गणितीय तर्क के विविध अभ्यास (Ganitīya Tark ke Vividh Abhyās)
प्रश्न:
दिए गए वाक्यों की जांच करें कि इसके खिलाफ दिए जाने वाले विधि के द्वारा उनकी वैधता की जाए (i) p: एक अयोग्य संख्या और योग्य संख्या के योग का अयोग्य होना है (विरोधाभासी विधि द्वारा) (ii) q: यदि n एक वास्तविक संख्या है जिसमें n>3 है तो n^2>9 होता है (विरोधाभासी विधि द्वारा)
उत्तर:
(i) p: एक अयोग्य संख्या और एक योग्य संख्या के योग का अयोग्य होना है (विरोधाभासी विधि द्वारा)
मान लें कि एक अयोग्य संख्या x है और एक योग्य संख्या y है। तो, x + y = z, जहां z एक योग्य संख्या है। यह इस तथ्य के खिलाफ है कि एक अयोग्य संख्या और एक योग्य संख्या का योग अयोग्य है। इसलिए, विधि p सत्य है।
(ii) q: यदि n एक वास्तविक संख्या है जिसमें n>3 है तो n^2>9 होगा (विरोधाभासी विधि द्वारा)
मान लें कि n एक वास्तविक संख्या है जिसमें n>3 है लेकिन n^2 ≤ 9। तब, n^2 - 9 ≤ 0 इसलिए, n^2 - 9< 0 यह उस तथ्य के खिलाफ है कि n>3। इसलिए, विधि q सत्य है।
प्रश्न:
इस प्रश्न को पांच अलग-अलग तरीकों से लिखें जो एक ही अर्थ प्रस्तुत करते हैं p: यदि त्रिभुज समवक्त्र होता है तो यह एक तुन्द बांधी गई त्रिभुज होता है
उत्तर:
- यदि एक त्रिभुज समवक्त्र होता है, तो यह एक तुन्द बांधी गई त्रिभुज होता है।
- एक त्रिभुज जो समवक्त्र है, वह एक तुन्द बांधी गई त्रिभुज भी होता है।
- यदि एक त्रिभुज समवक्त्र है, तो इसके कोण तुन्द होते हैं।
- समवक्त्र त्रिभुज तुन्द बांधी गई त्रिभुज होते हैं।
- तुन्द बांधी गई त्रिभुज हमेशा समवक्त्र होते हैं।
प्रश्न:
निम्नलिखित कथनों का नकारात्मक रूप लिखें: i) p: प्रत्येक सकारात्मक यथात्थ संख्या x के लिए संख्या x−1 भी सकारात्मक है ii) q: सभी बिल्लियां खुरचती हैं iii) r: प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए, या तो x>1 होता है या x<1 होता है iv) s: ऐसा एक संख्या x है, जिसके लिए 0<x<1
उत्तर:
i) p: कुछ सकारात्मक यथात्थ संख्या x मौजूद है जो x−1 सकारात्मक नहीं है।
ii) q: सभी बिल्लियां खुरचती नहीं हैं।
iii) r: प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए, न तो x>1 होता है और न ही x<1 होता है।
iv) s: 0<x<1 के लिए ऐसा कोई संख्या x मौजूद नहीं है।
प्रश्न:
प्रत्येक वक्तव्य को प्रस्तुत करने के लिए सत्यापन बिन्दु “अगर p तो q” के रूप में लिखें (i) p: सर्वर पर लॉग इन करने के लिए पासवर्ड होना आवश्यक है (ii) q: जब वर्षा होती है तो वहां यातायात जाम होता है (iii) r: केवल जब आप एक सदस्यता शुल्क भुगतान करते हैं तभी आप वेबसाइट तक पहुंच सकते हैं
उत्तर:
(i) यदि सर्वर पर लॉग इन करने के लिए पासवर्ड आवश्यक है तो q।
(ii) यदि वर्षा होती है तो वहां यातायात जाम होता है।
(iii) यदि आप एक सदस्यता शुल्क भुगतान करते हैं तो आप वेबसाइट तक पहुंच सकते हैं।
प्रश्न:
नीचे दिए गए वक्तव्य हैं p: 25 5 की एक गुणितांक है q: 25 8 की एक गुणितांक है इन दो वक्तव्यों को “और” और “या” के साथ जोड़ने वाले संयुक्त वक्तव्य लिखें दोनों मामलों में संयुक्त वक्तव्य की वैधता की जांच करें
उत्तर:
‘और’ का उपयोग करके: p और q: 25 5 की एक गुणितांक है और 25 8 की एक गुणितांक हैं। वैधता: असत्य
‘या’ का उपयोग करके: p या q: 25 5 की एक गुणितांक है या 25 8 की एक गुणितांक हैं। वैधता: सत्य
प्रश्न:
निम्नलिखित कथनों को “p अगर और केवल जब q” के रूप में पुनः लिखें
(i) प्रश्न: यदि आप टेलीविजन देखते हैं तो आपका मन खाली होता है और यदि आपका मन खाली होता है तो आप टेलीविजन देखते हैं।
उत्तर: आप टेलीविजन देखते हैं केवल यदि आपका मन खाली होता है।
(ii) प्रश्न: आपको एक ग्रेड प्राप्त करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है कि आप सभी होमवर्क को नियमित रूप से करें।
उत्तर: आप सभी होमवर्क को नियमित रूप से करें केवल तभी आप एक ग्रेड प्राप्त करेंगे।
(iii) प्रश्न: यदि एक चतुर्भुज को एकसंकुल एवं एक समय चतुर्भुज कहा जाता है, तो वह आयत होता है और यदि एक चतुर्भुज को आयत कहा जाता है तो वह एकसंकुल होता है।
उत्तर: एक चतुर्भुज एकसंकुल होता है केवल यदि वह आयत होता है।
प्रश्न:
इन वाक्यांशों के प्रतिविरुद्ध और विपरीतवाक्य का उल्लेख करें: (i) p: एक सकारात्मक पूर्णांक केवल तभी प्राइम होता है जब उसके अलावा कोई भी विभाजक नहीं होता है और वह खुद ही (ii) q: जब बाहर सूरजी दिन होता है तब मैं एक समुंद्र तट पर जाता हूँ (iii) r: जब बाहर गर्मी होती है तो आप प्यासे महसूस करते हैं
उत्तर:
(i) प्रतिविरुद्ध: एक सकारात्मक पूर्णांक के अलावा कोई भी विभाजक नहीं होता है तभी वह प्राइम होता है।
विपरीतवाक्य: एक सकारात्मक पूर्णांक प्राइम नहीं होता है, तब उसके अलावा कोई भी विभाजक होता है।
(ii) प्रतिविरुद्ध: मैं एक समुद्र तट पर जाता हूँ तभी जब बाहर सूरजी दिन होता है।
विपरीतवाक्य: जब बाहर सूरजी दिन नहीं होता है, तब मैं एक समुद्र तट पर नहीं जाता हूँ।
(iii) प्रतिविरुद्ध: आप प्यासे महसूस करते हैं तभी जब बाहर गर्मी होती है।
विपरीतवाक्य: जब बाहर गर्मी नहीं होती है, तब आप प्यासे महसूस नहीं करते हैं।
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