पर्मुटेशन और कॉम्बिनेशन अभ्यास ०३
सवाल:
शब्द PERMUTATIONS के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है अगर.i) शब्द P से शुरू होता है और S से समाप्त होता है। ii) सभी स्वर एकसाथ हों। iii) P और S के बीच हमेशा 4 अक्षर हों।
उत्तर:
i) शब्द PERMUTATIONS के अक्षरों को, यदि यह P से शुरू होकर S से समाप्त होता है, तो 8!/(2!2!) = 2520 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
ii) शब्द PERMUTATIONS के अक्षरों को, यदि सभी स्वर एकसाथ हों, तो 8!/(2!2!2!) = 5040 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
iii) शब्द PERMUTATIONS के अक्षरों को, यदि P और S के बीच हमेशा 4 अक्षर हों, तो 8!/(4!2!2!) = 1260 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
सवाल:
कितने 4-अंकीय संख्याएं हो सकती हैं जिनमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है?
उत्तर:
चरण 1: एक 4-अंकीय संख्या 4 अंकों से मिली होती है, प्रत्येक 0 से 9 तक विचार में आने वाले अंकों के सहायता से।
चरण 2: पहले अंक के लिए 10 संभावित विकल्प, दूसरे अंक के लिए 9 संभावित विकल्प, तीसरे अंक के लिए 8 संभावित विकल्प और चौथे अंक के लिए 7 संभावित विकल्प होते हैं।
चरण 3: दोहराया न गया कोई अंक वाली 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या निकालने के लिए, हम प्रत्येक अंक के लिए विकल्पों की संख्या को गुणा कर सकते हैं: 10 x 9 x 8 x 7 = 5040।
इसलिए, कोई अंक दोहराया न गया होने वाली 5040 4-अंकीय संख्याएं हो सकती हैं।
सवाल:
1,2,3,4,6,7 अंकों का उपयोग करके कितनी 3-अंकीय भीख संख्याएं बनाई जा सकती है, यदि कोई अंक दोहराया नहीं गया है?
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: 1,2,3,4,6,7 अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली 3-अंकीय भीख संख्याओं की कुल संख्या 6C3 = 20 होती है।
चरण 2: अंक दोहराया न गया होने के लिए, हमें अंक 2,4,6 का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।
चरण 3: अंक 2,4,6 का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली 3-अंकीय भीख संख्याओं की कुल संख्या 3C3 = 1 होती है।
इसलिए, उत्तर 1 है।
सवाल:
शब्द MONDAY के अक्षरों से शब्दों की संख्या को जोड़ा जा सकता है, मानवी बिना के तैयार हो जाते हैं, यदि. (i) 4 अक्षरों का समय इस्तेमाल किया है। (ii) सभी अक्षरों का समय होता है (iii) सभी अक्षरों का समय होता है, लेकिन पहला अक्षर एक स्वर है?
उत्तर:
(i) 4 अक्षरों का समय इस्तेमाल किया जाता है:
MONDAY शब्द के अक्षरों का, यदि 4 अक्षरों का समय इस्तेमाल किया जाता है, तो 6 संभव शब्दों के संयोग बना सकते हैं:
MOND, MONA, ONDA, ONDY, NDAY, और NDA।
इसलिए, अगर 4 अक्षरों का समय इस्तेमाल किया जाता है, तो MONDAY के अक्षरों से 6 शब्द बनाया जा सकता है।
(ii) सभी अक्षरों का समय होता है:
MONDAY शब्द के अक्षरों का, यदि सभी अक्षरों का समय होता है, तो केवल 1 संभव संयोग बनाया जा सकता है:
MONDAY।
इसलिए, अगर सभी अक्षरों का समय होता है, तो MONDAY के अक्षरों से 1 शब्द बनाया जा सकता है।
(iii) सभी अक्षरों का समय होता है, लेकिन पहला अक्षर एक स्वर है:
MONDAY शब्द के अक्षरों से, यदि सभी अक्षरों का समय होता है, लेकिन पहले अक्षर एक स्वर होता है, तो 5 संभव संयोग बनाये जा सकते हैं:
ONDAY, ONDYA, ONDAY, ODNAY, और ODNYA।
इसलिए, अगर सभी अक्षरों का समय होता है, लेकिन पहला अक्षर एक स्वर होता है, तो MONDAY के अक्षरों से 5 शब्द बनाया जा सकता है।
सवाल:
हमेशा P और S के बीच 4 अक्षर होते हैं?
