ચાપ્ટર 8 સ્થાયી પ્રાથમિકતાઓ અને કડકત્વ અનુભવો

જવાબ

સ્ટીલ રેખાઓની લંબાઇ, $L_1=4.7 m$

સ્ટીલ રેખાઓનું ક્ષેત્રફળ, $A_1=3.0 \times 10^{-5} m^{2}$

સૂકા રેખાઓની લંબાઇ, $L_2=3.5 m$

સૂકા રેખાઓનું ક્ષેત્રફળ, $A_2=4.0 \times 10^{-5} m^{2}$

લંબાઇમાં ફેરફાર $=\Delta L_1=\Delta L_2=\Delta L$

બંને કેસમાં લાગેલ ભાર $=F$

સ્ટીલ રેખાઓનું યંગનું મૂલ્ય:

$$ \begin{align*} & Y_1=\frac{F_1}{A_1} \times \frac{L_1}{\Delta L} \\ & =\frac{F \times 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{i} \end{align*} $$

સૂકા રેખાઓનું યંગનું મૂલ્ય:

$$ \begin{align*} Y_2 & =\frac{F_2}{A_2} \times \frac{L_2}{\Delta L_2} \\ & =\frac{F \times 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{ii} \end{align*} $$

(i) અને (ii) ને ભાગાંકિત કરતાં, મેળ મેળ મેળવીએ:

$ \frac{Y_1}{Y_2}=\frac{4.7 \times 4.0 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5} \times 3.5}=1.79: 1 $

સ્ટીલનું યંગનું મૂલ્ય અને સૂકાનું મૂલ્યનો ગુણોત્તર $1.79: 1$ છે.

જવાબ

આપેલ ગ્રાફથી સ્પષ્ટ છે કે તણાવ $150 \times 10^{6} N / m^{2}$ માટે સ્ટ્રેન 0.002 છે.

$\therefore$ યંગનું મૂલ્ય, $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

$ =\frac{150 \times 10^{6}}{0.002}=7.5 \times 10^{10} N / m^{2} $

તો, આપેલ પદાર્થ માટે યંગનું મૂલ્ય $7.5 \times 10^{10} N / m^{2}$ છે.

પદાર્થનું યિલ્ડ સ્ટ્રેન્ગ્થ એ છે કે પદાર્થ તણાવ એ પદાર્થ કે જે પદાર્થ એ એક્ઝલાસ્ટિક મર્યાદાને પાર કરી ન શકે તેમ છે.

આપેલ ગ્રાફથી સ્પષ્ટ છે કે આ પદાર્થનું આરોપિત યિલ્ડ સ્ટ્રેન્ગ્થ 300 $\times 10^{6} Nm /{ }^{2}$ છે અથવા $3 \times 10^{8} N / m^{2}$.

જવાબ

(a) A

(b) A

આપેલ સ્ટ્રેન માટે, પદાર્થ $\mathbf{A}$ માટે તણાવ પદાર્થ $\mathbf{B}$ માટેના કરતાં વધુ છે જે બે ગ્રાફોમાં દર્શાવાયેલ છે.

યંગનું મૂલ્ય $=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

આપેલ સ્ટ્રેન માટે, જો પદાર્થનો તણાવ વધુ હોય, તો યંગનું મૂલ્ય તે પદાર્થ માટે પણ વધુ હોય છે. તો, પદાર્થ A માટે યંગનું મૂલ્ય પદાર્થ $\mathbf{B}$ માટેના કરતાં વધુ છે.

પદાર્થની સામર્થ્યતા એ છે કે જે પદાર્થને ત્રાસ પર્યાપ્ત થવા સુધી લાગેલ તણાવ આપે છે. ત્રાસ પર્યાપ્ત થવા માટેનો પગલું એ તણાવ-સ્ટ્રેન કર્વનો અતિરિક્ત પગલું છે. તેમ જ દેખાય છે કે પદાર્થ $\mathbf{A}$ પદાર્થ $\mathbf{B}$ કરતાં વધુ સ્ટ્રેન સહન કરી શકે છે. તો, પદાર્થ $\mathbf{A}$ પદાર્થ $\mathbf{B}$ કરતાં સખત છે.

