गणितीय तर्क समस्या 05 का हिन्दी संस्करण क्या है?
प्रश्न:
प्रमाणित कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है प्रतिष्ठांता विधि के द्वारा p: यदि x एक पूर्णांक है और x² सम भाज्य है तो x भी सम भाज्य है
उत्तर:
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प वक्तव्य को “यदि x एक पूर्णांक है और x² सम भाज्य है तो x भी सम भाज्य है” यह प्रतिष्ठांता विधि के रूप में पुनः लिखें।
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इस कथन को प्रतिपादक के रूप में पुनर्लेखित करें: “यदि x एक पूर्णांक है और x सम नहीं है तो x² भी सम नहीं है।”
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इस कथन को सत्य साबित करने के लिए, मान लें कि x एक पूर्णांक है और x सम नहीं है।
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x सम नहीं है, तो x विषम होना चाहिए।
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x विषम होने के कारण, x² भी विषम होना चाहिए।
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इसलिए, यदि x एक पूर्णांक है और x सम नहीं है तो x² भी सम नहीं है।
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यह प्रतिष्ठांता विधि के द्वारा कथन सत्य होने का प्रमाण है।
प्रश्न:
निम्नलिखित कथनों में से कौन से सत्य हैं और कौन से गलत हैं? प्रत्येक मामले में एक वैध कारण भी दें (आई) प्रत्येक वृत्त का प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की धोरण है (आईआई) प्रत्येक वृत्त के केंद्राबीज वृत्त के प्रत्येक छोर का अर्ध किया नहीं करता (आईआईआई) वृत्त एक अभिन्न मामला है एक ह्रासीय का सं। (आईवी) यदि एक्स और वाई पूर्णांक हैं और यदि एक्स> वाई है तो -एक्स<-वाई (वी) √ 11 एक सर्वभौमिक संख्या नहीं है।
उत्तर:
(i) प : सत्य। प्रत्येक वृत्त का प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की धोरण होती है। यहां ध्यान दें कि एक त्रिज्या भी वृत्त के प्रत्येक दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा होती है, इसलिए प्रत्येक वृत्त का प्रत्येक त्रिज्या भी वृत्त की धोरण होती है।
(ii) q : गलत। वृत्त का केंद्राबीज प्रत्येक छोर का अर्ध किया नहीं करता। यह केवल उस छोर का अर्ध किया करता है जो वृत्त के केंद्र से होता है।
(iii) r : गलत। एक वृत्त एक इल्लीप्स का एक विशेष मामला नहीं है। एक वृत्त एक ऐसा विशेष मामला है जहां दो ध्रुवियों का एक ही बिंदु पर होता है।
(iv) s : सत्य। यदि एक्स और वाई पूर्णांक हैं और यदि एक्स> वाई है तो -एक्स<-वाई। इसका कारण यह है कि जब दो संख्याओं को एक नकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो परिणाम मूल संख्याओं के क्रम के विपरीत होता है।
(v) t : गलत। √11 एक गैरसाधारण संख्या है, अर्थात यह एक सर्वभौमिक संख्या नहीं है। यह इसलिए है क्योंकि √11 का दशमलव विस्तार अनतिचर होता है।
प्रश्न:
एक विरोधाभासी उदाहरण देकर दिखाइए कि निम्नलिखित कथन सत्य नहीं है (आई) प्रतिष्ठांता विधि के अनुसार एकत्रिभुज के सभी कोण समान हैं तो त्रिभुज न्यूनाधिकी त्रिभुज होता है। (आईआई) x²−1 =0 की समीकरण के बीच में एक वर्गर्धि स्थिति नहीं होती है 0 और 2 के बीच।
उत्तर:
(i) विरोधाभासी उदाहरण: सभी कोण 60° के बराबर होने के साथ एक त्रिभुज ABC को ध्यान में लें। यह त्रिभुज एक न्यूनाधिकी त्रिभुज है और एक विद्यमान त्रिभुज नहीं है। इसलिए, कथन p सत्य नहीं है।
(ii) विरोधाभासी उदाहरण: x^2−1 = 0 को ध्यान में लें। इस समीकरण का एक मूल x = 1 है, जो 0 और 2 के बीच होता है। इसलिए, कथन q सही नहीं है।
प्रश्न:
एक विरोधी उदाहरण देकर दिखाएं कि कथन “किसी भी वास्तविक संख्या के लिए ए और ब, ए² = ब² यह नहीं होता है जब a ≠ b” सत्य नहीं है
उत्तर:
विरोधी उदाहरण: ए = -2 और ब = 2 लेते हैं।
तब ए² = (-2)² = 4 = ब² = 2² = 4
हालांकि, ए ≠ ब, क्योंकि ए = -2 और ब = 2।
इसलिए, कथन “किसी भी वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, a^2=b^2 अमर्यादित आज्ञाएं हो, जो a=b दर्शाता है, यह सही नहीं है।
प्रश्न:
इस स्टेटमेंट कोप्रमाणित कीजिए p : “यदि x एक ऐसा वास्तविक संख्या है जिसके लिए x^3+4x=0 तो x 0 है” यह सत्य है द्वारा (i) प्रत्यक्ष विधि (ii) विरोध की विधि (iii) प्रतिवक्रम की विधि
उत्तर:
(i) प्रत्यक्ष विधि:
x को एक ऐसी वास्तविक संख्या मानें जिसके लिए x^3+4x=0 हो।
इसलिए, x^3=-4x
दोनों पक्षों को x से विभाजित करें, हम प्राप्त करते हैं
x^2=-4
दोनों पक्षों का वर्गमूल करें, हम प्राप्त करते हैं
x=-2
दिए गए समीकरण में x=-2 का प्रतिस्थापन करने से, हम प्राप्त करते हैं
(-2)^3+4(-2)=0
इसलिए, कथन p सत्य है।
(ii) विरोध की विधि:
मान लें कि कथन p गलत है। यानी, मानें कि x^3+4x=0 है, लेकिन x 0 नहीं है।
इसलिए, x^3=-4x
दोनों पक्षों को x से विभाजित करें, हम प्राप्त करते हैं
x^2=-4
दोनों पक्षों का वर्गमूल करें, हम प्राप्त करते हैं
x=-2
दिए गए समीकरण में x=-2 का प्रतिस्थापन करने से, हम प्राप्त करते हैं
(-2)^3+4(-2)=0
यह हमारे मान्यता के विरुद्ध है कि x 0 नहीं होता है। इसलिए, कथन p सत्य है।
(iii) प्रतिवक्रम की विधि:
कथन p का प्रतिरूप है:
p’: यदि x 0 नहीं है, तो x^3+4x 0 के बराबर नहीं है।
x को एक ऐसी वास्तविक संख्या मानें जिसके लिए x 0 नहीं है।
इसलिए, x^3+4x 0 के बराबर नहीं है।
इससे प्रमाणित होता है कि कथन p’ सत्य है। इसलिए, कथन p सत्य है।
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