આલોકની પ્રસારણ અને વીસર્ટ ઉપકરણો

પ્રશ્ન 1:

એક એકરંગ આલોક પ્રકાશ એક લાલ પટ્ટાની સ્થિતિમાં $60^\circ$ અક્ષાંશે પ્રબંધિત થઈ જાય છે, જેનો પ્રતિબિંબ અનુપાત $\sqrt{3}$ છે. લાલ પટ્ટામાં આંતરિક પ્રસારણનો અક્ષાંશ $r$ છે. $r$ ની કિંમત શું છે?

(1) $30^\circ$ (2) $45^\circ$ (3) $60^\circ$ (4) $\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$

ઉકેલ:

સ્નેલના નિયમ અનુસાર, પ્રબંધિત થતા અક્ષાંશ ($i$), પ્રસારણનો અક્ષાંશ ($r$), અને બે માધ્યમોના પ્રતિબિંબ અનુપાત ($n_1$ અને $n_2$) વચ્ચેનો સંબંધ આપેલ છે:

$$n_1 \sin i = n_2 \sin r$$

અહીં, આલોક પ્રકાશ હવામાંથી પ્રબંધિત થઈ રહ્યો છે, તેથી $n_1 = 1$. લાલ પટ્ટાનો પ્રતિબિંબ અનુપાત $n_2 = \sqrt{3}$ છે, અને પ્રબંધિત થતા અક્ષાંશ $i = 60^\circ$ છે. આ કિંમતોને સ્નેલના નિયમમાં બાંધીને:

$$1 \cdot \sin 60^\circ = \sqrt{3} \sin r$$$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$$$$\sin r = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$ $$r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$$

તેથી, યોગ્ય ઉત્તર એ (1) $30^\circ$ છે.

---

પ્રશ્ન 2:

એક સમયગામી માઇક્રોસ્કોપની અબદલ લેન્સ ફ્યુચર લંબાઈ 2.0 સેમી છે અને એયુપિસ લેન્સ ફ્યુચર લંબાઈ 5.0 સેમી છે. એક વસ્તુ અબદલ લેન્સથી 2.5 સેમી દૂર રાખવામાં આવી છે. જો અંતિમ પ્રતિબિંબ સૌથી નાનાં સ્પષ્ટ દૂરી (D = 25 સેમી) પર બનાવવામાં આવે છે, તો માઇક્રોસ્કોપનો વિસ્તારક શક્તિ શું છે?

(1) 12.5 (2) 25 (3) 100 (4) 250

ઉકેલ:

પહેલા, અબદલ લેન્સ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રતિબિંબની દૂરી ($v_o$) લેન્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:

$$\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$$

આપેલ છે $f_o = 2.0$ સેમી અને $u_o = -2.5$ સેમી (વસ્તુની દૂરી પરિપાતે નકારાત્મક છે):

$$\frac{1}{2.0} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{-2.5}$$$$\frac{1}{2.0} = \frac{1}{v_o} + \frac{1}{2.5}$$$$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{2.0} - \frac{1}{2.5} = \frac{2.5 - 2.0}{2.0 \times 2.5} = \frac{0.5}{5.0} = \frac{1}{10}$$ $$v_o = 10 \text{ cm}$$

અબદલ લેન્સ ($m_o$) દ્વારા પૂર્ણ થતો વિસ્તારક શક્તિ છે:

$$m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$$

હવે, એયુપિસ માટે, અંતિમ પ્રતિબિંબ સૌથી નાનાં સ્પષ્ટ દૂરી ($D = 25$ સેમી) પર બનાવવામાં આવે છે. અબદલ લેન્સ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રતિબિંબ એયુપિસ માટે વસ્તુ તરીકે કામ કરે છે. એયુપિસ માટે વસ્તુની દૂરી છે $u_e$ અને પ્રતિબિંબની દૂરી છે $v_e = -D = -25$ સેમી. એયુપિસનો ફ્યુચર લંબાઈ છે $f_e = 5.0$ સેમી. એયુપિસ માટે લેન્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને:

$$\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$$$$\frac{1}{5.0} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e}$$$$\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5.0} = -\frac{1}{25} - \frac{5}{25} = -\frac{6}{25}$$ $$u_e = -\frac{25}{6} \text{ cm}$$

જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ D પર હોય, ત્યારે એયુપિસ ($m_e$) દ્વારા પૂર્ણ થતો વિસ્તારક શક્તિ છે:

$$m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5.0} = 1 + 5 = 6$$

સમયગામી માઇક્રોસ્કોપ ($M$) નો કુલ વિસ્તારક શક્તિ અબદલ અને એયુપિસ ના વિસ્તારક શક્તિનો ગુણાંક છે:

$$M = m_o \times m_e = (-4) \times 6 = -24$$

જોકોર પૂર્ણ થતી વિકલ્પો ક્યારેય ક્યારેય તેની તુલના કરવામાં આવે છે. આમ તો અમે પુનઃ તપાસીએ છીએ એયુપિસ વિસ્તારક શક્તિ ફોર્મ્યુલા જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ D પર હોય, ત્યારે તે કેટલી છે $1 + \frac{D}{f_e}$.

અમે પુનઃ ગણતરીને તપાસીએ છીએ.

અબદલ લેન્સ: $u_o = -2.5$ સેમી, $f_o = 2.0$ સેમી $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{f_o} + \frac{1}{u_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2.5} = \frac{2.5 - 2}{5} = \frac{0.5}{5} = 0.1$ $v_o = 10$ સેમી $m_o = \frac{v_o}{|u_o|} = \frac{10}{2.5} = 4$ (તુલનાત્મક)

એયુપિસ: $f_e = 5$ સેમી, $D = 25$ સેમી અંતિમ પ્રતિબિંબ D પર હોય ત્યારે એયુપિસનો વિસ્તારક શક્તિ $m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5} = 1 + 5 = 6$

કુલ વિસ્તારક શક્તિ $M = m_o \times m_e = 4 \times 6 = 24$.

પૂર્ણ થતી વિકલ્પો સાથે થોડી અસંગતતા હશે. અમે પ્રશ્ન વિગતો અને મારી ગણતરીઓને ફરીથી તપાસીએ છીએ.

આ, મને એક સંભવિત બિનકાર્ય મળ્યો છે. અબદલ લેન્સ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રતિબિંબ અને એયુપિસની વચ્ચેનું અંતર ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ છે જો તે એયુપિસના ફ્યુચર પોઈન્ટ પર અબદલ લેન્સ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રતિબિંબ નહીં હોય તો સામાન સરળતા માટે. જો પ્રશ્ન માં સ્પષ્ટ રીતે કહેવામાં આવ્યું નહીં કે અબદલ લેન્સ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રતિબિંબ એયુપિસના ફ્યુચર પોઈન્ટ પર હોય તો, તે એક ખાસ સેટઅપ દર્શાવે છે.

અમે ફરીથી $u_e$ માટે ગણતરી કરીએ છીએ એયુપિસ માટે: $\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$ $\frac{1}{5} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e}$ $\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{1 + 5}{25} = -\frac{6}{25}$ $u_e = -\frac{25}{6}$ સેમી

એયુપિસનો વિસ્તારક શક્તિ $m_e = \frac{v_e}{u_e} = \frac{-25}{-25/6} = 6$.

અબદલ લેન્સનો વિસ્તારક શક્તિ $m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$.

કુલ વિસ્તારક શક્તિ $M = m_o \times m_e = (-4) \times 6 = -24$. તુલનાત્મક કિંમત 24 છે, જે વિકલ્પોમાં નથી.

અમે એક સંભવિત સમાનતા ધ્યાનમાં રાખીએ છીએ જ્યાં અબદલ લેન્સ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રતિબિંબ એયુપિસના ફ્યુચર પોઈન્ટથી ખૂબ જ લાંબી દૂર હોય, અને એયુપિસ એક સામાન વિસ્તારક માર્ગદર્શક તરીકે કામ કરે છે.

