પ્રસરણ સ્થિરાંક (Propagation Constant)

પ્રસરણ સ્થિરાંક#

પ્રસરણ સ્થિરાંક એક જટિલ સંખ્યા છે જે વર્ણવે છે કે કોઈ માધ્યમમાં તરંગ કેવી રીતે પ્રસરે છે. તેને માધ્યમના આંતરિક પ્રતિબાધ અને તરંગ પ્રતિબાધના ગુણાકારના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

સૂત્ર#

પ્રસરણ સ્થિરાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

$$ \gamma = \sqrt{\varepsilon \mu} $$

જ્યાં:

• $\gamma$ એ રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં પ્રસરણ સ્થિરાંક છે
• $\varepsilon$ એ ફેરડ પ્રતિ મીટરમાં માધ્યમની પરમિટિવિટી છે
• $\mu$ એ હેન્રી પ્રતિ મીટરમાં માધ્યમની પરમિએબિલિટી છે

એકમો#

પ્રસરણ સ્થિરાંકને રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં માપવામાં આવે છે.

ભૌતિક અર્થઘટન#

પ્રસરણ સ્થિરાંકનું ભૌતિક અર્થઘટન એ તરંગનું કંપનવિસ્તાર માધ્યમમાં પ્રસરતા કેવી દરે ઘટે છે તે તરીકે થાય છે. આ એટલા માટે કે પ્રસરણ સ્થિરાંક એ ક્ષીણતા સ્થિરાંક સાથે સંબંધિત છે, જે એક આપેલ અંતર પર તરંગના કંપનવિસ્તારમાં કેટલી ઘટાડો થાય છે તેનું માપ છે.

પ્રસરણ સ્થિરાંક એક જટિલ સંખ્યા છે જે વર્ણવે છે કે કોઈ માધ્યમમાં તરંગ કેવી રીતે પ્રસરે છે. તેનો ઉપયોગ વિવિધ એપ્લિકેશનોમાં થાય છે, જેમાં એન્ટેના ડિઝાઇન, વેવગાઇડ ડિઝાઇન, ફાઇબર ઓપ્ટિક કમ્યુનિકેશન અને રડાર સિસ્ટમોનો સમાવેશ થાય છે.

પ્રસરણ સ્થિરાંક સૂત્ર#

પ્રસરણ સ્થિરાંક, જેને જટિલ પ્રસરણ સ્થિરાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, એ જટિલ-મૂલ્યવાળી રાશિ છે જે માધ્યમમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના પ્રસરણનું વર્ણન કરે છે. તેને આંતરિક પ્રતિબાધ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણાકારના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

સૂત્ર#

પ્રસરણ સ્થિરાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

$$\gamma = \sqrt{j\omega\mu(\sigma + j\omega\varepsilon)}$$

જ્યાં:

• $\gamma$ એ રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં પ્રસરણ સ્થિરાંક છે.
• $j$ એ કાલ્પનિક એકમ છે.
• $\omega$ એ રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડમાં કોણીય આવૃત્તિ છે.
• $\mu$ એ હેન્રી પ્રતિ મીટરમાં માધ્યમની પરમિએબિલિટી છે.
• $\sigma$ એ સિમેન્સ પ્રતિ મીટરમાં માધ્યમની વાહકતા છે.
• $\varepsilon$ એ ફેરડ પ્રતિ મીટરમાં માધ્યમની પરમિટિવિટી છે.

વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો#

પ્રસરણ સ્થિરાંકના બે ભાગો હોય છે: એક વાસ્તવિક ભાગ અને એક કાલ્પનિક ભાગ. વાસ્તવિક ભાગને ક્ષીણતા સ્થિરાંક કહેવામાં આવે છે અને કાલ્પનિક ભાગને ફેઝ સ્થિરાંક કહેવામાં આવે છે.

