जटिल संख्याएँ और वर्गमूल समीकरण संबंधी विविध अभ्यास (Jatil Sankhyayen aur Vargamool Samikaran Sambandhi Vividh Abhyas)
चरण 1: z1 + z2 + 1/z1 - z2 + 1 ढ़ूंढ़ें
z1 = 2 - i, z2 = 1 + i
1/z1 = 1/(2 - i) = (2 + i) / (2^2 - (-i)^2) = (2 + i) / (4 + 1) = (2 + i) / 5
इसलिए, z1 + z2 + 1/z1 - z2 + 1 = (2 - i) + (1 + i) + (2 + i) / 5 - (1 + i) + (1 + i) / 5 = 3 + 2i + (2 + i) / 5 - 1 - i + (1 + i) / 5 = 2 + 2i + (3 + 2i) / 5
चरण 2: गणना करें
∣z1 + z2 + 1/z1 - z2 + 1∣ = ∣2 + 2i + (3 + 2i) / 5∣
चरण 3: लंबाई का मान निकालें
∣z1 + z2 + 1/z1 - z2 + 1∣ = ∣(2 + 2i + (3 + 2i) / 5)∣ = ∣(10 + 10i + 3 + 2i) / 5∣ = ∣(13 + 12i) / 5∣ = ∣13/5 + 12i/5∣ = ∣(13/5, 12/5)∣ = √(13/5)^2 + (12/5)^2 = √(169/25 + 144/25) = √(313/25) = √13/5
इसलिए, ∣z1+z2+1/z1−z2+1∣ = √13/5
इनपुट सामग्री का हिंदी संस्करण क्या है: z1 + z2 + 1/z1 - z2 + 1 = (2 - i) + (1 + i) + (1/(2 - i)) - (1 + i) + 1
चरण 2: सरलीकरण करें (2 - i) + (1 + i) + (1/(2 - i)) - (1 + i) + 1 = 2 + 2 - i - i + (1/(2 - i)) + 1 = 4 + (1/(2 - i)) + 1
चरण 3: चर मूल्य ढूंढें |4 + (1/(2 - i)) + 1| = |4 + (1/(2 - i)) + 1| = |5 + (1/(2 - i))| = 5 + (1/(2 - i))
सवाल:
समीकरण को हल करें: x^2−2x+3/2=0
उत्तर:
चरण 1: समीकरण को नए ढंग से लिखें:
(x^2 - 2x + 3)/2 = 0
चरण 2: दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें:
x^2 - 2x + 3 = 0
चरण 3: चर मूल्य ढूंढने के लिए द्व्याधिक सूत्र का उपयोग करें:
x = [2 ± √(4 - 12)]/2
चरण 4: सरलीकरण करें:
x = 1 ± √(-3)/2
सवाल:
निम्नलिखित को घूर्णी रूप में परिवर्तित करें: (i) 1+7i/(2−i)^2 (ii) 1+3i/1−2i
उत्तर:
(i) 1+7i/(2−i)^2 = (1+7i)/((2-i)(2+i)) = (1+7i)/(4+2i-2i-1) = (1+7i)/(3+i) = (1/3+7i/3)/(1+i) = (1/3+7i/3)(1-i)/(1+i)(1-i) = (1/3+7i/3)(1-i)/(1+i^2) = (1/3+7i/3)(1-i)/2 = (1/6+7i/6)/(1+i)
घूर्णी रूप: (1/6+7i/6)∠tan^-1(1/1)
(ii) 1+3i/1−2i = (1+3i)/(1-2i) = (1+3i)(1+2i)/(1-2i)(1+2i) = (1+3i)(1+2i)/(1+4) = (1+5i+6)/5 = (1/5+5i/5)/(1+2i/5)
घूर्णी रूप: (1/5+5i/5)∠tan^-1(2/5)
सवाल:
जर्जरी पद्धति के अनुसार, अगर (a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih)=A+iB है, तो दिखाएं कि (a^2+b^2)(c^2+d^2)(e^2+f^2)(g^2+h^2)=A^2+B^2 है.
