तरंग गति को समझना

तरंग गति मूल रूप से यह है कि तरंगें कैसे चलती हैं। एक तरंग एक विक्षोभ है जो ऊर्जा को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाती है। आप तरंग गति को पानी में उठती लहरों, आपके द्वारा सुनी जाने वाली ध्वनि और आपके द्वारा देखे जाने वाले प्रकाश में देख सकते हैं। इस लेख में, हम विभिन्न प्रकार की तरंगों और उनके चलने के तरीके को देखेंगे। हम तरंगों के कार्यों और गुणों के बारे में भी बात करेंगे, और ध्वनि तरंगों के बारे में जानेंगे।

तरंगें क्या करती हैं

तरंगें कुछ अलग-अलग काम कर सकती हैं:

• ऊर्जा का स्थानांतरण
• सूचना का प्रसारण
• उस माध्यम में विक्षोभ उत्पन्न करना जिसमें वे चल रही हैं

एक प्रगामी तरंग की गति

एक प्रगामी तरंग एक विक्षोभ है जो एक माध्यम के माध्यम से संचरित होती है, ऊर्जा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित करती है। एक प्रगामी तरंग की गति वह दर है जिस पर विक्षोभ माध्यम के माध्यम से चलता है। यह तरंगों का एक महत्वपूर्ण गुण है जो यह निर्धारित करता है कि वे सूचना या ऊर्जा कितनी तेजी से संचारित कर सकती हैं।

एक प्रगामी तरंग की गति का सूत्र

एक प्रगामी तरंग की गति की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

$$ v = fλ $$

जहाँ:

• v तरंग की गति मीटर प्रति सेकंड (m/s) में है
• f तरंग की आवृत्ति हर्ट्ज़ (Hz) में है
• λ तरंग की तरंगदैर्ध्य मीटर (m) में है

तरंग गतियों के उदाहरण

यहाँ विभिन्न प्रकार की तरंगों की गतियों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• ध्वनि तरंगें: कमरे के तापमान पर हवा में ध्वनि की गति लगभग 343 m/s होती है।
• जल तरंगें: जल तरंगों की गति पानी की गहराई और तरंग की तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करती है। गहरे पानी की तरंगों के लिए, गति इस प्रकार दी जाती है:

$$ v = \sqrt{(gλ/2π)} $$

जहाँ g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (9.8 m/s²) है।

• विद्युतचुंबकीय तरंगें: विद्युतचुंबकीय तरंगें, जिनमें प्रकाश और रेडियो तरंगें शामिल हैं, प्रकाश की गति से चलती हैं, जो निर्वात में लगभग 299,792,458 m/s होती है।

तरंग गति के अनुप्रयोग

प्रगामी तरंगों की गति के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

• संचार: विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति रेडियो, टेलीविजन और इंटरनेट जैसी संचार प्रौद्योगिकियों के लिए महत्वपूर्ण है।
• नेविगेशन: ध्वनि तरंगों की गति का उपयोग पनडुब्बी नेविगेशन और वस्तु पहचान के लिए सोनार प्रणालियों में किया जाता है।
• चिकित्सा इमेजिंग: अल्ट्रासाउंड तरंगों की गति का उपयोग अल्ट्रासाउंड स्कैन जैसी चिकित्सा इमेजिंग तकनीकों में किया जाता है।
• भूभौतिकी: भूकंपीय तरंगों की गति का उपयोग पृथ्वी के आंतरिक भाग की संरचना और गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

प्रगामी तरंगों की गति को समझना तरंग घटनाओं और विभिन्न वैज्ञानिक और तकनीकी क्षेत्रों में उनके व्यावहारिक अनुप्रयोगों को समझने के लिए आवश्यक है।

तरंगों की शब्दावली

तरंगें हमारी भौतिक दुनिया का एक मौलिक हिस्सा हैं, और वे गुणों और व्यवहारों की एक विस्तृत श्रृंखला प्रदर्शित करती हैं। तरंगों के विज्ञान को प्रभावी ढंग से संप्रेषित और समझने के लिए, उनसे जुड़ी प्रमुख शब्दावली से परिचित होना आवश्यक है। यहाँ तरंगों से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण शब्द दिए गए हैं:

1. आयाम (A)

किसी तरंग का आयाम माध्यम का उसकी संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन है। यह तरंग की ताकत या तीव्रता का प्रतिनिधित्व करता है और इसे मीटर (m) या सेंटीमीटर (cm) जैसी इकाइयों में मापा जाता है।

2. आवर्तकाल (T)