ક્ષીણતા સ્થિરાંક $\alpha$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

$$\alpha = \frac{1}{2}\sqrt{\omega\mu\sigma}$$

ફેઝ સ્થિરાંક $\beta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

$$\beta = \frac{1}{2}\sqrt{\omega\mu\varepsilon}$$

એપ્લિકેશનો#

પ્રસરણ સ્થિરાંકનો ઉપયોગ વિવિધ એપ્લિકેશનોમાં થાય છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

• એન્ટેના ડિઝાઇન
• ટ્રાન્સમિશન લાઇન વિશ્લેષણ
• વેવગાઇડ ડિઝાઇન
• ફાઇબર ઓપ્ટિક કમ્યુનિકેશન

પ્રસરણ સ્થિરાંક એક જટિલ-મૂલ્યવાળી રાશિ છે જે માધ્યમમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના પ્રસરણનું વર્ણન કરે છે. તેનો ઉપયોગ વિવિધ એપ્લિકેશનોમાં થાય છે, જેમાં એન્ટેના ડિઝાઇન, ટ્રાન્સમિશન લાઇન વિશ્લેષણ, વેવગાઇડ ડિઝાઇન અને ફાઇબર ઓપ્ટિક કમ્યુનિકેશનનો સમાવેશ થાય છે.

ટ્રાન્સમિશન લાઇન માટે પ્રસરણ સ્થિરાંક#

પ્રસરણ સ્થિરાંક એક જટિલ સંખ્યા છે જે વર્ણવે છે કે ટ્રાન્સમિશન લાઇન સાથે સિગ્નલ કેવી રીતે પ્રસરે છે. તેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$$\gamma = \sqrt{Z Y}$$

જ્યાં:

• $\gamma$ એ રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં પ્રસરણ સ્થિરાંક છે
• $Z$ એ ઓહ્મમાં ટ્રાન્સમિશન લાઇનનો લાક્ષણિક પ્રતિબાધ છે
• $Y$ એ સિમેન્સ પ્રતિ મીટરમાં ટ્રાન્સમિશન લાઇનની એડમિટન્સ છે

પ્રસરણ સ્થિરાંકનો ઉપયોગ ટ્રાન્સમિશન લાઇનના નીચેના પરિમાણોની ગણતરી માટે થઈ શકે છે:

• મીટરમાં સિગ્નલની તરંગલંબાઈ
• મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં સિગ્નલનો પ્રસરણ વેગ
• નેપર પ્રતિ મીટરમાં સિગ્નલની ક્ષીણતા
• રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં સિગ્નલનો ફેઝ શિફ્ટ

તરંગલંબાઈ#

ટ્રાન્સમિશન લાઇન પર સિગ્નલની તરંગલંબાઈ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$$\lambda = \frac{2\pi}{k}$$

જ્યાં:

• $\lambda$ એ મીટરમાં તરંગલંબાઈ છે
• $\gamma$ એ રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં પ્રસરણ સ્થિરાંક છે

પ્રસરણ વેગ#

ટ્રાન્સમિશન લાઇન પર સિગ્નલનો પ્રસરણ વેગ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$$v = \frac{\omega}{\gamma}$$

જ્યાં:

• $v$ એ મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં પ્રસરણ વેગ છે
• $\omega$ એ રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડમાં સિગ્નલની કોણીય આવૃત્તિ છે
• $\gamma$ એ રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં પ્રસરણ સ્થિરાંક છે

ક્ષીણતા#

ટ્રાન્સમિશન લાઇન પર સિગ્નલની ક્ષીણતા નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$$\alpha = \frac{1}{2}\Re(\gamma)$$

જ્યાં:

• $\alpha$ એ નેપર પ્રતિ મીટરમાં ક્ષીણતા છે
• $\Re(\gamma)$ એ રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં પ્રસરણ સ્થિરાંકનો વાસ્તવિક ભાગ છે

ફેઝ શિફ્ટ#

ટ્રાન્સમિશન લાઇન પર સિગ્નલનો ફેઝ શિફ્ટ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$$\beta = \frac{1}{2}\Im(\gamma)$$

જ્યાં:

• $\beta$ એ રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં ફેઝ શિફ્ટ છે
• $\Im(\gamma)$ એ રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં પ્રસરણ સ્થિરાંકનો કાલ્પનિક ભાગ છે

પ્રસરણ સ્થિરાંક એક જટિલ સંખ્યા છે જે વર્ણવે છે કે ટ્રાન્સમિશન લાઇન સાથે સિગ્નલ કેવી રીતે પ્રસરે છે. તેનો ઉપયોગ ટ્રાન્સમિશન લાઇન પર સિગ્નલની તરંગલંબાઈ, પ્રસરણ વેગ, ક્ષીણતા અને ફેઝ શિફ્ટની ગણતરી માટે થઈ શકે છે.

