8.1 પ્રસ્તાવના

પ્રકરણ 4 માં, આપણે શીખ્યા હતા કે વિદ્યુતપ્રવાહ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને બે પ્રવાહવાહક તારો એકબીજા પર ચુંબકીય બળ લગાવે છે. વધુમાં, પ્રકરણ 6 માં, આપણે જોયું છે કે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્રને જન્મ આપે છે. શું વિપરીત પણ સાચું છે? શું સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્રને જન્મ આપે છે? જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ (1831-1879) એ દલીલ કરી હતી કે આ ખરેખર સાચું છે - માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ જ નહીં પણ સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. સમય-પરિવર્તનશીલ પ્રવાહ સાથે જોડાયેલ કેપેસિટરની બહાર એક બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવા માટે એમ્પિયરના પરિપથીય નિયમને લાગુ કરતી વખતે, મેક્સવેલે એમ્પિયરના પરિપથીય નિયમમાં એક અસંગતતા જોઈ. આ અસંગતતા દૂર કરવા માટે તેમણે એક વધારાના પ્રવાહનું અસ્તિત્વ સૂચવ્યું, જેને તેમણે વિસ્થાપન પ્રવાહ (displacement current) નામ આપ્યું.

મેક્સવેલે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો અને તેમના સ્રોતો, આવેશ અને પ્રવાહ ઘનતાને સમાવતા સમીકરણોનો સમૂહ રચ્યો. આ સમીકરણો મેક્સવેલના સમીકરણો તરીકે ઓળખાય છે. લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર (પ્રકરણ 4) સાથે મળીને, તેઓ વિદ્યુતચુંબકત્વના તમામ મૂળભૂત નિયમોને ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત કરે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણોમાંથી આવતી સૌથી મહત્વપૂર્ણ આગાહી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું અસ્તિત્વ છે, જે અવકાશમાં પ્રસરતા (જોડાયેલા) સમય-પરિવર્તનશીલ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો છે. આ સમીકરણો મુજબ તરંગોની ઝડપ, પ્રકાશીય માપનીથી મળેલી પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s})$ ની ખૂબ નજીક આવી. આ એક નોંધપાત્ર નિષ્કર્ષ તરફ દોરી ગયું કે પ્રકાશ એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે. આમ, મેક્સવેલના કાર્યે વિદ્યુત, ચુંબકત્વ અને પ્રકાશના ક્ષેત્રને એકસાથે જોડ્યા. હર્ટ્ઝે, 1885 માં, પ્રયોગથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વનું પ્રદર્શન કર્યું. માર્કોની અને અન્ય લોકો દ્વારા તેના તકનીકી ઉપયોગે સમયાંતરે સંચારમાં ક્રાંતિ લાવી જે આપણે આજે જોઈ રહ્યા છીએ.

આ પ્રકરણમાં, આપણે પહેલા વિસ્થાપન પ્રવાહની જરૂરિયાત અને તેના પરિણામોની ચર્ચા કરીશું. પછી આપણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું વર્ણનાત્મક વિવરણ રજૂ કરીશું. $\gamma$ કિરણો (તરંગલંબાઈ $\sim 10^{-12} \mathrm{~m}$) થી લાંબા રેડિયો તરંગો (તરંગલંબાઈ $\sim 10^{6} \mathrm{~m}$) સુધી ફેલાયેલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના વિશાળ સ્પેક્ટ્રમનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

8.2 વિસ્થાપન પ્રવાહ (Displacement Current)

પ્રકરણ 4 માં આપણે જોયું છે કે વિદ્યુત પ્રવાહ તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. મેક્સવેલે બતાવ્યું કે તાર્કિક સુસંગતતા માટે, બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ. આ અસર ખૂબ મહત્વની છે કારણ કે તે રેડિયો તરંગો, ગામા કિરણો અને દૃશ્યમાન પ્રકાશ તેમજ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અન્ય તમામ સ્વરૂપોના અસ્તિત્વને સમજાવે છે.

બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર કેવી રીતે ચુંબકીય ક્ષેત્રને જન્મ આપે છે તે જોવા માટે, ચાલો કેપેસિટરના ચાર્જ થવાની પ્રક્રિયા ધ્યાનમાં લઈએ અને એમ્પિયરનો પરિપથીય નિયમ, જે (પ્રકરણ 4) મુજબ આપેલ છે

$$ \begin{equation*} \oint \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\mu_{0} i(t) \tag{8.1} \end{equation*} $$

ને લાગુ કરીને કેપેસિટરની બહાર એક બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધીએ. આકૃતિ 8.1(a) એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર $C$ દર્શાવે છે જે પરિપથનો એક ભાગ છે જેમાંથી સમય-આધારિત પ્રવાહ $i(t)$ વહે છે. ચાલો સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બહારના પ્રદેશમાં $\mathrm{P}$ જેવા બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધીએ. આ માટે, આપણે ત્રિજ્યા $r$ ના સમતલ વર્તુળાકાર લૂપને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેનું સમતલ પ્રવાહવાહક તારની દિશાને લંબરૂપ છે, અને જે તારની સાપેક્ષે સમપ્રમાણ રીતે કેન્દ્રિત છે [આકૃતિ 8.1(a)]. સમપ્રમાણતાને કારણે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર વર્તુળાકાર લૂપના પરિઘ સાથે નિર્દેશિત છે અને લૂપ પરના તમામ બિંદુઓ પર માન સમાન છે જેથી જો $B$ ક્ષેત્રનું માન હોય, તો સમીકરણ (8.1)ની ડાબી બાજુ $B(2 \pi r)$ છે. તેથી આપણી પાસે છે

$$ \begin{equation*} B(2 \pi r)=\mu_{0} i(t) \tag{8.2} \end{equation*} $$

જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ (1831 – 1879) એડિનબર્ગ, સ્કોટલેન્ડમાં જન્મેલા, ઓગણીસમી સદીના સૌથી મહાન ભૌતિકશાસ્ત્રીઓમાંના એક હતા. તેમણે વાયુમાંના અણુઓનું થર્મલ વેગ વિતરણ મેળવ્યું અને માપી શકાય તેવા જથ્થાઓ જેવા કે સ્નિગ્ધતા, વગેરેમાંથી આણ્વિક પરિમાણોના વિશ્વસનીય અંદાજ મેળવનારા પ્રથમમાંના એક હતા. મેક્સવેલની સૌથી મહાન સિદ્ધિ એ હતી કે તેમણે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના નિયમો (કુલંબ, ઓર્સ્ટેડ, એમ્પિયર અને ફેરાડે દ્વારા શોધાયેલા) ને સુસંગત સમીકરણોના સમૂહમાં એકીકૃત કર્યા જેને હવે મેક્સવેલના સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. આમાંથી તેઓ સૌથી મહત્વપૂર્ણ નિષ્કર્ષ પર પહોંચ્યા કે પ્રકાશ એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે. રસપ્રદ વાત એ છે કે મેક્સવેલ એ વિચાર સાથે સહમત ન હતા (ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમો દ્વારા મજબૂત રીતે સૂચવવામાં આવ્યા હતા) કે વિદ્યુત પ્રકૃતિમાં કણાત્મક હતું.

આકૃતિ 8.1 એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર $C$, પરિપથના એક ભાગ તરીકે જેમાંથી સમય-આધારિત પ્રવાહ $i(t)$ વહે છે, (a) ત્રિજ્યા $r$ નો લૂપ, લૂપ પરના બિંદુ $\mathrm{P}$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નક્કી કરવા માટે; (b) કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચેના આંતરિક ભાગમાંથી પસાર થતી એક હાંડી જેવી સપાટી જેની કિનાર (a) માં દર્શાવેલ લૂપ છે; (c) એક ટિફિન-આકારની સપાટી જેની કિનાર વર્તુળાકાર લૂપ છે અને કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચે સપાટ વર્તુળાકાર તળિયું $S$ છે. તીરો કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર દર્શાવે છે.

