પ્રિઝમ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

પ્રિઝમ સૂત્રો#

પ્રિઝમ સૂત્ર એ એક સમીકરણ છે જે પ્રિઝમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશ કિરણના વિચલન કોણનું વર્ણન કરે છે. તે આપેલ છે:

$$ \delta = (n-1)A $$

જ્યાં:

• $\delta$ એ વિચલન કોણ છે,
• $n$ એ પ્રિઝમ સામગ્રીનો વક્રીભવનાંક છે,
• $A$ એ પ્રિઝમનો શિરોબિંદુ કોણ છે.

ઉદાહરણ#

60 ડિગ્રીના શિરોબિંદુ કોણ અને 1.5 ના વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રિઝમમાંથી એક પ્રકાશ કિરણ પસાર થાય છે. પ્રકાશ કિરણનો વિચલન કોણ શું છે?

પ્રિઝમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે વિચલન કોણની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરી શકીએ છીએ:

$$ \delta = (n-1)A $$

$$ \delta = (1.5-1)\times 60 $$

$$ \delta = 30\ degrees $$

તેથી, પ્રકાશ કિરણનો વિચલન કોણ 30 ડિગ્રી છે.

પ્રિઝમ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ#

પ્રિઝમ સૂત્ર પ્રિઝમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશ કિરણના વિચલન કોણને પ્રિઝમ સામગ્રીના વક્રીભવનાંક અને પ્રકાશ કિરણના આપાત કોણ સાથે સંબંધિત કરે છે. તે ઓપ્ટિક્સમાં એક મહત્વપૂર્ણ સૂત્ર છે અને પ્રિઝમ અને અન્ય ઓપ્ટિકલ ઉપકરણોના ડિઝાઇનમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે.

ધારણાઓ

પ્રિઝમ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ નીચેની ધારણાઓ પર આધારિત છે:

• પ્રિઝમ સતત વક્રીભવનાંક ધરાવતી સજાતીય સામગ્રીથી બનેલો છે.
• પ્રકાશ કિરણો પ્રિઝમ પર નાના કોણે આપાત થાય છે.
• પ્રિઝમ પાતળો છે, જેથી પ્રકાશ કિરણો તેમની મૂળ દિશાથી નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થતા નથી.

વ્યુત્પત્તિ

ચાલો આપાત કોણ $i_1$ પર પ્રિઝમ પર આપાત થતા પ્રકાશ કિરણને ધ્યાનમાં લઈએ. કિરણ પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે અને પછી ફરીથી બીજી સપાટી પર. પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ આપેલ છે:

$$r_1 = \sin^{-1}\left(\frac{\sin i_1}{n}\right)$$

જ્યાં $n$ એ પ્રિઝમ સામગ્રીનો વક્રીભવનાંક છે.

બીજી સપાટી પર આપાત કોણ આપેલ છે:

$$i_2 = i_1 - r_1$$

બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ આપેલ છે:

$$r_2 = \sin^{-1}\left(\frac{\sin i_2}{n}\right)$$

પ્રકાશ કિરણનો વિચલન કોણ આપેલ છે:

$$\delta = i_1 - r_2$$

$r_1$ અને $r_2$ ના સમીકરણોને $\delta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને મળે છે:

$$\delta = i_1 - \sin^{-1}\left(\frac{\sin (i_1 - \sin^{-1}(\frac{\sin i_1}{n}))}{n}\right)$$

આ પ્રિઝમ સૂત્ર છે.

પ્રિઝમ સૂત્ર ઓપ્ટિક્સમાં એક મૂળભૂત સૂત્ર છે જે પ્રિઝમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશ કિરણના વિચલન કોણને પ્રિઝમ સામગ્રીના વક્રીભવનાંક અને પ્રકાશ કિરણના આપાત કોણ સાથે સંબંધિત કરે છે. પ્રિઝમ અને અન્ય ઓપ્ટિકલ ઉપકરણોમાં પ્રકાશની વર્તણૂકને સમજવા માટે તે એક મહત્વપૂર્ણ સાધન છે.

વિચલન કોણની વ્યુત્પત્તિ#

વિચલન કોણ એ તે કોણ છે જે દ્વારા પ્રકાશનો કિરણ પ્રિઝમમાંથી પસાર થતા વિચલિત થાય છે. તે વક્રીભવનના નિયમો અને સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.

વક્રીભવનના નિયમો#

વક્રીભવનના નિયમો જણાવે છે કે:

1. આપાત કિરણ, વક્રીભવિત કિરણ અને આપાત બિંદુ પર સપાટીનો લંબ એ બધા એક જ સમતલમાં હોય છે. આપાત કોણની સાઈન, વક્રીભવન કોણની સાઈન ગુણ્યા બીજા માધ્યમના વક્રીભવનાંક જેટલી હોય છે.

