सीमा और प्रतिलोमों का व्यायाम 2
प्रश्न:
निम्नलिखित का विभेदक ढूंढें: (5x^3+3x−1)(x−1).
उत्तर:
(5x^3+3x−1)(x−1)
= (5x^3+3x−1)(1) + (5x^3+3x−1)(-1)
= (5x^3+3x−1) + (-5x^3-3x+1)
= 0 + 0
= 0
(5x^3+3x−1)(x−1) का विभेदक = 0
प्रश्न:
निम्नलिखित का विभेदक ढूंढें: x^(−4)(3−4x^(−5)).
उत्तर:
चरण 1: घात के नियम का उपयोग करके अभिव्यक्ति को नया लिखें: x^(-4 + (-5))(3 - 4x^(-5))
चरण 2: पहले सामग्री के लिए घात के नियम का उपयोग करें: (-4 + (-5))x^(-9)
चरण 3: दूसरे शब्द के लिए घात के नियम का उपयोग करें: -4(-5)x^(-6)
चरण 4: परिणामों को मिश्रित करें: (-9)x^(-9) - 4(-5)x^(-6)
चरण 5: सरलीकृत करें: -9x^(-9) + 20x^(-6)
प्रश्न:
निम्नलिखित के विभेदक ढूंढें:2tanx−7secx
उत्तर:
-
चेन का नियम उपयोग करें: d/dx[2tanx - 7secx] = (2)(sec^2x) - (7)(secxtanx)
-
सरल: (2)(sec^2x) - (7)(secxtanx) = 2sec^2x - 7sec^2x = -5sec^2x
प्रश्न:
x=1 पर x का विभेदक ढूंढें
उत्तर:
चरण 1: चरणका प्रश्न के लिए एकीकरण के लिए x के विभेदक के लिए मिलायें: f’(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h
चरण 2: x=1 को x के विभेदक का एकीकरण के लिए मिलाएं: f’(1) = lim (h→0) (f(1+h) - f(1))/h
चरण 3: h के 0 आने का सीमा मूल्यांकन करें: f’(1) = lim (h→0) ((1+h) - 1)/h
चरण 4: समीकरण को सरल करें: f’(1) = lim (h→0) (h/h)
चरण 5: h के 0 आने का सीमा मूल्यांकन करें: f’(1) = lim (h→0) 1
चरण 6: उत्तर है: f’(1) = 1
प्रश्न:
कुछ स्थायी a और b के लिए निम्नलिखित के विभेदक ढूंढें: (ax^2+b)^2.
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: (ax^2+b)^2 के विभेदक के लिए घात के नियम का उपयोग करें।
विभेदक = 2(ax^2+b)^2 * (2ax)
चरण 2: समीकरण को सरल करें।
विभेदक = 4a(ax^2+b)^2x
प्रश्न:
निम्नलिखित के विभेदक ढूंढें: secx.
उत्तर:
-
चेन का नियम उपयोग करें: dy/dx = dy/du * du/dx
-
फ़ंक्शन की पहचान करें: y = secx
-
अंतर्निर्धारित का विभेदक खोजें: du/dx = tanx
-
चेन के नियम में प्रतिस्थापन करें: dy/dx = secx * tanx
-
सरलता: dy/dx = secxtanx
प्रश्न:
निम्नलिखित के विभेदक ढूंढें: sin x cos x
उत्तर:
-
उत्पाद नियम का उपयोग करें: d/dx (sin x cos x) = (d/dx sin x) cos x + (d/dx cos x) sin x
-
चेन का नियम का उपयोग करें: d/dx (sin x cos x) = (cos x)(d/dx sin x) + (sin x)(d/dx cos x)
-
sin x और cos x के विभेदक प्राप्त करें: d/dx (sin x cos x) = (cos x)(cos x) + (sin x)(-sin x)
-
सरल करें: d/dx (sin x cos x) = cos2x - sin2x
प्रश्न:
निम्नलिखित के विभेदक ढूंढें: x^(−3)(5+3x)
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: दोनों पक्षों के प्राकृतिक लग को लें: ln(x^(-3)(5+3x))
चरण 2: अंश का विभेदक लेना है: (-3x^(-4))(5+3x) + x^(-3)(3)
चरण 3: सरल करें: -3x^(-4)(5+3x) + 3x^(-3)
चरण 4: और सरल करें: -15x^(-4) + 3x^(-3)
प्रश्न:
निम्नलिखित के विभेदक ढूंढें: 5secx+4cosx
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: 5secx का विभेदक लें 5secx का विभेदक = 5secx tanx
चरण 2: 4cosx का विभेदक लें 4cosx का विभेदक = -4sinx
चरण 3: विभेदक को मिश्रित करें 5secx + 4cosx का विभेदक = 5secx tanx - 4sinx
प्रश्न:
पहले सिद्धांत से निम्नलिखित फ़ंक्शन की वहनी खोजें x^3−27
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: निम्नलिखित फ़ंक्शन को f(x) = x^3 − 27 के रूप में पहचानें
चरण 2: पहले सिद्धांत का उपयोग करके फ़ंक्शन का वहनी लीजिए, अर्थात घातांक का उपयोग करें
d/dx (f(x)) = d/dx (x^3 − 27)
चरण 3: घातांक नियम का उपयोग करें:
d/dx (x^3 − 27) = 3x^2 (x^3 का वहनी) − 0 (27 का वहनी)
चरण 4: संक्षेप में व्यक्त करें:
d/dx (x^3 − 27) = 3x^2
इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन f(x) = x^3 − 27 की वहनी 3x^2 है।
प्रश्न:
किसी भी स्थिर वास्तविक संख्या a के लिए, निम्नलिखित वेगविशेषक खोजें: x^n+ax^(n−1)+a^2x^(n−2)+…+a^(n−1)x+a^n.