હવે, એક અલગ સપાટી ધ્યાનમાં લો, જેની સરહદ સમાન છે. આ એક હાંડી જેવી સપાટી છે [આકૃતિ 8.1(b)] જે ક્યાંય પણ પ્રવાહને સ્પર્શતી નથી, પરંતુ તેનું તળિયું કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચે છે; તેનો મોં ઉપર દર્શાવેલ વર્તુળાકાર લૂપ છે. આવી બીજી સપાટી ટિફિન બોક્સ (ઢાંકણ વિના) જેવી આકારની છે [આકૃતિ 8.1(c)]. સમાન પરિમિતિવાળી આવી સપાટીઓ પર એમ્પિયરના પરિપથીય નિયમને લાગુ કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણ (8.1)ની ડાબી બાજુ બદલાઈ નથી પરંતુ જમણી બાજુ શૂન્ય છે અને $\mu_{0} i$ નથી, કારણ કે આકૃતિ 8.1(b) અને (c)ની સપાટીમાંથી કોઈ પ્રવાહ પસાર થતો નથી. તેથી આપણી પાસે એક વિરોધાભાસ છે; એક રીતે ગણતરી કરતા, બિંદુ $\mathrm{P}$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે; બીજી રીતે ગણતરી કરતા, $\mathrm{P}$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

કારણ કે વિરોધાભાસ એમ્પિયરના પરિપથીય નિયમના આપણા ઉપયોગમાંથી ઊભો થાય છે, આ નિયમમાં કંઈક ખૂટે છે. ખૂટતો પદ એવો હોવો જોઈએ કે બિંદુ $P$ પર સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર મળે, ભલે કોઈ પણ સપાટીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે.

આપણે ખરેખર આકૃતિ 8.1(c) ને કાળજીપૂર્વક જોઈને ખૂટતો પદ અનુમાન લગાવી શકીએ છીએ. શું કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેની સપાટી $\mathrm{S}$માંથી કંઈક પસાર થઈ રહ્યું છે? હા, અલબત્ત, વિદ્યુતક્ષેત્ર! જો કેપેસિટરની પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ $A$ હોય, અને કુલ આવેશ $Q$ હોય, તો પ્લેટો વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\mathbf{E}$ નું માન $(Q / A) / \varepsilon_{0}$ છે (સમીકરણ 2.41 જુઓ). ક્ષેત્ર આકૃતિ 8.1(c)ની સપાટી $S$ પર લંબરૂપ છે. તે કેપેસિટર પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ $A$ પર સમાન માન ધરાવે છે, અને તેની બહાર શૂન્ય થઈ જાય છે. તો સપાટી $S$ માંથી વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_{E}$ શું છે? ગૉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તે છે

$$ \begin{equation*} \Phi_{\mathrm{E}}=|\mathbf{E}| A=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \frac{Q}{A} A=\frac{Q}{\varepsilon_{0}} \tag{8.3} \end{equation*} $$

હવે જો કેપેસિટર પ્લેટો પરનો આવેશ $Q$ સમય સાથે બદલાય છે, તો પ્રવાહ $i=(\mathrm{d} Q / \mathrm{d} t)$ છે, જેથી સમીકરણ (8.3) નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે

$$ \frac{\mathrm{d} \Phi_{E}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{Q}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} t} $$

આ સૂચવે છે કે સુસંગતતા માટે,

$$ \begin{equation*} \varepsilon_{0} \frac{\mathrm{d} \Phi_{E}}{\mathrm{~d} t}=i \tag{8.4} \end{equation*} $$