જવાબ

(a) ખોટું

(b) સત્ય

આપેલ તણાવ માટે, રબરમાં સ્ટ્રેન સ્ટીલમાંથી વધુ છે.

યંગનું મૂલ્ય, $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

એક જ તણાવ માટે: $Y \propto \frac{1}{\text{ Strain }}$

તો, રબર માટે યંગનું મૂલ્ય સ્ટીલ માટેના કરતાં ઓછું છે.

સ્કેર મૂલ્ય એ એક શરીરનો તણાવ અને તેના આકારમાં ફેરફારનું ગુણોત્તર છે. કોઇલનું સ્ટ્રેચિંગ તેના આકારમાં ફેરફાર કરે છે. તો, આ પ્રક્રિયામાં સ્કેર મૂલ્ય સહિત એક્ઝલાસ્ટિક મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલ છે.

જવાબ

સ્ટીલ રેખાઓની લંબાઇમાં બનાવટ $=1.49 \times 10^{-4} m$

બ્રાઝિલ રેખાઓની લંબાઇમાં બનાવટ $=1.3 \times 10^{-4} m$

રેખાઓનો ડાયમીટર, $d=0.25 m$

તો, રેખાઓનો રેડિયસ, $\quad r=\frac{d}{2}=0.125 cm$

સ્ટીલ રેખાઓની લંબાઇ, $L_1=1.5 m$

બ્રાઝિલ રેખાઓની લંબાઇ, $L_2=1.0 m$

સ્ટીલ રેખાઓ પર કુલ ભાર:

$F_1=(4+6) g=10 \times 9.8=98 N$

સ્ટીલ માટેનું યંગનું મૂલ્ય:

$Y_1=\frac{(\frac{F_1}{A_1})}{(\frac{\Delta L_1}{L_1})}$

જ્યાં,

$\Delta L_1=$ સ્ટીલ રેખાઓની લંબાઇમાં બનાવટ

$A_1=$ સ્ટીલ રેખાઓનું ક્ષેત્રફળ $=\pi r_1^{2}$

સ્ટીલનું યંગનું મૂલ્ય, $Y_1=2.0 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_1 & =\frac{F_1 \times L_1}{A_1 \times Y_1}=\frac{F_1 \times L_1}{\pi r_1^{2} \times Y_1} \\ & =\frac{98 \times 1.5}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 2 \times 10^{11}}=1.49 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

બ્રાઝિલ રેખાઓ પર કુલ ભાર:

$F_2=6 \times 9.8=58.8 N$

બ્રાઝિલ માટેનું યંગનું મૂલ્ય:

$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$

જ્યાં,

$\Delta L_2=$ લંબાઇમાં બનાવટ $A_2=$ બ્રાઝિલ રેખાઓનું ક્ષેત્રફળ

$\therefore \Delta L_2=\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2}$

$=\frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times(0.91 \times 10^{11})}=1.3 \times 10^{-4} m$

સ્ટીલ રેખાઓની લંબાઇમાં બનાવટ $=1.49 \times 10^{-4} m$

બ્રાઝિલ રેખાઓની લંબાઇમાં બનાવટ $=1.3 \times 10^{-4} m$

જવાબ

એલ્યુમિનિયમ ઘનરાશિનો કોણ, $L=10 cm=0.1 m$

ઘનરાશિના પર લગાવેલ દળ, $m=100 kg$

એલ્યુમિનિયમનું સ્કેર મૂલ્ય $(\eta)$ $=25 GPa=25 \times 10^{9} Pa$

$ =\frac{\text{ સ્કેર તણાવ }}{\text{ સ્કેર સ્ટ્રેન }}=\frac{\frac{F}{A}}{L} $

સ્કેર મૂલ્ય, $\eta$

જ્યાં,

$F=$ લાગેલ ભાર $=m g=100 \times 9.8=980 N$

$A=$ ઘનરાશિના એક ચહેરાનું ક્ષેત્રફળ $=0.1 \times 0.1=0.01 m^{2}$

$\Delta L=$ ઘનરાશિના ઊભા ડિફૉર્મેશન

$\therefore \Delta L=\frac{F L}{A \eta}$

$ =\frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times(25 \times 10^{9})} $

$=3.92 \times 10^{-7} m$

ઘનરાશિના આ ચહેરાનો ઊભો ડિફૉર્મેશન $3.92 \times 10^{-7} m$ છે.