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: ज्ञात तक के हर अंश के वेगविशेषक को खोजने के लिए वेगविशेषक घातांक का उपयोग करें:
d/dx[x^n] = nx^(n-1)
d/dx[ax^(n-1)] = (n-1)ax^(n-2)
d/dx[a^2x^(n-2)] = (n-2)a^2x^(n-3)
d/dx[a^(n-1)x] = (n-1)a^(n-1)
d/dx[a^n] = 0
चरण 2: वेगविशेषकों को संयोजित करने के लिए उपयोग करें:
d/dx[x^n+ax^(n−1)+a^2x^(n−2)+…+a^(n−1)x+a^n] = nx^(n-1) + (n-1)ax^(n-2) + (n-2)a^2x^(n-3) + … + (n-1)a^(n-1)
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों की वहनी खोजें: cosecx
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: फ़ंक्शन को ऐसे संशोधित करने के लिए श्रृंगार नियम का उपयोग करें: cosecx = 1/sinx
चरण 2: व्यक्ति विधि का प्रयोग करके 1/sinx की वहनी लीजिए: d/dx (1/sinx) = -cosx/sinx^2
चरण 3: कोटियोंकन फ़ंक्शन का प्रयोग करके अभिव्यक्ति को फिर से लिखें: d/dx (cosecx) = -cosecx * cotx
प्रश्न:
x^2 - 2 की वहनी खोजें x = 10 पर
उत्तर:
-
फ़ंक्शन की पहचान करें: x^2 - 2
-
फ़ंक्शन की वेगविशेषक लीजिए: 2x
-
वेगविशेषक में x = 10 का स्थानान्तरण करें: 2(10) = 20
प्रश्न:
यदि f(x)=x^100/100+x^99/99+x^98/98 +…+x+1 है, तो दिखाएं कि f’(1)=100 f’(0)।
उत्तर:
f’(x) = 100x^99/100 + 99x^98/99 + 98x^97/98 + … + 1
f’(1) = 100x^99/100 + 99x^98/99 + 98x^97/98 + … + 1
f’(1) = 100
f’(0) = 0x^99/100 + 99x^98/99 + 98x^97/98 + … + 1
f’(0) = 1
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों की वेगविशेषक खोजें: (x−a)(x−b).
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: फ़ंक्शन को ऐसे संतुलित करें: (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab
चरण 2: फ़ंक्शन की वेगविशेषक लीजिए: 2x - (a+b)
चरण 3: वेगविशेषक को सरल करें: 2x - (a+b) = 2x - a - b
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों की वहनी खोजें: 5sinx−6cosx+7.
उत्तर:
उत्तर:
-
श्रृंगार नियम का उपयोग करें: d/dx[5sinx−6cosx+7] = d/dx[5sinx] - d/dx[6cosx] + d/dx[7]
-
साइन और कोसाइन की वेगविशेषकों का उपयोग करें: d/dx[5sinx] = 5cosx d/dx[6cosx] = -6sinx d/dx[7] = 0
-
मूल समीकरण में वेगविशेषकों का स्थानांतरण करें: d/dx[5sinx−6cosx+7] = 5cosx - 6sinx + 0
-
सरल करें: d/dx[5sinx−6cosx+7] = 5cosx - 6sinx
प्रश्न:
2x−3/4 की वेगविशेषक खोजें
उत्तर:
उत्तर:
- व्यंजक को एक भिन्न के रूप में लिखें: (2x - 3)/4
- विभाजक और पूरक की वेगविशेषकों को अलग-अलग भिन्न के रूप में लीजिए: विभाजक: 2 पूरक: 0
- दो भिन्नों को समान्य कीजिए: 2/0
- सरल करें: अपरिभाषित
प्रश्न:
चरण १: दिए गए अभिव्यक्ति को दोबारा लिखें: (x^n - a^n)/(x - a)
चरण २: अभिव्यक्ति के लिए अभिलेखन नियम लागू करें: n*(x^(n-1))(x - a) - n(a^(n-1))/(x - a)^2
चरण ३: भंग को सुलझाएं: n*(x^(n-1)) - n*(a^(n-1))/(x - a)
चरण ४: सामान्य शब्दों को फैक्टर करें: n*(x^(n-1) - a^(n-1))/(x - a)
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