આ એમ્પિયરના પરિપથીય નિયમમાં ખૂટતો પદ છે. જો આપણે આ નિયમને સામાન્ય બનાવીએ, સપાટીમાંથી વાહકો દ્વારા વહન કરવામાં આવેલા કુલ પ્રવાહમાં ઉમેરીને, બીજો પદ જે સમાન સપાટીમાંથી વિદ્યુત ફ્લક્સના ફેરફારનો દરનો $\varepsilon_{0}$ ગણો છે, તો કુલ પ્રવાહ $i$ નું મૂલ્ય તમામ સપાટીઓ માટે સમાન છે. જો આ કરવામાં આવે, તો સામાન્યીકૃત એમ્પિયરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ કોઈ પણ જગ્યાએ $B$ ના મૂલ્યમાં કોઈ વિરોધાભાસ નથી. બિંદુ $P$ પર $B$ ગણતરી માટે કઈ સપાટીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તેનાથી અલગ શૂન્ય નથી. પ્લેટોની બહારના બિંદુ $\mathrm{P}$ પર $B$ [આકૃતિ 8.1(a)] એ બિંદુ $\mathrm{M}$ પર જેમ હોય તેમ અંદર જ છે. આવેશોના પ્રવાહને કારણે વાહકો દ્વારા વહન કરવામાં આવતા પ્રવાહને વહન પ્રવાહ (conduction current) કહેવામાં આવે છે. સમીકરણ (8.4) દ્વારા આપવામાં આવેલ પ્રવાહ એક નવો પદ છે, અને બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્ર (અથવા વિદ્યુત વિસ્થાપન, ક્યારેક હજુ પણ વપરાતો જૂનો શબ્દ) ને કારણે છે. તેથી, તેને વિસ્થાપન પ્રવાહ અથવા મેક્સવેલનો વિસ્થાપન પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ 8.2 ઉપર ચર્ચા કરેલ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની અંદરના વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો દર્શાવે છે.

આકૃતિ 8.2 (a) કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચે, બિંદુ M પર વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો $\mathbf{E}$ અને $\mathbf{B}$. (b) આકૃતિ (a)નો આડછેદ દૃશ્ય.

મેક્સવેલ દ્વારા કરવામાં આવેલ સામાન્યીકરણ પછી નીચે મુજબ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્રોત માત્ર વહેતા આવેશોને કારણે વહન વિદ્યુત પ્રવાહ જ નથી, પરંતુ વિદ્યુતક્ષેત્રના સમય દરમાં ફેરફાર પણ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, કુલ પ્રવાહ $i$ એ $i_{c}$ દ્વારા દર્શાવેલ વહન પ્રવાહ અને $i_{\mathrm{d}}\left(=\varepsilon_{0}\left(\mathrm{~d} \Phi_{E} /\right.\right.$ $\mathrm{d} t))$ દ્વારા દર્શાવેલ વિસ્થાપન પ્રવાહનો સરવાળો છે. તેથી આપણી પાસે છે

$$ \begin{equation*} i=i_{c}+i_{d}=i_{c}+\varepsilon_{0} \frac{\mathrm{d} \Phi_{E}}{\mathrm{~d} t} \tag{8.5} \end{equation*} $$

સ્પષ્ટ શબ્દોમાં, આનો અર્થ એ છે કે કેપેસિટર પ્લેટોની બહાર, આપણી પાસે માત્ર વહન પ્રવાહ $i_{\mathrm{c}}=i$ છે, અને કોઈ વિસ્થાપન પ્રવાહ નથી, એટલે કે, $i_{d}=0$. બીજી બાજુ, કેપેસિટરની અંદર, કોઈ વહન પ્રવાહ નથી, એટલે કે, $i_{\mathrm{c}}=0$, અને ત્યાં માત્ર વિસ્થાપન પ્રવાહ છે, જેથી $i_{d}=i$.

