકાય છે. ચુંબકીય સ્થિતિઊર્જા $U_{m}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે

$$ \begin{align*} U_{m} & =\int \tau(\theta) d \theta \\ & =\int m B \sin \theta d \theta=-m B \cos \theta \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =-\mathbf{m} \cdot \mathbf{B} \tag{5.3} \end{align*} $$

અધ્યાય 2 માં આપણે ભારપૂર્વક કહ્યું છે કે સ્થિતિઊર્જાનું શૂન્ય એકની સગવડ પર નિશ્ચિત કરી શકાય છે. સંકલનના અચળાંકને શૂન્ય લેવાનો અર્થ છે કે સ્થિતિઊર્જાનું શૂન્ય $\theta=90^{\circ}$ પર નિશ્ચિત કરવું, એટલે કે, જ્યારે સોય ક્ષેત્રને લંબ હોય. સમીકરણ (5.6) દર્શાવે છે કે સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ $(=-m B)$ છે $\theta=0^{\circ}$ પર (સૌથી સ્થિર સ્થિતિ) અને મહત્તમ $(=+m B)$ છે $\theta=180^{\circ}$ પર (સૌથી અસ્થિર સ્થિતિ).

ઉદાહરણ 5.1

(a) જો દંડચુંબકને બે ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે તો શું થાય: (i) તેની લંબાઈને લંબરૂપે, (ii) તેની લંબાઈ સાથે?

(b) એકસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીકૃત સોય પર ટોર્ક લાગે છે પરંતુ કોઈ પરિણામી બળ લાગતું નથી. જોકે, દંડચુંબકની નજીકની લોખંડની ખીલી પર ટોર્ક ઉપરાંત આકર્ષણ બળ પણ લાગે છે. શા માટે?

(c) શું દરેક ચુંબકીય રચનામાં ઉત્તર ધ્રુવ અને દક્ષિણ ધ્રુવ હોવા જોઈએ? ટોરોઇડના કારણે થતા ક્ષેત્ર વિશે શું?

(d) A અને B એવી બે સમાન દેખાતી લોખંડની પટ્ટીઓ આપવામાં આવી છે, જેમાંથી એક ચુંબકીકૃત હોવાની ચોક્કસ રીતે જાણીતી છે. (આપણે જાણતા નથી કે કઈ.) એક કેવી રીતે ચકાસી શકે કે બંને ચુંબકીકૃત છે કે નહીં? જો માત્ર એક જ ચુંબકીકૃત હોય, તો એક કેવી રીતે ચકાસી શકે કે કઈ? [પટ્ટીઓ A અને B સિવાય બીજું કશું ઉપયોગ કરશો નહીં.]

ઉકેલ

(a) કોઈપણ કિસ્સામાં, એકને બે ચુંબકો મળે છે, દરેકમાં ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવ હોય છે.

(b) જો ક્ષેત્ર એકસમાન હોય તો કોઈ બળ નથી. લોખંડની ખીલી પર દંડચુંબકના કારણે અસમાન ક્ષેત્રનો અનુભવ થાય છે. ખીલીમાં પ્રેરિત ચુંબકીય ચાકમાત્રા હોય છે, તેથી, તે બળ અને ટોર્ક બંનેનો અનુભવ કરે છે. પરિણામી બળ આકર્ષક છે કારણ કે ખીલીમાં પ્રેરિત દક્ષિણ ધ્રુવ (ધારો કે) ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવ કરતાં પ્રેરિત ઉત્તર ધ્રુવની નજીક છે.

(c) જરૂરી નથી. સાચું માત્ર ત્યારે જ જ્યારે ક્ષેત્રના સ્રોતનો પરિણામી શૂન્યેતર ચુંબકીય ચાકમાત્રા હોય. ટોરોઇડ અથવા સીધા અનંત વાહક માટે પણ આવું નથી.

(d) પટ્ટીઓના વિવિધ છેડાઓ નજીક લાવવાનો પ્રયાસ કરો. કેટલીક પરિસ્થિતિમાં અપાકર્ષક બળ સ્થાપિત કરે છે કે બંને ચુંબકીકૃત છે. જો તે હંમેશા આકર્ષક હોય, તો તેમાંથી એક ચુંબકીકૃત નથી. દંડચુંબકમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા બંને છેડે (ધ્રુવો) સૌથી મજબૂત અને મધ્યમ પ્રદેશમાં સૌથી નબળી હોય છે. A અથવા B કયું ચુંબક છે તે નક્કી કરવા માટે આ તથ્યનો ઉપયોગ થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, બે પટ્ટીઓમાંથી કઈ એક ચુંબક છે તે જોવા માટે, એક ઉપાડો (ધારો કે, A) અને તેના છેડાઓમાંથી એકને; પહેલા બીજાના (ધારો કે, B) છેડાઓમાંથી એક પર, અને પછી B ની મધ્યમાં નીચે લાવો. જો તમે નોંધો કે $\mathrm{B}, \mathrm{A}$ ની મધ્યમાં કોઈ બળનો અનુભવ થતો નથી, તો $\mathrm{B}$ ચુંબકીકૃત છે. જો તમે $B$ ના છેડાથી મધ્ય સુધી કોઈ ફેરફાર નોંધતા નથી, તો A ચુંબકીકૃત છે.

5.2.4 સ્થિતવિદ્યુત સામ્યતા

સમીકરણો (5.2), (5.3) અને (5.6) ની વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ (પ્રકરણ 1) માટેની અનુરૂપ સમીકરણો સાથેની તુલના સૂચવે છે કે ચુંબકીય ચાકમાત્રા $\mathbf{m}$ ના દંડચુંબકના કારણે મોટા અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેની જગ્યાઓ કરીને દ્વિધ્રુવીય ચાકમાત્રા p ના વિદ્યુત દ્વિધ્રુવના કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટેના સમીકરણમાંથી મેળવી શકાય છે:

$$ \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{B}, \mathbf{p} \rightarrow \mathbf{m}, \frac{1}{4 \pi \varepsilon _{0}} \rightarrow \frac{\mu _{0}}{4 \pi} $$

ખાસ કરીને, આપણે દંડચુંબકનું વિષુવરેખીય ક્ષેત્ર $\left(\mathbf{B_E}\right)$ અંતર $r$ પર, $r»l$ માટે લખી શકીએ છીએ, જ્યાં $l$ ચુંબકનું કદ છે:

$$ \begin{equation*} \mathbf{B_E}=-\frac{\mu_{0} \mathbf{m}}{4 \pi r^{3}} \tag{5.4} \end{equation*} $$

તે જ રીતે, દંડચુંબકનું અક્ષીય ક્ષેત્ર $\left(\mathbf{B_\mathrm{A}}\right)$ $r»l$ માટે છે:

$$ \begin{equation*} \mathbf{B_A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \mathbf{m}}{r^{3}} \tag{5.5} \end{equation*} $$

સમીકરણ (5.8) એ ફક્ત સદિશ સ્વરૂપમાં સમીકરણ (5.2) છે. કોષ્ટક 5.1 વિદ્યુત અને ચુંબકીય દ્વિધ્રુવો વચ્ચેની સામ્યતાનો સારાંશ આપે છે.

કોષ્ટક 5.1 દ્વિધ્રુવ સામ્યતા