ભૂમિતિ અને માપન

મુખ્ય ખ્યાલો અને સૂત્રો

ભૂમિતિ અને માપન માટે 5-7 આવશ્યક ખ્યાલો:

આવશ્યક સૂત્રો

10 પ્રેક્ટિસ MCQs

Q1. એક વર્તુળાકાર રેલ્વે પ્લેટફોર્મની ત્રિજ્યા 14m છે. તેનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે? A) 308 m² B) 616 m² C) 154 m² D) 462 m²

જવાબ: B) 616 m²

ઉકેલ: ક્ષેત્રફળ = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616 m²

શોર્ટકટ: 14 એ 7નો ગુણાંક છે, તેથી 22/7 × 14² = 22 × 2 × 14 = 616

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ

Q2. એક ટ્રેન કમ્પાર્ટમેન્ટ 2m પહોળું અને 3m ઊંચું છે. તેના લંબચોરસ ફ્લોરનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે? A) 5 m² B) 6 m² C) 8 m² D) 10 m²

જવાબ: B) 6 m²

ઉકેલ: ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ = 3 × 2 = 6 m²

શોર્ટકટ: સીધો ગુણાકાર

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ

Q3. એક રેલ્વે ટ્રેક ત્રિકોણનો પાયો 12m અને ઊંચાઈ 8m છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો. A) 48 m² B) 96 m² C) 24 m² D) 36 m²

જવાબ: A) 48 m²

ઉકેલ: ક્ષેત્રફળ = ½ × પાયો × ઊંચાઈ = ½ × 12 × 8 = 48 m²

શોર્ટકટ: ½ × 12 = 6, પછી 6 × 8 = 48

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

Q4. સ્ટેશન પર એક નળાકાર પાણીની ટાંકીની ત્રિજ્યા 3.5m અને ઊંચાઈ 10m છે. તેનું ઘનફળ શોધો. A) 385 m³ B) 770 m³ C) 1155 m³ D) 154 m³

જવાબ: A) 385 m³

ઉકેલ: ઘનફળ = πr²h = (22/7) × 3.5 × 3.5 × 10 = 22 × 0.5 × 3.5 × 10 = 385 m³

શોર્ટકટ: 3.5 = 7/2, તેથી (22/7) × (7/2)² × 10 = 22 × 7 × 10/4 = 385

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - નળાકારનું ઘનફળ

Q5. એક રેલ્વે સિગ્નલ બોર્ડ ત્રિકોણાકાર છે જેની બાજુઓ 13m, 14m અને 15m છે. હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો. A) 84 m² B) 42 m² C) 168 m² D) 126 m²

જવાબ: A) 84 m²

ઉકેલ: s = (13+14+15)/2 = 21 ક્ષેત્રફળ = √[21×(21-13)×(21-14)×(21-15)] = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 m²

શોર્ટકટ: 13-14-15 ને સામાન્ય ત્રિકોણ તરીકે ઓળખો જેનું ક્ષેત્રફળ 84 છે

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - હેરોનનું સૂત્ર

Q6. ટ્રેનના ચક્રનો વ્યાસ 1.4m છે. તે 500 પરિભ્રમણમાં કેટલું અંતર કાપશે? A) 2.2 km B) 2.8 km C) 2.2 km D) 1.1 km

જવાબ: C) 2.2 km

ઉકેલ: પરિઘ = πd = (22/7) × 1.4 = 4.4m અંતર = 500 × 4.4 = 2200m = 2.2 km

શોર્ટકટ: 1.4 × 22/7 = 0.2 × 22 = 4.4m પ્રતિ પરિભ્રમણ

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - વર્તુળનો પરિઘ

Q7. 50m × 30m ના લંબચોરસ પ્લેટફોર્મના કેન્દ્રમાં 7m ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર ફુવારો છે. બાકીનું ક્ષેત્રફળ શોધો. A) 1500 m² B) 1346 m² C) 1246 m² D) 1446 m²

જવાબ: B) 1346 m²

ઉકેલ: પ્લેટફોર્મનું ક્ષેત્રફળ = 50 × 30 = 1500 m² ફુવારાનું ક્ષેત્રફળ = (22/7) × 7 × 7 = 154 m² બાકીનું = 1500 - 154 = 1346 m²

શોર્ટકટ: 22/7 × 49 = 22 × 7 = 154

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - સંયુક્ત આકૃતિઓ

Q8. એક પોલો નળાકાર પાઈપ (બાહ્ય ત્રિજ્યા 10cm, આંતરિક 8cm) 14m લાંબો છે. ધાતુનું ઘનફળ શોધો. A) 1.584 m³ B) 0.792 m³ C) 1.188 m³ D) 0.396 m³

જવાબ: A) 1.584 m³

ઉકેલ: ઘનફળ = π(R²-r²)h = (22/7) × (0.1²-0.08²) × 14 = (22/7) × (0.01-0.0064) × 14 = (22/7) × 0.0036 × 14 = 0.1584 m³ રાહ જુઓ: 0.1²-0.08² = 0.01-0.0064 = 0.0036 (22/7) × 0.0036 × 14 = 22 × 0.0036 × 2 = 0.1584 m³ વાસ્તવમાં: 14m = 1400cm ઘનફળ = (22/7) × (100-64) × 1400 = 22 × 36 × 200 = 158400 cm³ = 0.1584 m³

શોર્ટકટ: R²-r² = (R+r)(R-r) = 18×2 = 36 cm²

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - પોલો નળાકાર

Q9. રેલ્વે વર્કશોપ પર એક શંકુ આકારનો તંબુનો પાયાની ત્રિજ્યા 7m અને તિર્યક ઊંચાઈ 25m છે. જરૂરી કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ શોધો. A) 550 m² B) 275 m² C) 440 m² D) 385 m²

