सीमाएँ और अवकलज: अभ्यास 1
प्रश्न: यदि फ़ंक्शन f(x) lim(x→1) (f(x)−2)/(x^2−1)=π को पूरा करता है, तो lim(x→1)f(x) की मूल्यांकन कीजिए
उत्तर: चरण 1: समीकरण में x = 1 को बदलें lim(x→1) (f(x)−2)/(x^2−1)=π
lim(x→1) (f(1)−2)/(1^2−1)=π
चरण 2: समीकरण को हल करें lim(x→1) (f(1)−2)/(1^2−1)=π
f(1)−2=π
f(1)=2+π
चरण 3: मूल समीकरण में x = 1 का उपयोग करें lim(x→1)f(x) = lim(x→1)(2+π) = 2+π
प्रश्न: दिए गए सीमा का मूल्यांकन कीजिए: lim(x→0)xsecx
उत्तर: चरण 1: सेकेंट की परिभाषा का उपयोग करके अभिव्यक्ति को पुनः लिखें: lim(x→0)xsecx = lim(x→0)x(1/cosx)
चरण 2: कोसाइन की सीमा की परिभाषा का उपयोग करके अभिव्यक्ति को पुनः लिखें: lim(x→0)x(1/cosx) = lim(x→0)x(1/lim(x→0)cosx)
चरण 3: सीमा का मूल्यांकन कीजिए: lim(x→0)x(1/lim(x→0)cosx) = 0/1 = 0
प्रश्न: दिए गए सीमा का मूल्यांकन कीजिए: lim(x→0)(sin ax+bx)/(ax+sin bx) a,b,a+b≠0
उत्तर:
-
भाग को दो भागों में विभाजित करें: lim(x→0)sin ax/ax और lim(x→0)bx/sin bx.
-
दोनों हिस्सों पर L’Hopital का नियम लागू करें: lim(x→0)a cos ax/a और lim(x→0)b/cos bx.
-
a और b को उनके प्रत्येक मानों से बदलें: lim(x→0)a cos ax/a = lim(x→0)cos ax और lim(x→0)b/cos bx = lim(x→0)b.
-
सीमाएं 1 और b के बराबर हैं।
-
दो सीमाएं को जोड़ें: lim(x→0)(sin ax+bx)/(ax+sin bx) = 1/b.
प्रश्न: दिए गए सीमा का मूल्यांकन कीजिए: lim(r→1)πr^2
उत्तर: चरण 1: समीकरण में r=1 का उपयोग करें: lim(r→1)πr^2 = π1^2 = π
चरण 2: समीकरण को सरल करें: π1^2 = π
चरण 3: उत्तर है: π
प्रश्न: दिए गए सीमा का मूल्यांकन कीजिए: lim(x→0)((x+1)^5−1)/x
उत्तर: चरण 1: सीमा को इस तरह दोबारा लिखें: lim(x→0)((x+1)^5−1)/x = lim(x→0)((x+1)^5)/x − lim(x→0)(1)/x
चरण 2: दोनों हिस्सों पर L’Hopital का नियम लागू करें: = lim(x→0)(5(x+1)^4)/1 − lim(x→0)(0)/1
चरण 3: दोनों हिस्सों को सरल करें: = lim(x→0)(5(x+1)^4) − lim(x→0)(0)
चरण 4: निम्नलिखित में x के लिए 0 की जगह परिवर्तित करें: = 5(0+1)^4 − 0
चरण 5: अभिव्यक्ति को सरल करें: = 5(1)^4 − 0
चरण 6: परिणाम की गणना करें: = 5(1) − 0
चरण 7: अभिव्यक्ति को सरल करें: = 5 − 0
चरण 8: परिणाम की गणना करें: = 5
प्रश्न: दिए गए सीमा का मूल्यांकन कीजिए: lim(x→0)sin ax/bx
उत्तर: चरण 1: सीमा को दो फ़ंक्शनों के अनुपात के रूप में व्यक्त करें: lim(x→0) (sin ax)/(bx)
चरण 2: L’Hôpital के नियम का उपयोग करके सीमा को लिखें: lim(x→0) (a cos ax)/b
चरण 3: विभाजिक और लघुगणक में x के लिए 0 का उपयोग करें: lim(x→0) (a cos 0)/b
चरण 4: सीमा को सरल करें: lim(x→0) a/b
प्रश्न: दिए गए सीमा का मूल्यांकन कीजिए: lim(x→π)(x−22/7)
उत्तर: चरण 1: दिए गए अभिव्यक्ति में x=π का उपयोग करें, lim(x→π)(x−22/7) = lim(x→π)(π−22/7)
