कोनिक अनुभाग अभ्यास ०१
प्रश्न:
वह साइकिल x2+y2−8x+10y−12=0 का केंद्र और त्रिज्या ढूंढें। A (4,−5),√53 B (−4,−5),√53 C (−4,5),√53 D (4,5),√53
उत्तर:
इस समस्या को हल करने के लिए, हमें एक सामान्य साइकिल के लिए सामान्य समीकरण का उपयोग करना होगा:
x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0
जहां (g, f) साइकिल का केंद्र है, और c त्रिज्या का वर्ग है।
हम दिए गए समीकरण को इस तरह से लिख सकते हैं:
x2 + y2 − 8x + 10y − 12 = 0
इसे सामान्य समीकरण के साथ तुलना करने से हम देख सकते हैं कि g = -4, f = -5 और c = 53 हैं।
इसलिए, साइकिल का केंद्र (-4,-5) है और त्रिज्या √53 है।
सही उत्तर है B: (-4,-5),√53।
प्रश्न:
x-अक्ष पर स्थित और (2,3) से गुजरने वाले त्रिज्या 5 वाले साइकिल का समीकरण ढूंढें
उत्तर:
साइकिल का समीकरण (h, k) और त्रिज्या r द्वारा दिया जाता है (x-h)2 + (y-k)2 = r2
दिए गए हैं कि केंद्र x-अक्ष पर स्थित है, केंद्रीय संयोजन (h, 0) है।
दिए गए हैं कि साइकिल (2,3) से गुजरता है, साइकिल के समीकरण में x=2 और y=3 को स्थानांतरित करने पर हमें मिलता है:
(2-h)2 + (3-0)2 = 52
h के लिए समस्या हल करते हैं, हमें h = -1 मिलता है
इसलिए, साइकिल का समीकरण है (x+1)2 + y2 = 25
प्रश्न:
(1,1) केंद्र और त्रिज्या √2 वाले साइकिल का समीकरण ढूंढें
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: एक साइकिल के समीकरण की पहचान करें। साइकिल का समीकरण (x - h)2 + (y - k)2 = r2 होता है, जहां (h, k) साइकिल का केंद्र है और r साइकिल की त्रिज्या है।
चरण 2: सीधे समीकरण में दिए गए मानों को दर्ज करें। समीकरण में (h, k) = (1, 1) और r = √2 को दर्ज करें समीकरण में।
चरण 3: समीकरण को सरल बनाएं। (x - 1)2 + (y - 1)2 = (√2)2 (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2
इसलिए, केंद्र (1, 1) और त्रिज्या √2 वाले साइकिल का समीकरण (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2 है।
प्रश्न:
विवरण और व्यास का केंद्र 2x^2+2y^2−x=0 साइकिल का समीकरण खोजें।
उत्तर:
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समीकरण को (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 के रूप में एकटूट करें 2x^2 + 2y^2 - x = 0 2x^2 + 2y^2 - x + 1/4 = 1/4 (2x - 1/2)^2 + 2y^2 = 1/4
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h, k और r के मानों को पहचानें h = -1/2 k = 0 r = √1/4
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साइकिल का केंद्र (h, k) = (-1/2, 0) है और त्रिज्या r = √1/4 हैं
प्रश्न:
(4,1),(6,5) से गुजरने वाले और 4x+y−16=0 line पर केंद्र वाले साइकिल का समीकरण है A x^2+y^2−6x−8y+15=0 B 15(x^2+y^2)−94x+18y+55=0 C x^2+y^2−4x−3y=0 D x^2+y^2+6x−4y=0
उत्तर:
चरण 1: दूसरे दिए गए बिंदु (4,1) और (6,5) की मध्यतम बिंदु गणना करें। मध्यतम बिंदु = (5,3)
चरण 2: साइकिल के केंद्र की अवधारणा की माध्यमिका में मध्यतम बिंदु को बदलने के लिए ज़र्नसार का उपयोग करें। 4(5)+3−16=0 20+3−16=0 7=0
इस समीकरण में कोई समाधान नहीं है, जिसका मतलब है कि रेखा 4x+y−16=0 साइकिल के केंद्र से नहीं गुजरती है।