પ્રસરણ સ્થિરાંક સોલ્વ્ડ ન્યૂમેરિકલ્સ#

ઉદાહરણ 1:#

એક ટ્રાન્સમિશન લાઇનમાં નીચેના પરિમાણો છે:

• લાક્ષણિક પ્રતિબાધ: $$Z_0 = 50 \Omega$$
• પ્રસરણ સ્થિરાંક: $$\gamma = 0.01 + j0.02 \text{ rad/m}$$

ફેઝ સ્થિરાંક અને ક્ષીણતા સ્થિરાંક શોધો.

ઉકેલ:

ફેઝ સ્થિરાંક નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$$\beta = \Re(\gamma) = 0.01 \text{ rad/m}$$

ક્ષીણતા સ્થિરાંક નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$$\alpha = \Im(\gamma) = 0.02 \text{ rad/m}$$

ઉદાહરણ 2:#

એક કોએક્ષિયલ કેબલના નીચેના પરિમાણો છે:

• આંતરિક કન્ડક્ટર ત્રિજ્યા: $$a = 1 \text{ mm}$$
• બાહ્ય કન્ડક્ટર ત્રિજ્યા: $$b = 2 \text{ mm}$$
• ડાઇઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંક: $$\epsilon_r = 4$$

1 GHz ની આવૃત્તિ પર કેબલનો પ્રસરણ સ્થિરાંક શોધો.

ઉકેલ:

પ્રસરણ સ્થિરાંક નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$$\gamma = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$$

જ્યાં:

• $R$ એ એકમ લંબાઈ પ્રતિ પ્રતિરોધ છે
• $L$ એ એકમ લંબાઈ પ્રતિ ઇન્ડક્ટન્સ છે
• $G$ એ એકમ લંબાઈ પ્રતિ કન્ડક્ટન્સ છે
• $C$ એ એકમ લંબાઈ પ્રતિ કેપેસિટન્સ છે

કોએક્ષિયલ કેબલ માટે, એકમ લંબાઈ પ્રતિ પ્રતિરોધ, ઇન્ડક્ટન્સ, કન્ડક્ટન્સ અને કેપેસિટન્સ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$$R = \frac{1}{2\pi\sigma b}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

$$L = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

$$G = \frac{\omega\epsilon_0\epsilon_r}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

$$C = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_r L}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}$$

જ્યાં:

• $\sigma$ એ કન્ડક્ટરની વાહકતા છે
• $\mu_0$ એ મુક્ત આકાશની પરમિએબિલિટી છે
• $\epsilon_0$ એ મુક્ત આકાશની પરમિટિવિટી છે

ઉપરોક્ત સમીકરણોમાં આપેલ મૂલ્યો મૂકતા, આપણને મળે છે:

$$R = \frac{1}{2\pi(10^7)(2\times10^{-3})}\ln\left(\frac{2\times10^{-3}}{1\times10^{-3}}\right) = 0.0025 \Omega/\text{m}$$

$$L = \frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}\ln\left(\frac{2\times10^{-3}}{1\times10^{-3}}\right) = 200 \text{ nH/m}$$

$$G = \frac{2\pi\times10^9\times8.85\times10^{-12}\times4}{2\pi}\ln\left(\frac{2\times10^{-3}}{1\times10^{-3}}\right) = 2.26\times10^{-4} \text{ S/m}$$

$$C = \frac{2\pi\times8.85\times10^{-12}\times4}{\ln\left(\frac{2\times10^{-3}}{1\times10^{-3}}\right)} = 113 \text{ pF/m}$$

પ્રસરણ સ્થિરાંકના સમીકરણમાં આ મૂલ્યો મૂકતા, આપણને મળે છે:

$$\gamma = \sqrt{(0.0025+j2\pi\times10^9\times200\times10^{-9})(2.26\times10^{-4}+j2\pi\times10^9\times113\times10^{-12})}$$

$$\gamma = 0.01 + j0.02 \text{ rad/m}$$

તેથી, 1 GHz ની આવૃત્તિ પર કેબલનો પ્રસરણ સ્થિરાંક $$0.01 + j0.02 \text{ rad/m}$$ છે.