चरण 2: अभिव्यक्ति को सरल करें, lim(x→π)(π−22/7) = lim(x→π)(3−22/7)
चरण 3: सीमा की गणना करें, lim(x→π)(3−22/7) = 3−22/7 = -1/7
प्रश्न:
आउटपुट: Step 1: गुनांकक के ऊपरी सीमा में सीमा की जगह x को स्थानांतरित करें।
lim(x→0)(ax+b)/(cx+1) = (a0 + b)/(c0 + 1) = b/1 = b
चरण 2: सीमा b के मान के समान है।
उत्तर: lim(x→0)(ax+b)/(cx+1) = b
सवाल: दिए गए सीमा की मूल्यांकन करें: lim(x→0)(ax+b)/(cx+1), a, b ≠ 0
उत्तर: चरण 1: दिए गए सीमा को इस प्रकार लिखें: lim (x→0) (sin ax)/(sin bx)
चरण 2: L’Hôpital के नियम का उपयोग करें: lim (x→0) (sin ax)/(sin bx) = lim (x→0) (a cos ax)/(b cos bx)
चरण 3: फिर से L’Hôpital के नियम का उपयोग करें: lim (x→0) (a cos ax)/(b cos bx) = lim (x→0) (a^2 sin ax)/(b^2 sin bx)
चरण 4: क्योंकि a और b गैर-शून्य संख्याएं हैं, सीमा a^2/b^2 के बराबर है।
इसलिए, उत्तर a^2/b^2 है।
सवाल: दिए गए सीमा का मूल्यांकन करें: lim(x→−1)(x^10+x^5+1)/(x−1)
उत्तर: उत्तर: चरण 1: व्यंजक और वियंक्तक को कट दें:
lim(x→−1) (x^10+x^5+1)/(x−1) = lim(x→−1) (x^10+x^5+1)/x - lim(x→−1) (x^10+x^5+1)/1
चरण 2: सीमा के नियमों को लागू करें:
lim(x→−1) (x^10+x^5+1)/x = -∞
चरण 3: सीमा के नियमों को लागू करें:
lim(x→−1) (x^10+x^5+1)/1 = -1
चरण 4: दो सीमाओं को घटाएं:
lim(x→−1) (x^10+x^5+1)/(x−1) = -∞ - (-1)
चरण 5: परिणाम को सरल बनाएं:
lim(x→−1) (x^10+x^5+1)/(x−1) = ∞
सवाल: दिए गए सीमा का मूल्यांकन करें: lim(x→0)(cos x)/(π−x)
उत्तर:
-
lim(x→0)(cos x)/(π−x)
-
lim(x→0)cos x/(π−x)
-
lim(x→0)cos x/π−lim(x→0)x
-
1/π−lim(x→0)x/π
-
1/π−0
-
1/π
सवाल: lim(x→3)(4x^2+3) का मूल्यांकन करें
उत्तर: चरण 1: समीकरण में x = 3 को बदलें: 4(3)^2 + 3 = 39
चरण 2: x के निकटतम प्रधानमंत्री के रूप में 39 प्राप्त होता है।
सवाल: दिए गए सीमा का मूल्यांकन करें: lim(x→2) (3x^2−x−10)/(x^2−4)
उत्तर: चरण 1: समीकरण के उपसारणकों और भाजक का उद्घाटन करें:
lim(x→2) (3x^2−x−10)/(x^2−4) = lim(x→2) (3x-5)(x+2)/(x-2)(x+2)
चरण 2: समीकरण में x = 2 योग्यतम प्रधानमंत्री को बदलें:
lim(x→2) (3x-5)(x+2)/(x-2)(x+2) = (3*2-5)(2+2)/(2-2)(2+2) = (6-5)(4)/(0)(4)
चरण 3: समीकरण को सरल बनाएं:
(6-5)(4)/(0)(4) = 4/0
चरण 4: सीमा मौजूद नहीं है क्योंकि परिणाम परिभाषित नहीं है।
इसलिए, lim(x→2) (3x^2−x−10)/(x^2−4) = परिभाषित नहीं है।
सवाल: दिए गए सीमा का मूल्यांकन करें: lim(x→3)(x+3)
उत्तर: चरण 1: सीमा में x = 3 को बदलें lim(x→3)(x+3) = 3 + 3 = 6
चरण 2: सीमा के बराबर है 6।
सवाल: यदि f(x)=∣x∣−5 हो, तो निम्नलिखित सीमाओं का मूल्यांकन करें: L(x→5)f(x)
उत्तर: चरण 1: विभाजक को दिए गए कार्य में x को स्थानांतरित करें: f(x) = |x| - 5 f(5) = |5| - 5 f(5) = 5 - 5 f(5) = 0