किसी तरंग का आवर्तकाल (T) वह समय है जो एक कण को अपनी औसत स्थिति के चारों ओर एक बार आगे-पीछे करने में लगता है। इसे सेकंड में मापा जाता है।

3. तरंगदैर्ध्य (λ)

किसी तरंग की तरंगदैर्ध्य (λ) दो लगातार शिखरों या गर्तों के बीच की दूरी है। इसे मीटर में मापा जाता है।

4. आवृत्ति (n):

किसी तरंग की आवृत्ति एक सेकंड में होने वाले पूर्ण दोलनों या चक्रों की संख्या है। इसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है, जहाँ 1 Hz प्रति सेकंड एक चक्र के बराबर होता है।

इन प्रमुख शब्दों को समझना तरंगों के व्यवहार और गुणों को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो भौतिकी, इंजीनियरिंग और समुद्र विज्ञान सहित विभिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों में प्रभावी संचार और विश्लेषण को सक्षम बनाता है।

तरंग गति का वर्गीकरण

तरंग गति को विभिन्न विशेषताओं के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है। यहाँ कुछ सामान्य वर्गीकरण दिए गए हैं:

1. यांत्रिक तरंगें बनाम विद्युतचुंबकीय तरंगें:

• यांत्रिक तरंगें: इन तरंगों को संचरित होने के लिए एक भौतिक माध्यम (जैसे हवा, पानी, या ठोस वस्तुएं) की आवश्यकता होती है। इनमें माध्यम के कणों का कंपन या दोलन शामिल होता है। उदाहरणों में ध्वनि तरंगें और जल तरंगें शामिल हैं।
• विद्युतचुंबकीय तरंगें: इन तरंगों को किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है और ये खाली स्थान से होकर यात्रा कर सकती हैं। इनमें दोलन करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र होते हैं। उदाहरणों में प्रकाश तरंगें, रेडियो तरंगें और माइक्रोवेव शामिल हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें बनाम अनुदैर्ध्य तरंगें:

• अनुप्रस्थ तरंगें: अनुप्रस्थ तरंगों में, माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं। तरंग माध्यम को ऊपर-नीचे या एक तरफ से दूसरी तरफ हिलाती है। उदाहरणों में जल तरंगें और विद्युतचुंबकीय तरंगें (जैसे प्रकाश तरंगें) शामिल हैं।
• अनुदैर्ध्य तरंगें: अनुदैर्ध्य तरंगों में, माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं। तरंग माध्यम को गति की दिशा में संपीड़ित और विस्तारित करती है। उदाहरणों में ध्वनि तरंगें और भूकंपीय तरंगें शामिल हैं।

3. पृष्ठीय तरंगें बनाम आंतरिक तरंगें:

• पृष्ठीय तरंगें: ये तरंगें किसी माध्यम की सीमा या सतह के साथ यात्रा करती हैं। ये आमतौर पर दो अलग-अलग पदार्थों के अंतरापृष्ठ से जुड़ी होती हैं। उदाहरणों में समुद्र की सतह पर जल तरंगें और पृथ्वी की पपड़ी पर पृष्ठीय तरंगें शामिल हैं।
• आंतरिक तरंगें: ये तरंगें किसी माध्यम के आंतरिक भाग या शरीर से होकर यात्रा करती हैं। ये सतह तक सीमित नहीं होती हैं। उदाहरणों में भूकंपीय आंतरिक तरंगें शामिल हैं जो पृथ्वी की परतों से होकर संचरित होती हैं।

4. सतत तरंगें बनाम स्पंद:

• सतत तरंगें: इन तरंगों में दोलन का एक नियमित और अबाधित पैटर्न होता है। ये समय के साथ एक स्थिर आयाम और आवृत्ति बनाए रखती हैं। उदाहरणों में साइन तरंगें और वर्गाकार तरंगें शामिल हैं।
• स्पंद: ये तरंगें अल्पकालिक विक्षोभ होती हैं जिनकी एक शुरुआत और एक अंत होता है। इनकी विशेषता आयाम में अचानक परिवर्तन और फिर मूल स्थिति में वापसी होती है। उदाहरणों में ध्वनि स्पंद और प्रकाश स्पंद शामिल हैं।

5. आवर्ती तरंगें बनाम अनावर्ती तरंगें:

• आवर्ती तरंगें: इन तरंगों में दोलन का एक दोहराव वाला पैटर्न होता है। इनकी एक सुपरिभाषित तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति होती है, और ये नियमित अंतराल पर स्वयं को दोहराती हैं। उदाहरणों में साइन तरंगें और वर्गाकार तरंगें शामिल हैं।
• अनावर्ती तरंगें: इन तरंगों में दोलन का कोई नियमित या दोहराव वाला पैटर्न नहीं होता है। इनका एक जटिल और अनियमित तरंगरूप होता है। उदाहरणों में रव और भूकंपीय तरंगें शामिल हैं।