સામાન્યીકૃત (અને સાચો) એમ્પિયરનો પરિપથીય નિયમ સમીકરણ (8.1) જેવો જ સ્વરૂપ ધરાવે છે, એક તફાવત સાથે: “જે બંધ લૂપ પરિમિતિ છે તે કોઈપણ સપાટીમાંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ” એ વહન પ્રવાહ અને વિસ્થાપન પ્રવાહનો સરવાળો છે. સામાન્યીકૃત નિયમ છે અને તે એમ્પિયર-મેક્સવેલ નિયમ તરીકે ઓળખાય છે.

$$ \begin{equation*} \int \mathbf{B} \mathrm{d} \mathbf{l}=\mu_{0} i_{c}+\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\mathrm{d} \Phi_{E}}{\mathrm{~d} t} \tag{8.6} \end{equation*} $$

બધા સંદર્ભોમાં, વિસ્થાપન પ્રવાહમાં વહન પ્રવાહ જેવા જ ભૌતિક અસરો હોય છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, ઉદાહરણ તરીકે, વાહક તારમાં સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્રો, વિસ્થાપન પ્રવાહ શૂન્ય હોઈ શકે છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\mathbf{E}$ સમય સાથે બદલાતું નથી. અન્ય કિસ્સાઓમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરના ચાર્જ થતા કેપેસિટરમાં, વહન અને વિસ્થાપન પ્રવાહ બંને અવકાશના વિવિધ પ્રદેશોમાં હાજર હોઈ શકે છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, તેઓ બંને અવકાશના સમાન પ્રદેશમાં હાજર હોઈ શકે છે, કારણ કે ત્યાં સંપૂર્ણ વાહક અથવા સંપૂર્ણ અવાહક માધ્યમ અસ્તિત્વમાં નથી. સૌથી રસપ્રદ રીતે, અવકાશના મોટા પ્રદેશો હોઈ શકે છે જ્યાં કોઈ વહન પ્રવાહ નથી, પરંતુ ત્યાં માત્ર સમય-પરિવર્તનશીલ વિદ્યુતક્ષેત્રોને કારણે વિસ્થાપન પ્રવાહ છે. આવા પ્રદેશમાં, આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અપેક્ષા રાખીએ છીએ, ભલે ત્યાં કોઈ (વહન) પ્રવાહ સ્રોત નજીક ન હોય! આવા વિસ્થાપન પ્રવાહની આગાહી પ્રયોગથી ચકાસી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 8.2(a) માં કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ચુંબકીય ક્ષેત્ર (જેમ કે બિંદુ M પર) માપી શકાય છે અને તે બહાર (P પર) જેવું જ જોવા મળે છે.

વિસ્થાપન પ્રવાહના (શાબ્દિક રીતે) દૂરગામી પરિણામો છે. એક વસ્તુ આપણે તરત જ નોંધીએ છીએ કે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના નિયમો હવે વધુ સમપ્રમાણ* છે. ફેરાડેના ઇન્ડક્શનના નિયમમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલો પ્રેરિત emf હોય છે. હવે, કારણ કે બે બિંદુઓ 1 અને 2 વચ્ચેનો emf એ તેને 1 થી 2 સુધી લઈ જવામાં પ્રતિ એકમ આવેશ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય છે, emf નું અસ્તિત્વ વિદ્યુતક્ષેત્રના અસ્તિત્વનો સૂચક છે. તેથી, આપણે ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય ઇન્ડક્શનના નિયમને એમ કહીને ફરીથી શબ્દસમૂહ બનાવી શકીએ છીએ કે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્રને જન્મ આપે છે. પછી, સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્રને જન્મ આપે છે, તે સમપ્રમાણ સમકક્ષ છે, અને તે વિસ્થાપન પ્રવાહના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્રોત હોવાનું પરિણામ છે. આમ, સમય-આધારિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને જન્મ આપે છે! ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય ઇન્ડક્શનના નિયમ અને એમ્પિયર-મેક્સવેલ નિયમ આ વિધાનની માત્રાત્મક અભિવ્યક્તિ આપે છે, જેમાં પ્રવાહ સમીકરણ (8.5) માં જેમ કુલ પ્રવાહ છે. આ સમપ્રમાણતાનો એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પરિણામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું અસ્તિત્વ છે, જેની આપણે આગલા વિભાગમાં ગુણાત્મક ચર્ચા કરીશું.

• તેઓ હજુ પણ સંપૂર્ણ રીતે સમપ્રમાણ નથી; ચુંબકીય ક્ષેત્રના જાણીતા