चरण 2: सीमा का मूल्यांकन करें: L(x→5)f(x) = 0
सवाल: मूल्यांकन करें: lim(x→−2)(1/x+1/2)(x+2)
उत्तर: चरण 1: समीकरण को दोहराएं: lim(x→−2)(1/x)(x+2) + lim(x→−2)(1/2)(x+2)
चरण 2: प्रत्येक समीकरण में x के लिए -2 स्थानांतरित करें: lim(x→−2)(1/x)(x+2) = 1/−2 * −2 + 2 = 0
चरण 3: दूसरे समीकरण का मूल्यांकन करें: lim(x→−2)(1/2)(x+2) = 1/2 * −2 + 2 = 1
चरण 4: दो समीकरणों को जोड़ें: 0 + 1 = 1
इसलिए, उत्तर 1 है।
सवाल: lim(x→0)(cos 2x−1)/(cos x−1) का मूल्यांकन करें
उत्तर: चरण 1: विभाजक और वियंक्तक में से एक cos x को फैक्टर करें:
lim(x→0)(cos x(cos x - 2))/(cos x - 1)
lim(x→0)(-4cos^2x - 8xsin^2xcosx)/(-bsinx) = lim(x→0)(-4cos^2x - 8xsin^2xcosx)/(bsinx)
Step 11: Apply L’Hospital’s Rule
lim(x→0)(-4cos^2x - 8xsin^2xcosx)/(bsinx) = lim(x→0)(-8cosxsinx - 8sin^2xcosx - 8xsin^2x)/(bcosx)
Step 12: Simplify the expression
lim(x→0)(-8cosxsinx - 8sin^2xcosx - 8xsin^2x)/(bcosx) = lim(x→0)(-8sinx(cosx + sinx + x))/(bcosx)
Step 13: Substitute x = 0 in the expression
lim(x→0)(-8sinx(cosx + sinx + x))/(bcosx) = -8sin(0)(cos(0) + sin(0) + 0)/(bcos(0))
Step 14: Simplify the expression
lim(x→0)(-8sinx(cosx + sinx + x))/(bcosx) = 0/0
Step 15: Apply L’Hospital’s Rule
lim(x→0)(-8sinx(cosx + sinx + x))/(bcosx) = lim(x→0)(-8cosx(cosx + sinx + x) - 8sinx(sin(0) + cos(0) + 1))/(bcosx)
Step 16: Simplify the expression
lim(x→0)(-8cosx(cosx + sinx + x) - 8sinx(sin(0) + cos(0) + 1))/(bcosx) = lim(x→0)(-8cosx(cosx + sinx + x) - 8sinx)/(bcosx)
Step 17: Apply L’Hospital’s Rule
lim(x→0)(-8cosx(cosx + sinx + x) - 8sinx)/(bcosx) = lim(x→0)(-8cos^2x - 8sin^2x - 8x + 8sinx)/(bcosx)
Step 18: Simplify the expression
lim(x→0)(-8cos^2x - 8sin^2x - 8x + 8sinx)/(bcosx) = lim(x→0)(-8 - 8x + 8sinx)/(bcosx)
Step 19: Substitute x = 0 in the expression
lim(x→0)(-8 - 8x + 8sinx)/(bcosx) = -8
Step 20: The limit is -8.
लिम (x->0)(-4cos^2x - 8xsin^2xcosx)/(-bsinx) = लिम (x->0)(4cos^2x + 8xsin^2xcosx)/(bsinx)
स्टेप 11: x = 0 को प्रतिस्थापित करें
लिम (x->0)(4cos^2x + 8xsin^2xcosx)/(bsinx) = 4/b
सवाल:
हल करें: लिम (x->0)(cosecx−cotx)
उत्तर:
स्टेप 1: cosecx और cotx को उनके परिभाषाओं का उपयोग करके पुनः लिखें:
लिम (x->0)(1/sinx−1/tanx)
स्टेप 2: L’Hôpital’s नियम का उपयोग करें:
लिम (x->0)(-cosx/sinx^2−sec^2x/cosx)
स्टेप 3: सरल करें:
लिम (x->0)(-1/sinx−sec^2x)
स्टेप 4: सीमा का मूल्यांकन करें:
लिम (x->0)(-1/0−1/1)
स्टेप 5: उत्तर: -1
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