જવાબ

મોટા ઘટકનો દળ, $M=50,000 kg$

કોલમનો આંતરિક રેડિયસ, $r=30 cm=0.3 m$

કોલમનો બાહ્ય રેડિયસ, $R=60 cm=0.6 m$

સ્ટીલનું યંગનું મૂલ્ય, $Y=2 \times 10^{11} Pa$

કુલ ભાર, $F=M g=50000 \times 9.8 N$

તણાવ $=$ એક કોલમ પર લાગેલ ભાર $=\frac{50000 \times 9.8}{4}=122500 N$

યંગનું મૂલ્ય, $Y=\frac{\text{ Strcss }}{\text{ Strain }}$

જ્યાં,

ક્ષેત્રફળ, $A=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi((0.6)^{2}-(0.3)^{2})$

સ્ટ્રેન $=\frac{122500}{\pi[(0.6)^{2}-(0.3)^{2}] \times 2 \times 10^{11}}=7.22 \times 10^{-7}$

તો, દરેક કોલમનો સંકોચનાત્મક સ્ટ્રેન $7.22 \times 10^{-7}$ છે.

જવાબ

કોપરના પેશાની લંબાઇ, $l=19.1 mm=19.1 \times 10^{-3} m$

કોપરના પેશાની પહોંચ, $b=15.2 mm=15.2 \times 10^{-3} m$

કોપરના પેશાનું ક્ષેત્રફળ:

$A=l \times b$

$=19.1 \times 10^{-3} \times 15.2 \times 10^{-3}$ $=2.9 \times 10^{-4} m^{2}$

કોપરના પેશા પર લાગેલ ટેન્શન ભાર, $F=44500 N$

કોપરનું એલિસ્ટિક મૂલ્ય, $\eta=42 \times 10^{9} N / m^{2}$

એલિસ્ટિક મૂલ્ય, $\eta=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}$

$\therefore$ સ્ટ્રેન $=\frac{F}{A \eta}$

$ =\frac{44500}{2.9 \times 10^{-4} \times 42 \times 10^{9}} $

$=3.65 \times 10^{-3}$

જવાબ

સ્ટીલ કેબલનો રેડિયસ, $r=1.5 cm=0.015 m$

મહત્તમ મંજૂરીપ્રાપ્ત તણાવ $=10^{8} N m^{-2}$

મહત્તમ તણાવ $=\frac{\text{ Maximum force }}{\text{ Area of cross-section }}$

$\therefore$ મહત્તમ ભાર $=$ મહત્તમ તણાવ $\times$ ક્ષેત્રફળ

$=10^{8} \times \pi(0.015)^{2}$

$=7.065 \times 10^{4} N$

તો, કેબલ તેને સપોર્ટ કરી શકે તેટલો મહત્તમ ભાર $7.065 \times 10^{4} N$ છે.

જવાબ

દરેક રેખાઓ પર લાગેલ ટેન્શન ભાર એક જ છે. તો, દરેક કેસમાં બનાવટ એક જ છે. જ્યાં સુધી રેખાઓની લંબાઇ એક જ છે, ત્યાં સુધી સ્ટ્રેન પણ એક જ હશે.

યંગનું મૂલ્ય માટે આપેલ સંબંધ આપેલ છે:

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{4 F}{\pi d^{2}}}{\text{ Strain }} \tag{i} \end{equation*} $$

જ્યાં,

$F=$ ટેન્શન ભાર

$A=$ ક્ષેત્રફળ

$d=$ રેખાઓનો ડાયમીટર

સમીકરણ $(i)$ થી આઉટર મેળ મેળ મેળવીએ તો $Y \propto \frac{1}{d^{2}}$

આયરન માટેનું યંગનું મૂલ્ય, $Y_1=190 \times 10^{9} Pa$

આયરન રેખાઓનો ડાયમીટર $=d_1$

કોપર માટેનું યંગનું મૂલ્ય, $Y_2=110 \times 10^{9} Pa$

કોપર રેખાઓનો ડાયમીટર $=d_2$

તો, તેમના ડાયમીટરોનો ગુણોત્તર આપેલ છે:

$\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}=\sqrt{\frac{190 \times 10^{9}}{110 \times 10^{9}}}=\sqrt{\frac{19}{11}}=1.31: 1$

જવાબ

દળ, $m=14.5 kg$

સ્ટીલ રેખાઓની લંબાઇ, $l=1.0 m$

કોણીય વિક્ષેપ, $\omega=2 rev / s$

રેખાઓનું આકૃતિક ક્ષેત્રફળ, $a=0.065 cm^{2}$

જ્યાં $\delta l$ એ રેખાઓની લંબાઇમાં બનાવટ છે જ્યાં દળ ચક્રની નીચેની બાજુમાં હોય.

જ્યાં દળ ઊંચાઇમાં વર્ગીકૃત ચક્રની સ્થિતિમાં રહે છે, ત્યાં દળ પર કુલ ભાર આપેલ છે:

$ \begin{aligned} & F=m g+m l \omega^{2} \\ & =14.5 \times 9.8+14.5 \times 1 \times(2)^{2} \\ & =200.1 N \\ & \text{ યંગનું મૂલ્ય }=\frac{\text{ તણાવ }}{\text{ સ્ટ્રેન }} \\ & Y=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta l}{l}}=\frac{F}{A} \frac{l}{\Delta l} \\ & \therefore \Delta l=\frac{F l}{A Y} \end{aligned} $

સ્ટીલ માટેનું યંગનું મૂલ્ય $=2 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta l & =\frac{200.1 \times 1}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}}=1539.23 \times 10^{-7} \\ & =1.539 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

તો, રેખાઓની લંબાઇમાં બનાવટ $1.539 \times 10^{-4} m$ છે.

જવાબ

પ્રારંભિક ઘનરાશિ, $V_1=100.01=100.0 \times 10^{-3} m^{3}$

અંતિમ ઘનરાશિ, $V_2=100.51=100.5 \times 10^{-3} m^{3}$

ઘનરાશિમાં વધારો, $\Delta V=V_2-V_1=0.5 \times 10^{-3} m^{3}$

તણાવમાં વધારો, $\Delta p=100.0 atm=100 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

બલ્ક મૂલ્ય $=\frac{\Delta p}{\frac{\Delta V}{V_1}}=\frac{\Delta p \times V_1}{\Delta V}$

$ \begin{aligned} & =\frac{100 \times 1.013 \times 10^{5} \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} \\ & =2.026 \times 10^{9} Pa \end{aligned} $

હવાનું બલ્ક મૂલ્ય $=1.0 \times 10^{5} Pa$

$\therefore \frac{\text{ Bulk modulus of water }}{\text{ Bulk modulus of air }}=\frac{2.026 \times 10^{9}}{1.0 \times 10^{5}}=2.026 \times 10^{4}$

આ ગુણોત્તર ખૂબ જ વધુ છે કારણ કે હવા પાણીના કરતાં વધુ સંકોચનશીલ છે.

જવાબ

આપેલ આંતરિક ગહરાવ તો $h$ હોય.

આપેલ આંતરિક ગહરાવ પર તણાવ, $p=80.0 atm=80 \times 1.01 \times 10^{5} Pa$

પારસમાં પાણીની ઘનરાશિ, $\rho_1=1.03 \times 10^{3} kg m^{-3}$

જ્યાં $\rho_2$ એ આંતરિક ગહરાવ $h$ પર પાણીની ઘનરાશિ છે.

જ્યાં $V_1$ એ પારસમાં દળ $m$ હોય તેનું ઘનરાશિ છે.

જ્યાં $V_2$ એ આંતરિક ગહરાવ $h$ પર દળ $m$ હોય તેનું ઘનરાશિ છે.

જ્યાં $\Delta V$ એ ઘનરાશિમાં બનાવટ છે.