પ્રસરણ સ્થિરાંક FAQs#

પ્રસરણ સ્થિરાંક શું છે?#

પ્રસરણ સ્થિરાંક એક જટિલ સંખ્યા છે જે વર્ણવે છે કે કોઈ માધ્યમમાં તરંગ કેવી રીતે પ્રસરે છે. તેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$$\gamma = \alpha + j\beta$$

જ્યાં:

• $\alpha$ એ ક્ષીણતા સ્થિરાંક છે, જે વર્ણવે છે કે તરંગનું કંપનવિસ્તાર પ્રસરતા કેવી રીતે ઘટે છે
• $\beta$ એ ફેઝ સ્થિરાંક છે, જે વર્ણવે છે કે તરંગનો ફેઝ પ્રસરતા કેવી રીતે બદલાય છે

પ્રસરણ સ્થિરાંકના એકમો શું છે?#

પ્રસરણ સ્થિરાંક સામાન્ય રીતે રેડિયન પ્રતિ મીટરમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

પ્રસરણ સ્થિરાંક તરંગની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?#

પ્રસરણ સ્થિરાંક તરંગની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ સાથે નીચેના સમીકરણો દ્વારા સંબંધિત છે:

$$\beta = \frac{2\pi}{\lambda}$$

$$\alpha = \frac{\beta}{2Q}$$

જ્યાં:

• $\lambda$ એ તરંગની તરંગલંબાઈ છે
• $f$ એ તરંગની આવૃત્તિ છે
• $Q$ એ માધ્યમનો ગુણવત્તા પરિબળ છે

પ્રસરણ સ્થિરાંકનું મહત્વ શું છે?#

પ્રસરણ સ્થિરાંક એ વિવિધ માધ્યમોમાં તરંગો કેવી રીતે પ્રસરે છે તે સમજવા માટે ઉપયોગી સાધન છે. તેનો ઉપયોગ તરંગની ક્ષીણતા અને ફેઝ શિફ્ટ, તેમજ માધ્યમના પ્રતિબાધની ગણતરી માટે થઈ શકે છે.

પ્રસરણ સ્થિરાંકની કેટલીક એપ્લિકેશનો શું છે?#

પ્રસરણ સ્થિરાંકનો ઉપયોગ વિવિધ એપ્લિકેશનોમાં થાય છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

• ટેલિકોમ્યુનિકેશન: પ્રસરણ સ્થિરાંકનો ઉપયોગ એન્ટેના અને ટ્રાન્સમિશન લાઇન ડિઝાઇન કરવા માટે થાય છે.
• એકોસ્ટિક્સ: પ્રસરણ સ્થિરાંકનો ઉપયોગ સાઉન્ડપ્રૂફિંગ મટિરિયલ ડિઝાઇન કરવા અને રૂમનો રિવર્બરેશન સમય આગાહી કરવા માટે થાય છે.
• ઓપ્ટિક્સ: પ્રસરણ સ્થિરાંકનો ઉપયોગ વેવગાઇડ અને એન્ટેના ડિઝાઇન કરવા માટે થાય છે.

નિષ્કર્ષ#

પ્રસરણ સ્થિરાંક એક જટિલ સંખ્યા છે જે વર્ણવે છે કે કોઈ માધ્યમમાં તરંગ કેવી રીતે પ્રસરે છે. તે વિવિધ માધ્યમોમાં તરંગો કેવી રીતે પ્રસરે છે તે સમજવા માટે ઉપયોગી સાધન છે અને ટેલિકોમ્યુનિકેશન, એકોસ્ટિક્સ અને ઓપ્ટિક્સમાં તેની વિવિધ એપ્લિકેશનો છે.