જવાબ: A) 550 m²

ઉકેલ: વક્રપૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 m²

શોર્ટકટ: 22/7 × 7 = 22, પછી 22 × 25 = 550

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - શંકુનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ

Q10. એક રેલ્વે બ્રિજમાં ત્રિકોણાકાર ટ્રસ છે જેની બાજુઓનો ગુણોત્તર 3:4:5 છે અને પરિમિતિ 60m છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો. A) 120 m² B) 60 m² C) 240 m² D) 150 m²

જવાબ: A) 120 m²

ઉકેલ: બાજુઓ: 3x, 4x, 5x. પરિમિતિ = 12x = 60, તેથી x = 5 બાજુઓ: 15m, 20m, 25m આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે (3²+4²=5²) ક્ષેત્રફળ = ½ × 15 × 20 = 150 m² રાહ જુઓ: 3-4-5 ગુણોત્તર સાથે પરિમિતિ 60 એટલે બાજુઓ 12, 16, 20 ક્ષેત્રફળ = ½ × 12 × 16 = 96 m² વાસ્તવમાં: 3x+4x+5x = 12x = 60, x = 5 બાજુઓ: 15, 20, 25 ક્ષેત્રફળ = ½ × 15 × 20 = 150 m²

શોર્ટકટ: 3-4-5 કાટકોણ ત્રિકોણ છે, ક્ષેત્રફળ = ½ × 3x × 4x = 6x², x=5, તેથી 6×25=150

ખ્યાલ: ભૂમિતિ અને માપન - કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મો

5 પાછલા વર્ષના પ્રશ્નો

PYQ 1. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ 154 cm² છે. તેનો પરિઘ શોધો. [RRB NTPC 2021 CBT-1]

જવાબ: 44 cm

ઉકેલ: πr² = 154 → (22/7)r² = 154 → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 cm પરિઘ = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 cm

પરીક્ષા ટીપ: યાદ રાખો 154 = 22 × 7, તેથી r = 7 તરત જ મળે છે

PYQ 2. 2.1m ત્રિજ્યા અને 5m ઊંચાઈની નળાકાર ટાંકી પાણીથી ભરેલી છે. તે કેટલા લિટર પાણી ધરાવી શકે? [RRB Group D 2022]

જવાબ: 69300 લિટર

ઉકેલ: ઘનફળ = πr²h = (22/7) × 2.1 × 2.1 × 5 = 69.3 m³ 1 m³ = 1000 લિટર, તેથી 69.3 × 1000 = 69300 લિટર

પરીક્ષા ટીપ: 2.1 = 21/10, તેથી અપૂર્ણાંક સાથે ગણતરી સરળ બને છે

PYQ 3. લંબચોરસ ખેતરની પરિમિતિ 84m છે અને તેની લંબાઈ 26m છે. તેની પહોળાઈ શોધો. [RRB ALP 2018]

જવાબ: 16m

ઉકેલ: પરિમિતિ = 2(l+b) = 84 → l+b = 42 → 26+b = 42 → b = 16m

પરીક્ષા ટીપ: અર્ધ-પરિમિતિ પદ્ધતિ સમય બચાવે છે

PYQ 4. કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ 25cm અને એક બાજુ 7cm છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો. [RRB JE 2019]

જવાબ: 84 cm²

ઉકેલ: બીજી બાજુ = √(25²-7²) = √(625-49) = √576 = 24 cm ક્ષેત્રફળ = ½ × 7 × 24 = 84 cm²

પરીક્ષા ટીપ: 7-24-25 પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ છે, સામાન્ય ટ્રિપલ્સ યાદ રાખો

PYQ 5. નળાકારનું વક્રપૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ 1760 cm² છે અને તેની ઊંચાઈ 35cm છે. તેની ત્રિજ્યા શોધો. [RPF SI 2019]

જવાબ: 8 cm

ઉકેલ: 2πrh = 1760 → 2 × (22/7) × r × 35 = 1760 → 220r = 1760 → r = 8 cm

પરીક્ષા ટીપ: 2 × 22/7 × 35 = 220, તેથી r = 1760/220 = 8

ઝડપી યુક્તિઓ અને શોર્ટકટ્સ

ટાળવા માટે સામાન્ય ભૂલો

ઝડપી રિવિઝન ફ્લેશકાર્ડ્સ

વિષય જોડાણો

ભૂમિતિ અને માપન અન્ય RRB પરીક્ષાના વિષયો સાથે કેવી રીતે જોડાયેલું છે:

• સીધી લિંક: ત્રિકોણમિતિ - ઊંચાઈ અને અંતરની સમસ્યાઓ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ અને પાયથાગોરસનો ઉપયોગ કરે છે
• સીધી લિંક: નિર્દેશાંક ભૂમિતિ - અંતર સૂત્ર અને વિભાગ સૂત્ર ભૌમિતિક સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરે છે
• સંયુક્ત પ્રશ્નો: ઝડપ, સમય અને અંતર - ટ્રેન સમસ્યાઓ ઘણીવાર વર્તુળાકાર ચક્રો, બ્રિજની લંબાઈ સાથે સંબંધિત હોય છે
• સંયુક્ત પ્રશ્નો: ટકાવારી અને નફો/નુકસાન - નળાકાર પર પેઇન્ટિંગ, ખેતરોમાં વાડ લગાવવાની કિંમતની ગણતરીઓ
• માટે પાયો: અદ્યતન ગણિત - તકનીકી પોસ્ટ માટે 3D ભૂમિતિ, એન્જિનિયરિંગ ડ્રોઇંગ ખ્યાલો