સ્નેલનો નિયમ#

સ્નેલનો નિયમ એ એક ગાણિતિક સમીકરણ છે જે આપાત અને વક્રીભવનના કોણોને સંબંધિત બે માધ્યમોના વક્રીભવનાંક સાથે સંબંધિત કરે છે. તે આપેલ છે:

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

જ્યાં:

• $n_1$ એ પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે
• $\theta_1$ એ આપાત કોણ છે
• $n_2$ એ બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે
• $\theta_2$ એ વક્રીભવન કોણ છે

વિચલન કોણની વ્યુત્પત્તિ#

કોણ $\theta_1$ પર પ્રિઝમ પર આપાત થતા પ્રકાશના કિરણને ધ્યાનમાં લો. કિરણ પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર અને પછી બીજી સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે. વિચલન કોણ $\delta$ એ આપાત કિરણ અને અંતિમ વક્રીભવિત કિરણ વચ્ચેનો કોણ છે.

સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ:

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

અને

$$n_2 \sin \theta_2 = n_3 \sin \theta_3$$

જ્યાં $n_3$ એ ત્રીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે (આ કિસ્સામાં, હવા).

આ બે સમીકરણોને જોડતા, આપણને મળે છે:

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

$\theta_3 = 0$ હોવાથી, પ્રિઝમમાંથી હવામાં નીકળતા પ્રકાશના કિરણ માટે, આપણી પાસે છે:

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

$$\theta_1 = 0$$

આનો અર્થ એ છે કે આપાત કિરણ પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી સાથે સમાંતર છે.

હવે, પ્રિઝમની બીજી સપાટી પર બીજા વક્રીભવનને ધ્યાનમાં લો. સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ:

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

જ્યાં $\theta_4$ એ બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ છે.

$\theta_1 = 0$ હોવાથી, આપણી પાસે છે:

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

$$\theta_4 = \sin^{-1}\left(\frac{n_2 \sin \theta_2}{n_1}\right)$$

વિચલન કોણ $\delta$ આપેલ છે:

$$\delta = \theta_1 + \theta_4 - \theta_2$$

$\theta_1$ અને $\theta_4$ ના મૂલ્યો મૂકતા, આપણને મળે છે:

$$\delta = 0 + \sin^{-1}\left(\frac{n_2 \sin \theta_2}{n_1}\right) - \theta_2$$

$$\delta = \sin^{-1}\left(\frac{n_2 \sin \theta_2}{n_1}\right) - \theta_2$$

આ પ્રિઝમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણના વિચલન કોણ માટેનું સમીકરણ છે.

પ્રિઝમના પ્રકારો#

પ્રિઝમ એ એક પારદર્શક ઓપ્ટિકલ તત્વ છે જે સપાટ, પોલિશ કરેલી સપાટીઓ ધરાવે છે જે પ્રકાશનું વક્રીભવન કરે છે. પ્રિઝમનો ઉપયોટ ટેલિસ્કોપ, માઇક્રોસ્કોપ, સ્પેક્ટ્રોમીટર અને લેસર સહિત વિવિધ પ્રકારના ઓપ્ટિકલ ઉપકરણોમાં થાય છે.

ઘણા વિવિધ પ્રકારના પ્રિઝમ છે, દરેકની પોતાની અનન્ય ગુણધર્મો સાથે. સૌથી સામાન્ય પ્રકારના પ્રિઝમમાંના કેટલાક નીચે મુજબ છે:

• કાટખૂણા પ્રિઝમ એ બે લંબ સપાટીઓ ધરાવતા પ્રિઝમ છે. તેનો ઉપયોગ પ્રકાશને કાટખૂણે પરાવર્તિત કરવા માટે થાય છે.
• સમબાજુ પ્રિઝમ એ ત્રણ સમાન બાજુઓ ધરાવતા પ્રિઝમ છે. તેનો ઉપયોગ પ્રકાશને વર્ણપટમાં વિખેરવા માટે થાય છે.
• એમિસી પ્રિઝમ એ બે કાટખૂણા સપાટીઓ અને એક બિન-કાટખૂણા સપાટી ધરાવતા પ્રિઝમ છે. તેનો ઉપયોગ વર્ણીય વિપથન માટે સુધારવા માટે થાય છે.
• ડવ પ્રિઝમ એ બે કાટખૂણા સપાટીઓ અને બે બિન-કાટખૂણા સપાટીઓ ધરાવતા પ્રિઝમ છે. તેનો ઉપયોગ પ્રકાશના ધ્રુવીકરણને બદલ્યા વિના છબીને ફેરવવા માટે થાય છે.
• પેલિન-બ્રોકા પ્રિઝમ એ બે કાટખૂણા સપાટીઓ અને એક વક્ર સપાટી ધરાવતા પ્રિઝમ છે. તેનો ઉપયોગ પ્રકાશની સમાંતર કિરણ પુંજ ઉત્પન્ન કરવા માટે થાય છે.