જો અંતિમ પ્રતિબિંબ અસ્ફુટ હોય (સામાન સરળતા), $m_e = \frac{D}{f_e} = \frac{25}{5} = 5$. ત્યારે $M = m_o \times m_e = -4 \times 5 = -20$ (તુલનાત્મક 20, વિકલ્પ નથી).

અમે પ્રતિબિંબ માઇક્રોસ્કોપની વિસ્તારક શક્તિની સામાન સમાનતા ધ્યાનમાં રાખીએ છીએ જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ D પર હોય, $M \approx -\frac{L}{f_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)$, જ્યાં $L$ એ ટ્યુબ લંબાઈ (અબદલ લેન્સના રેક્ટના રેક્ટ અને એયુપિસના ફરસાના પોઈન્ટ વચ્ચેનું અંતર) છે. અમને $L$ નથી.

અમે મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ બિન સમાનતા ધ્યાનમાં રાખીએ છીએ.

$m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$

એયુપિસ માટે, વસ્તુની દૂરી છે $u_e = -\frac{25}{6}$ સેમી, અને $f_e = 5$ સેમી. એયુપિસનો લંબાંશાંશી વિસ્તારક શક્તિ છે $m_e = \frac{D}{|u_e|} = \frac{25}{25/6} = 6$.

કુલ વિસ્તારક શક્તિ છે $M = m_o \times m_e = -4 \times 6 = -24$. તુલનાત્મક કિંમત 24 છે.

આપેલ વિકલ્પો સાથે થોડી અસંગતતા હશે. અમે પૂર્ણ થતી વિકલ્પોને પુનઃ તપાસીએ છીએ જેને સંભવતઃ પ્રતિબિંબ પ્રશ્નમાં થોડી ગોઠવણી અથવા એક ખાસ પરિપાત માટે આપવામાં આવ્યો હોય છે, અથવા એક ખાસ પરિપાત માટે આપવામાં આવ્યો હોય છે. જો અમે મારી ગણતરીની 24 ની સામે સૌથી નજીકનો વિકલ્પ પસંદ કરીએ, તો વિકલ્પ (2) 25 એ નજીકનો હશે. જોકોર એ પરિસ્થિતિમાં થોડી અસંગતતા અથવા સમાનતાની જરૂરિયાત હોય તો આ પણ સંભવિત છે.

અમે વિકલ્પોને પુનઃ તપાસીએ છીએ જેને સંભવતઃ પ્રતિબિંબ પ્રશ્નમાં થોડી ગોઠવણી અથવા એક ખાસ પરિપાત માટે આપવામાં આવ્યો હોય છે. આ સામાન પરિપાત નથી, પરંતુ તે સંભવિત અનુમાનની પ્રક્રિયા છે.

જો $M = 25$, અને $m_e = 1 + \frac{25}{5} = 6$, તો $m_o = \frac{25}{6} = \frac{v_o}{2.5} \implies v_o = \frac{25 \times 2.5}{6} \approx 10.4$ સેમી. અબદલ લેન્સ માટે લેન્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને: $\frac{1}{2} = \frac{1}{10.4} - \frac{1}{-2.5} = \frac{1}{10.4} + \frac{1}{2.5} \approx 0.096 + 0.4 = 0.496$, જે $0.5$ ની નજરઅંદાજ છે. આ વિકલ્પ (2) એ સંભવતઃ આપવામાં આવ્યો હોય છે, સંભવતઃ કિંમતોની થોડી ગોઠવણી સાથે.

આના પરિણામે, અને થોડી અસંગતતા અથવા સમાનતાની જરૂરિયાત સાથે સંબંધિત વિકલ્પો સાથે સંબંધિત સમાનતા ધ્યાનમાં રાખીને, અમારી વિગતવાર ગણતરી આધારે સૌથી નજીકનો ઉત્તર એ (2) 25 છે.

તેથી, સૌથી નજીકનો ઉત્તર એ (2) 25 છે.