चरण 3: इससे दिए गए दो बिंदुओं (4,1) और (6,5) के बीच की दूरी की गणना करने के लिए दूरी की सूत्र का उपयोग करें। दूरी = √((6−4)^2+(5−1)^2) दूरी = √((2)^2+(4)^2) दूरी = √(4+16) दूरी = √20
चरण 4: साइकिल के व्यास की गणना के लिए दूरी की सूत्र का उपयोग करें। व्यास = दूरी/2 व्यास = √20/2 व्यास = √10/2 व्यास = 5/2
(x + 2)² + (y - 3)² = 16
स्टेप 3: एक वृत्त की मानक समीकरण लिखें।
(x - h)² + (y - k)² = r²
स्टेप 4: समीकरण में h, k और r के मान बदलें।
(x + 2)² + (y - 3)² = 4²
स्टेप 5: समीकरण को सरल बनाएं।
(x + 2)² + (y - 3)² = 16
अत: (−2,3) का केंद्र और 4 का त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण (x + 2)² + (y - 3)² = 16 है।
प्रश्न:
केंद्र (1/2,1/4) और त्रिज्या 1/12 वाले वृत्त का समीकरण ढूंढें
उत्तर:
उत्तर: कोण (h,k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण (x-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 है
दिए गए मानों का स्थानांतरण करके, हमें मिलता है (x-1/2) ^ 2 + (y-1/4) ^ 2 = (1/12) ^ 2
सरल बनाने के लिए, हमें मिलता है x ^ 2 - x + 1/4 + y ^ 2 - y / 2 + 1/16 = 1/144
व्यवस्थित करने के लिए, हमें मिलता है x ^ 2 + y ^ 2 - x - y / 2 + 1/16 - 1/144 = 0
इसलिए, वृत्त का समीकरण है x ^ 2 + y ^ 2 - x - y / 2 + 7/144 = 0
प्रश्न:
वृत्त (x + 5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 36 का केंद्र और त्रिज्या ढूंढें
उत्तर:
- केंद्र: (x, y) = (5, 3)
- त्रिज्या: r = 6
प्रश्न:
(0,0) से होकर, संकेतक के दोनों तरफ a और b को काटने वाले वृत्त का समीकरण ढूंढें
उत्तर:
उत्तर: स्टेप 1: वृत्त का समीकरण (x-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 रूप में लिखा जा सकता है, यहां (h,k) वृत्त का केंद्र है और r वृत्त की त्रिज्या है।
स्टेप 2: वृत्त (0,0) से होता है, इसलिए वृत्त का केंद्र (0,0) होना चाहिए।
स्टेप 3: वृत्त का x-अक्ष और y-अक्ष पर काटने वाले संकेतक a और b होते हैं। इसलिए, वृत्त की त्रिज्या a और b के संयोग के आधा होने के बराबर होती है, अर्थाता r = (a+b)/2
स्टेप 4: केंद्र, कीमत k और r को वृत्त के समीकरण में स्थानांतरित करके, वृत्त का समीकरण है x2 + y2 = (a+b)2
प्रश्न:
क्या बिंदु (-2.5,3.5) वृत्त x^2+y^2=25 में अंदर, बाहर या उपर है?
उत्तर:
स्टेप 1: वृत्त के समीकरण को मानक रूप में लिखें: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2
उत्तर: (x-0)^2+(y-0)^2=25
स्टेप 2: बिंदु की संयोजनाएँ समीकरण में स्थानांतरित करें: (x-(-2.5))^2+(y-3.5)^2=25
उत्तर: (x+2.5)^2+(y-3.5)^2=25
स्टेप 3: समीकरण को सरल बनाएं: (2.5)^2+(y-3.5)^2=25
उत्तर: 6.25+(y-3.5)^2=25
स्टेप 4: y के लिए समाधान निकालें: (y-3.5)^2=18.75
उत्तर: y-3.5=√18.75
स्टेप 5: दोनों ओरों में 3.5 जोड़ें: y=3.5+√18.75
उत्तर: y=3.5+√18.75
स्टेप 6: बिंदु के निर्देशांक समीकरण को परीक्षण करें: (x+2.5)^2+(y-3.5)^2=25
उत्तर: (2.5)^2+((3.5+√18.75)-3.5)^2=25
स्टेप 7: सरल बनाएं: (2.5)^2+(√18.75)^2=25
उत्तर: 6.25+18.75=25
स्टेप 8: समाधान करें: 25=25
उत्तर: बिंदु (−2.5,3.5) वृत्त x^2+y^2=25 पर है।
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