6. अप्रगामी तरंगें बनाम प्रगामी तरंगें:

• अप्रगामी तरंगें: ये तरंगें तब बनती हैं जब समान आवृत्ति और आयाम की दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं और एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं। ये अधिकतम और न्यूनतम विस्थापन के निश्चित बिंदुओं के साथ दोलन का एक स्थिर पैटर्न बनाती हैं। उदाहरणों में कंपन करती डोरी पर या एक अनुनादी गुहा में अप्रगामी तरंगें शामिल हैं।
• प्रगामी तरंगें: ये तरंगें एक माध्यम से होकर चलती हैं, ऊर्जा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाती हैं। इनकी संचरण की एक निश्चित दिशा होती है और यात्रा करते समय इनका आकार वही रहता है। उदाहरणों में जल तरंगें और ध्वनि तरंगें शामिल हैं।

तरंग गति का यह वर्गीकरण हमें विभिन्न प्रकार की तरंगों को उनके गुणों और व्यवहार के आधार पर समझने और विश्लेषण करने में मदद करता है।

अप्रगामी तरंग गति

अप्रगामी तरंग गति एक विशेष प्रकार की तरंग गति है जो तब होती है जब समान आवृत्ति और आयाम की दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं और एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण करती हैं। यह व्यतिकरण तरंगों का एक स्थिर पैटर्न बनाता है जो स्थिर खड़ा हुआ प्रतीत होता है।

अप्रगामी तरंगों की विशेषताएँ

अप्रगामी तरंगों में कई विशिष्ट गुण होते हैं जो उन्हें अन्य प्रकार की तरंगों से अलग करते हैं:

• निस्पंद और प्रस्पंद: अप्रगामी तरंगों में शून्य विस्थापन के बिंदु होते हैं जिन्हें निस्पंद कहा जाता है और अधिकतम विस्थापन के बिंदु होते हैं जिन्हें प्रस्पंद कहा जाता है। निस्पंद वहाँ होते हैं जहाँ दो तरंगें विनाशी व्यतिकरण करती हैं, जबकि प्रस्पंद वहाँ होते हैं जहाँ वे रचनात्मक व्यतिकरण करती हैं।
• आवृत्ति: एक अप्रगामी तरंग की आवृत्ति उन दो तरंगों की आवृत्ति के बराबर होती है जो इसे बनाती हैं।
• तरंगदैर्ध्य: एक अप्रगामी तरंग की तरंगदैर्ध्य दो आसन्न निस्पंदों या प्रस्पंदों के बीच की दूरी की दोगुनी होती है।
• आयाम: एक अप्रगामी तरंग का आयाम उन दो तरंगों के आयाम के बराबर होता है जो इसे बनाती हैं।

अप्रगामी तरंगों का निर्माण

अप्रगामी तरंगें विभिन्न तरीकों से बनाई जा सकती हैं, लेकिन एक सामान्य विधि एक सीमा से एक तरंग का परावर्तन करना है। जब एक तरंग एक सीमा से परावर्तित होती है, तो यह मूल तरंग के साथ व्यतिकरण करती है और एक अप्रगामी तरंग बनाती है।

उदाहरण के लिए, यदि एक तरंग एक दीवार से परावर्तित होती है, तो परावर्तित तरंग तरंग के स्रोत की ओर वापस यात्रा करेगी और मूल तरंग के साथ व्यतिकरण करेगी। यह व्यतिकरण एक अप्रगामी तरंग बनाएगा जिसमें दीवार पर निस्पंद और दीवार और तरंग के स्रोत के बीच के मध्य बिंदु पर प्रस्पंद होंगे।

अप्रगामी तरंगों के अनुप्रयोग

अप्रगामी तरंगों के विज्ञान और इंजीनियरिंग में कई अनुप्रयोग हैं। कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:

• वाद्य यंत्र: अप्रगामी तरंगों का उपयोग गिटार, वायलिन और पियानो जैसे वाद्य यंत्रों में ध्वनि उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। एक वाद्य यंत्र द्वारा उत्पन्न विभिन्न स्वर उन अप्रगामी तरंगों की विभिन्न आवृत्तियों द्वारा निर्धारित होते हैं जो बनाई जाती हैं।
• एंटीना: अप्रगामी तरंगों का उपयोग रेडियो तरंगों को प्रसारित और प्राप्त करने के लिए एंटीना में किया जाता है। एक एंटीना की लंबाई उन रेडियो तरंगों की तरंगदैर्ध्य द्वारा निर्धारित होती है जिन्हें प्रसारित या प्राप्त करने के लिए इसे डिज़ाइन किया गया है।
• ऑप्टिकल फाइबर: अप्रगामी तरंगों का उपयोग ऑप्टिकल फाइबर में प्रकाश संकेतों को प्रसारित करने के लिए किया जाता है। प्रकाश के विभिन्न रंग जिन्हें एक ऑप्टिकल फाइबर के माध्यम से प्रसारित किया जा सकता है, उन अप्रगामी तरंगों की विभिन्न आवृत्तियों द्वारा निर्धारित होते हैं जो बनाई जाती हैं।

अप्रगामी तरंग गति भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जिसके विज्ञान और इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग हैं। अप्रगामी तरंगों के गुणों और निर्माण को समझकर, हम अपने आसपास की दुनिया को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं और नई तकनीकों का विकास कर सकते हैं।

प्रगामी तरंग गति

एक प्रगामी तरंग एक ऐसी तरंग है जो अंतरिक्ष में आगे की ओर बढ़ती है, जिसमें तरंग की ऊर्जा तरंग की गति की समान दिशा में संचरित होती है। यह एक अप्रगामी तरंग के विपरीत है, जो बिना आगे बढ़े स्थान पर ही दोलन करती है।

प्रगामी तरंगें विभिन्न स्रोतों द्वारा बनाई जा सकती हैं, जिनमें कंपन करती डोरियाँ, दोलन करते स्प्रिंग और जल तरंगें शामिल हैं। प्रत्येक मामले में, तरंग एक विक्षोभ द्वारा बनाई जाती है जो माध्यम के कणों को दोलन करने के लिए प्रेरित करती है। यह दोलन फिर माध्यम के माध्यम से संचरित होता है, तरंग की ऊर्जा को अपने साथ ले जाता है।

प्रगामी तरंगों की विशेषताएँ

प्रगामी तरंगों की विशेषता कई गुणों से होती है, जिनमें शामिल हैं:

• तरंगदैर्ध्य: किसी तरंग की तरंगदैर्ध्य तरंग के दो आसन्न शिखरों (या गर्तों) के बीच की दूरी होती है।
• आवृत्ति: किसी तरंग की आवृत्ति प्रति सेकंड अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या होती है।
• आयाम: किसी तरंग का आयाम माध्यम के कणों का उनकी संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन होता है।
• तरंग गति: तरंग गति वह गति है जिस पर तरंग माध्यम के माध्यम से संचरित होती है।

प्रगामी तरंगों का गणितीय विवरण

एक प्रगामी तरंग का गणितीय विवरण निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:

$$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$

जहाँ:

• $$ v = \sqrt{(gλ/2π)} $$7 स्थिति $$ v = \sqrt{(gλ/2π)} $$8 और समय $$ v = \sqrt{(gλ/2π)} $$9 पर माध्यम के कणों का विस्थापन है।
• $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$0 तरंग का आयाम है।
• $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$1 तरंग संख्या है, जो $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$2 के बराबर है।
• $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$3 तरंग की कोणीय आवृत्ति है, जो $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$4 के बराबर है।

प्रगामी तरंगों के अनुप्रयोग

प्रगामी तरंगों के विविध अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

• ध्वनि तरंगें: ध्वनि तरंगें प्रगामी तरंगें हैं जो हवा के माध्यम से यात्रा करती हैं। एक ध्वनि तरंग की आवृत्ति ध्वनि की पिच निर्धारित करती है, जबकि आयाम ध्वनि की तीव्रता निर्धारित करता है।
• प्रकाश तरंगें: प्रकाश तरंगें प्रगामी तरंगें हैं जो अंतरिक्ष के माध्यम से यात्रा करती हैं। एक प्रकाश तरंग की आवृत्ति प्रकाश का रंग निर्धारित करती है, जबकि आयाम प्रकाश की चमक निर्धारित करता है।
• जल तरंगें: जल तरंगें प्रगामी तरंगें हैं जो पानी की सतह पर यात्रा करती हैं। एक जल तरंग की तरंगदैर्ध्य तरंग का आकार निर्धारित करती है, जबकि आयाम तरंग की ऊँचाई निर्धारित करता है।