उत्तर:
चरण 1: P और S के बीच के अक्षरों को निर्धारित करें। उत्तर: Q, R, T, U
उत्तरः शब्द PERMUTATIONS में 3 स्वर ध्वनियाँ हैं (E, U, A)।
चरण २: स्वरों (E, U, A) को व्यवस्थित करने के लिए तरीकों की संख्या की गणना करें।
उत्तरः स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 3! = 6 है।
चरण ३: शेष अक्षरों (P, R, M, T, I, N, S) को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या की गणना करें।
उत्तरः शेष अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 7! = 5040 है।
चरण ४: PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को इस तरह व्यवस्थित करने की कुल तरीकों की संख्या की गणना करें ताकि सभी स्वरों को साथ में लाया जा सके।
उत्तरः PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों की व्यवस्था करने की कुल तरीकों की संख्या 6 x 5040 = 30240 है।
प्रश्न:
1 से 9 के अंकों का उपयोग करके कितने 3-अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं जाता है?
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: अंक 1 से 9 का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली संख्याओं की संख्या 9 अलग-अलग अंकों के permutation लेने पर बराबर होती है।
चरण 2: n अलग-अलग वस्तुओं के r अवतरणों (permutations) की संख्या के लिए सूत्र है nPr = n!/(n-r)!
चरण 3: n = 9 और r = 3 को दर्ज करके, हमें 9P3 = 9!/(9-3)! = 9!/(6!) = 9x8x7 = 504 मिलता है।
चरण 4: इसलिए, अंक 1 से 9 का उपयोग करके दोहराया नहीं जाने वाली 3-अंकीय संख्याओं की संख्या 504 है।
प्रश्न:
शब्द EQUATION के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द, जिनमें अर्थ हो सकता है या न हो सकता है, बनाए जा सकते हैं? प्रत्येक अक्षर का प्रयोग बिलकुल एक ही बार करें?
उत्तर:
उत्तर:
- शब्द EQUATION के सभी अक्षरों की सूची बनाने से शुरू करें: E, Q, U, A, T, I, O, N
- प्रत्येक अक्षर का प्रयोग बिलकुल एक ही बार करते हुए, अधिकतम संख्या में शब्द बनाए जा सकती है 8! होती है।
- इसलिए, शब्द EQUATION के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द, जिनमें अर्थ हो सकता है या न हो सकता है, बनाये जा सकते हैं, और प्रत्येक अक्षर का प्रयोग बिलकुल एक ही बार करें, वो होती है 40,320।
प्रश्न:
PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों के कितने तरीकों से व्यवस्था की जा सकती है अगर: (i) शब्द P से शुरू होता है और S से समाप्त होता है (ii) स्वर एक साथ होते हैं (iii) P और S के बीच 4 अक्षर हमेशा होते हैं
उत्तर:
(i) PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों की व्यवस्था करने के तरीकों की संख्या, जहां शब्द P से शुरू होता है और S से समाप्त होता है, 8!/(2! * 2!) = 20160 होती है।
(ii) PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों की व्यवस्था करने के तरीकों की संख्या, जहां सभी स्वर एक साथ होते हैं, 8!/(2! * 4!) = 5040 होती है।
(iii) PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों की व्यवस्था करने के तरीकों की संख्या, जहां P और S के बीच हमेशा 4 अक्षर होते हैं, 8!/(4!) = 20160 होती है।
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