પ્રિઝમના ઉપયોગો#

પ્રિઝમનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રકારના ઉપયોગોમાં થાય છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

• સ્પેક્ટ્રોમીટર નો ઉપયોગ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ માપવા માટે થાય છે. પ્રિઝમનો ઉપયોગ પ્રકાશને વર્ણપટમાં વિખેરવા માટે થાય છે, જે પછી માપી શકાય છે.
• ટેલિસ્કોપ નો ઉપયોગ દૂરની વસ્તુઓને મોટી કરવા માટે થાય છે. પ્રિઝમનો ઉપયોગ વર્ણીય વિપથન માટે સુધારવા માટે થાય છે, જે વિવિધ તરંગલંબાઈના પ્રકાશના વિવિધ ઝડપે મુસાફરી કરવાને કારણે થતા છબીના વિકૃતિકરણ છે.
• માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ નાની વસ્તુઓને મોટી કરવા માટે થાય છે. ગોળાકાર વિપથન માટે સુધારવા માટે પ્રિઝમનો ઉપયોગ થતો નથી; તે માટે સુધારાત્મક લેન્સ અથવા એસ્ફેરિક લેન્સનો ઉપયોગ થાય છે. ગોળાકાર વિપથન એ લેન્સની ગોળાકાર આકૃતિને કારણે થતી છબીઓનું વિકૃતિકરણ છે.
• લેસરનો ઉપયોગ પ્રકાશની સાંકળી બીમ ઉત્પન્ન કરવા માટે થાય છે. પ્રિઝમનો ઉપયોગ લેસર બીમને વિખેરવા અને તેનો આકાર નિયંત્રિત કરવા માટે થાય છે.

પ્રિઝમ બહુમુખી ઓપ્ટિકલ તત્વો છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રકારના ઉપયોગોમાં થાય છે. તેમની અનન્ય ગુણધર્મો તેમને ઘણા ઓપ્ટિકલ ઉપકરણો માટે આવશ્યક બનાવે છે.

પ્રિઝમ સૂત્ર વ્યુત્પત્તિ FAQs#

પ્રિઝમ સૂત્ર શું છે?

પ્રિઝમ સૂત્ર એ એક સમીકરણ છે જે પ્રિઝમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશ કિરણના વિચલન કોણને પ્રિઝમ સામગ્રીના વક્રીભવનાંક અને પ્રકાશ કિરણના આપાત કોણ સાથે સંબંધિત કરે છે.

પ્રિઝમ સૂત્ર કેવી રીતે મેળવવામાં આવે છે?

પ્રિઝમ સૂત્ર વક્રીભવનના નિયમો અને સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.

પ્રિઝમ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિમાં કઈ ધારણાઓ કરવામાં આવી છે?

પ્રિઝમ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિમાં નીચેની ધારણાઓ કરવામાં આવી છે:

• પ્રિઝમ સજાતીય સામગ્રીથી બનેલો છે.
• પ્રિઝમ એક પાતળો પ્રિઝમ છે, એટલે કે પ્રિઝમનો કોણ નાનો છે.
• પ્રકાશ કિરણ પ્રિઝમ પર નાના કોણે આપાત થાય છે.

વિચલન કોણ શું છે?

વિચલન કોણ એ પ્રિઝમમાંથી પસાર થયા પછી આપાત પ્રકાશ કિરણ અને નિર્ગમન પ્રકાશ કિરણ વચ્ચેનો કોણ છે.

વક્રીભવનાંક શું છે?

કોઈ સામગ્રીનો વક્રીભવનાંક એ એક માપ છે કે હવામાંથી સામગ્રીમાં પ્રવેશ કરતા પ્રકાશ કેટલો વળે છે.

સ્નેલનો નિયમ શું છે?

સ્નેલનો નિયમ ઓપ્ટિક્સનો એક નિયમ છે જે એક માધ્યમથી બીજા માધ્યમમાં પસાર થતા પ્રકાશ કિરણના આપાત કોણને વક્રીભવન કોણ સાથે સંબંધિત કરે છે.

પ્રિઝમ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિમાં સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે?

પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટીમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશ કિરણના વક્રીભવન કોણની ગણતરી કરવા માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ થાય છે. પછી આ કોણનો ઉપયોગ પ્રિઝમની બીજી સપાટી પર પ્રકાશ કિરણના આપાત કોણની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

પ્રિઝમ સૂત્ર માટેનું અંતિમ સમીકરણ શું છે?

પ્રિઝમ સૂત્ર માટેનું અંતિમ સમીકરણ છે:

$$D = (n-1)A$$

જ્યાં:

• D એ વિચલન કોણ છે
• n એ પ્રિઝમ સામગ્રીનો વક્રીભવનાંક છે
• A એ પ્રિઝમનો કોણ છે

પ્રિઝમના કેટલાક ઉપયોગો શું છે?

પ્રિઝમ સૂત્રનો ઉપયોગ વિવિધ ઉપયોગોમાં થાય છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

• સ્પેક્ટ્રોમીટર
• રીફ્રેક્ટોમીટર
• પ્રિઝમ
• લેન્સ