प्रगामी तरंगें हमारी दुनिया का एक मौलिक हिस्सा हैं। वे विभिन्न घटनाओं के लिए जिम्मेदार हैं, हमारी आवाज़ की ध्वनि से लेकर हमारे द्वारा देखे जाने वाले प्रकाश तक। प्रगामी तरंगों के गुणों को समझकर, हम अपने आसपास की दुनिया को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं।

प्रगामी तरंगों के प्रकार

प्रगामी तरंगें वे तरंगें हैं जो एक माध्यम में आगे बढ़ती हैं, ऊर्जा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित करती हैं। इनकी विशेषता इनके तरंगाग्रों से होती है, जो स्थिर कला की सतहें होती हैं, और इनकी तरंगदैर्ध्य से होती है, जो आसन्न तरंगाग्रों के बीच की दूरी होती है।

प्रगामी तरंगें दो मुख्य प्रकार की होती हैं:

1. अनुप्रस्थ तरंगें

अनुप्रस्थ तरंगों में, माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं। इसका मतलब है कि तरंगाग्र तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं। अनुप्रस्थ तरंगों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• जल तरंगें: जल तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें हैं जो पानी की सतह पर यात्रा करती हैं। जल तरंगों के तरंगाग्र पानी की सतह के समानांतर होते हैं, और पानी के कण ऊपर-नीचे कंपन करते हैं।
• प्रकाश तरंगें: प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें हैं जो अंतरिक्ष के माध्यम से यात्रा करती हैं। प्रकाश तरंगों के तरंगाग्र प्रकाश संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं, और प्रकाश के कण (फोटॉन) तरंग संचरण की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं।
• रेडियो तरंगें: रेडियो तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें हैं जो अंतरिक्ष के माध्यम से यात्रा करती हैं। रेडियो तरंगों के तरंगाग्र रेडियो तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं, और रेडियो तरंगों के कण (फोटॉन) तरंग संचरण की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं।

2. अनुदैर्ध्य तरंगें

अनुदैर्ध्य तरंगों में, माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं। इसका मतलब है कि तरंगाग्र तरंग संचरण की दिशा के समानांतर होते हैं। अनुदैर्ध्य तरंगों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• ध्वनि तरंगें: ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें हैं जो हवा, पानी और अन्य पदार्थों के माध्यम से यात्रा करती हैं। ध्वनि तरंगों के तरंगाग्र ध्वनि संचरण की दिशा के समानांतर होते हैं, और हवा, पानी या अन्य पदार्थों के कण तरंग संचरण की दिशा में आगे-पीछे कंपन करते हैं।
• भूकंपीय तरंगें: भूकंपीय तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें हैं जो पृथ्वी के माध्यम से यात्रा करती हैं। भूकंपीय तरंगों के तरंगाग्र भूकंपीय तरंग संचरण की दिशा के समानांतर होते हैं, और पृथ्वी के कण तरंग संचरण की दिशा में आगे-पीछे कंपन करते हैं।

तरंग समीकरण

तरंग समीकरण एक गणितीय समीकरण है जो तरंगों के संचरण का वर्णन करता है। यह एक द्वितीय-कोटि का आंशिक अवकल समीकरण है जो एक तरंग के विस्थापन को उसके वेग और त्वरण से संबंधित करता है।

तरंग समीकरण की व्युत्पत्ति

तरंग समीकरण को ऊर्जा और संवेग के संरक्षण से व्युत्पन्न किया जा सकता है। धनात्मक x-दिशा में संचरित होने वाली एक-आयामी तरंग पर विचार करें। तरंग की ऊर्जा घनत्व इस प्रकार दी जाती है:

$$E = \frac{1}{2} \rho v^2$$

जहाँ $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$5 माध्यम का घनत्व है और $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$6 तरंग का वेग है।

तरंग का संवेग घनत्व इस प्रकार दिया जाता है:

$$P = \rho v$$

ऊर्जा का संरक्षण बताता है कि तरंग की कुल ऊर्जा स्थिर रहनी चाहिए। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial (Pv)}{\partial x} = 0$$

संवेग का संरक्षण बताता है कि तरंग का कुल संवेग स्थिर रहना चाहिए। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial \sigma}{\partial x} = 0$$

जहाँ $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$7 प्रतिबल टेंसर है।

इन दोनों समीकरणों को मिलाकर, हमें प्राप्त होता है:

$$\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$$

जहाँ $$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$8 तरंग गति है।

यह एक-आयामी तरंग समीकरण है।

तरंग समीकरण के हल

तरंग समीकरण के सीमा शर्तों के आधार पर विभिन्न हल होते हैं। कुछ सामान्य हलों में शामिल हैं:

• समतल तरंगें: ये वे तरंगें हैं जिन