$ \begin{aligned} \Delta V & =V_1-V_2 \\ & =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \end{aligned} $

$\therefore$ ઘનરાશિક સ્ટ્રેન $=\frac{\Delta V}{V_1}$

$ =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \times \frac{\rho_1}{m} $

$\therefore \frac{\Delta V}{V_1}=1-\frac{\rho_1}{\rho_2}$

બલ્ક મૂલ્ય, $B=\frac{p V_1}{\Delta V}$

$ \frac{\Delta V}{V_1}=\frac{p}{B} $

પાણીની સંકોચનશીલ $=\frac{1}{B}=45.8 \times 10^{-11} Pa^{-1}$

$$ \begin{equation*} \therefore \frac{\Delta V}{V_1}=80 \times 1.013 \times 10^{5} \times 45.8 \times 10^{-11}=3.71 \times 10^{-3} \tag{ii} \end{equation*} $$

સમીકરણ ( $i$ ) અને (ii) માટે, મેળ મેળ મેળવીએ:

$ \begin{aligned} & 1-\frac{\rho_1}{\rho_2}=3.71 \times 10^{-3} \\ & \rho_2=\frac{1.03 \times 10^{3}}{1-(3.71 \times 10^{-3})} \\ & \quad=1.034 \times 10^{3} kg m^{-3} \end{aligned} $

તો, આપેલ આંતરિક ગહરાવ $(h)$ પર પાણીની ઘનરાશિ $1.034 \times 10^{3} kg m^{-3}$ છે.

જવાબ

લીલા પેશા પર લાગેલ હાઇડ્રોલિક તણાવ, $p=10 atm=10 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

લીલાનું બલ્ક મૂલ્ય, $B=37 \times 10^{9} Nm^{-2}$

બલ્ક મૂલ્ય, $B=\frac{p}{\Delta V}$

જ્યાં,

$ \begin{aligned} & \frac{\Delta V}{V}=\text{ ઘનરાશિમાં ફેરફારનો ભાગ } \\ & \begin{aligned} \therefore \frac{\Delta V}{V} & =\frac{p}{B} \\ & =\frac{10 \times 1.013 \times 10^{5}}{37 \times 10^{9}} \\ & =2.73 \times 10^{-5} \end{aligned} \end{aligned} $

તો, લીલા પેશાની ઘનરાશિમાં ફેરફારનો ભાગ $2.73 \times 10^{-5}$ છે.

જવાબ

ઘનરાશિની કોપર ઘનરાશિનો કોણ, $l=10 cm=0.1 m$

હાઇડ્રોલિક તણાવ, $p=7.0 \times 10^{6} Pa$

કોપરનું બલ્ક મૂલ્ય, $B=140 \times 10^{9} Pa$

બલ્ક મૂલ્ય, $B=\frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$

જ્યાં,

$\frac{\Delta V}{V}=$ ઘનરાશિક સ્ટ્રેન

$\Delta V=$ ઘનરાશિમાં બનાવટ

$V=$ પ્રારંભિક ઘનરાશિ.

$\Delta V=\frac{p V}{B}$

ઘનરાશિનો પ્રારંભિક ઘનરાશિ, $V=l^{3}$

$\therefore \Delta V=\frac{p l^{3}}{B}$

$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times 10^{6} \times(0.1)^{3}}{140 \times 10^{9}} \\ & =5 \times 10^{-8} m^{3} \\ & =5 \times 10^{-2} cm^{-3} \end{aligned} $

તો, ઘનરાશિનો કોપર ઘનરાશિનો ઘનરાશિક સંકોચન $5 \times 10^{-2} cm^{-3}$ છે.

જવાબ

પાણીનું ઘનરાશિ, $V=1 L$

તેમાં પાણી સંકોચાયેલો છે $0.10 \%$. $\therefore$ ભાગોત્તર, $\frac{\Delta V}{V}=\frac{0.1}{100 \times 1}=10^{-3}$

બલ્ક મૂલ્ય, $B=\frac{\rho}{\Delta V}$

$p=B \times \frac{\Delta V}{V}$

પાણીનું બલ્ક મૂલ્ય, $B=2.2 \times 10^{9} Nm^{-2}$

$ \begin{aligned} p & =2.2 \times 10^{9} \times 10^{-3} \\ & =2.2 \times 10^{6} Nm^{-2} \end{aligned} $

તો, પાણી પર તણાવ હોવો જોઈએ $2.2 \times 10^{6} Nm^{-2}$.