उत्तर:
चरण 1: (a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih) को विस्तृत करें चरण 2: (ac+adib+bcei+bdfi^2)(eg+ehib+fghi+fhi^2) चरण 3: aceg+acehib+adbcei+adbdfi^2+bcegfi+bcehi^2+bdfegi+bdfhi^3 चरण 4: aceg+acehib+adbcei+adbdfi^2+bcegfi+bcehi^2+bdfegi+bdfhi^3=A+iB चरण 5: (a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih) के संगती को दोनों पक्षों से गुणा करें चरण 6: (aceg+acehib+adbcei+adbdfi^2+bcegfi+bcehi^2+bdfegi+bdfhi^3)(aceg-acehib+adbcei-adbdfi^2+bcegfi-bcehi^2+bdfegi-bdfhi^3) चरण 7: (a^2+b^2)(c^2+d^2)(e^2+f^2)(g^2+h^2)=(aceg+acehib+adbcei+adbdfi^2+bcegfi+bcehi^2+bdfegi+bdfhi^3)(aceg-acehib+adbcei-adbdfi^2+bcegfi-bcehi^2+bdfegi-bdfhi^3) चरण 8: (a^2+b^2)(c^2+d^2)(e^2+f^2)(g^2+h^2)=A^2+B^2 चरण 9: इससे साबित होता है कि (a^2+b^2)(c^2+d^2)(e^2+f^2)(g^2+h^2)=A^2+B^2.
सवाल:
समीकरण को हल करें: 3x^2−4x+20/3=0
उत्तर:
चरण 1: दोंहि पक्षों को 3 से गुणा करें 3x^2−4x+20/3 = 0 * 3 3x^2−4x+20 = 0
चरण 2: दोनों पक्षों से 20 घटाएं 3x^2−4x+20 = 0 - 20 3x^2−4x = -20
चरण 3: बाएं पक्ष को फैक्टर करें 3x^2−4x = -20 (3x−20)(x+1) = 0
चरण 4: हर फैक्टर को 0 के बराबर समेटें और x के लिए समाधान निकालें 3x−20 = 0 3x = 20 x = 20/3
x+1 = 0 x = -1
इसलिए, समाधान x = 20/3 और x = -1 हैं.
Translate the following sentence into hi: “Hello, how are you doing?”
कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: यदि x−iy=√a−ib/c−id है तो साबित करें कि (x^2+y^2)^2=a^2+b^2/c^2+d^2
उत्तर:
-
दिए गए समीकरण को पुनः व्यवस्था करें: x−iy=(√a−ib)/(c−id)
-
समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग में ले जाएं: (x−iy)^2=(√a−ib)/(c−id)^2
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समीकरण के बाएं पक्ष को विस्तारित करें: x^2−2ixy+y^2=(√a−ib)/(c−id)^2
-
समीकरण के दाएं पक्ष को सरल करें: (x^2+y^2)^2=a^2+b^2/(c^2+d^2)
प्रश्न: (1+i/1−i)−(1−i/1+i) की माप क्या हैं?
उत्तर: चरण 1: दिए गए संख्या को सरल करें। (1+i/1−i)−(1−i/1+i) = (1+i)/(1−i) - (1−i)/(1+i)
चरण 2: प्रतिशोधक के इनकारी श्रेणी से प्रतिश्रेणी के मूल्यकों को प्रथमांश और वर्गकीय कोष्ठ के मूल्य में गुणा करें। (1+i)/(1−i) - (1−i)/(1+i) = (1+i)(1+i)/(1−i)(1+i) - (1−i)(1−i)/(1+i)(1−i)
चरण 3: भंग को सरल करें। (1+i)/(1−i) - (1−i)/(1+i) = (1+i2)/(1−i2) - (1−i2)/(1+i2)
चरण 4: भंग को और भी सरल करें। (1+i)/(1−i) - (1−i)/(1+i) = (1+i2-1+i2)/(1−i2-1+i2)
चरण 5: भंग को सरल करें। (1+i)/(1−i) - (1−i)/(1+i) = 2/2 = 1
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