शीर्षक: प्रायिकता विविध अभ्यास
सवाल:
एक अच्छी तरह से मिश्रित किए गए 52 कार्डों के पैक से 4 कार्ड खींचे जाते हैं। 3 हीरे और एक ऐसे खरगोश प्राप्त करने की संभावना क्या है?
उत्तर:
चरण 1: संभावित परिणामों की कुल संख्या की गणना करें। एक पैक में 52 कार्ड होते हैं, और 4 कार्ड खींचे जाते हैं। इसलिए, संभावित परिणामों की कुल संख्या होती है 52 x 51 x 50 x 49 = 6,201,600।
चरण 2: अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करें। एक पैक में 13 हीरे और 13 ऐसे खरगोश होते हैं। इसलिए, अनुकूल परिणामों की संख्या होती है 13 x 12 x 11 x 13 = 24,312।
चरण 3: संभावना की गणना करें। 3 हीरे और एक ऐसे खरगोश प्राप्त करने की संभावना 24,312/6,201,600 = 0.0039 या 0.39% होती है।
सवाल:
एक निश्चित लॉटरी में 10,000 टिकट बिकते हैं और दस समान पुरस्कार दिए जाते हैं। अगर आप (क) एक टिकट (ख) दो टिकट (ग) 10 टिकट खरीदें तो पुरस्कार न मिलने की संभावना क्या है?
उत्तर:
क) एक टिकट खरीदें तो पुरस्कार न मिलने की संभावना 9,999/10,000 या 0.9999 होती है।
ख) दो टिकट खरीदें तो पुरस्कार न मिलने की संभावना 9,998/10,000 या 0.9998 होती है।
ग) 10 टिकट खरीदें तो पुरस्कार न मिलने की संभावना 9,990/10,000 या 0.999 होती है।
सवाल:
यदि 5,000 से अधिक 4-अंकीय संख्याएँ यादृच्छिक रूप से 0,1,3,5 और 7 के अंकों से बनाई जाती हैं। तो (i) अंकों को दोहराया जाता है (ii) अंकों के दोहराने की अनुमति नहीं हैं तब 5 से विभाज्य संख्या बनाने की सम्भावना क्या है?
उत्तर:
(i) जब अंकों को दोहराया जाता है:
5 से विभाज्य संख्या बनाने की संभावना 4/5 होती है।
इसलिए, यह 4-अंकीय संख्याओं की 4 संभावित मिश्रण हैं जिनमें 0,1,3,5 और 7 के अंकों का उपयोग किया जा सकता है जो 5 से विभाज्य हैं (0001, 0035, 0351 और 3517)। 0,1,3,5 और 7 के अंकों की 5 संभावित मिश्रण होती हैं जिनमें 4-अंकीय संख्या बनाई जा सकती है (0000, 0001, 0011, 0113, 0131, 0315, 0351, 0517, 1351, 1517, 3351, 3517, 5117 और 7111), 5 से विभाज्य संख्या बनाने की संभावना 4/5 होती है।
(ii) जब अंकों के अवरोध नहीं हैं:
5 से विभाज्य संख्या बनाने की संभावना 2/5 होती है।
इसलिए, यह 0,1,3,5 और 7 के अंकों की 2 संभावित मिश्रण हैं जिनमें कोई भी अंक दोहराने के बिना 5 से विभाज्य 4-अंकीय संख्या बनाई जा सकती है (0035 और 0351)। 0,1,3,5 और 7 के अंकों की 5 संभावित मिश्रण होती हैं जिनमें कोई भी अंक दोहराने के बिना 4-अंकीय संख्या बनाई जा सकती है (0113, 0131, 0315, 0517, 1351, 1517, 3351, 3517, 5117 और 7111), 5 से विभाज्य संख्या बनाने की संभावना 2/5 होती है।
सवाल:
A और B दो घटनाएं हैं जिसमें P(A)=0.54, P(B)=0.69 और P(A ∩B) =0.35 है ढूंढें (i) P(A∪B) (ii) P(A’ ∩B’) (iii) P(A ∩B’) (iv) P(B ∩A')
उत्तर:
(i) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) = 0.54 + 0.69 - 0.35 = 0.88
(ii) P(A’ ∩B’) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A ∩B)) = 1 - 0.88 = 0.12
(iii) P(A ∩B’) = P(A) - P(A ∩B) = 0.54 - 0.35 = 0.19
(iv) P(B ∩A’) = P(B) - P(A ∩B) = 0.69 - 0.35 = 0.34
सवाल:
Answer:
उत्तर: पदार्थ 1: कुल संभावित परिणामों की संख्या 3! = 6 है।
पदार्थ 2: जिसमें कम से कम एक पत्र सही रूप से छांटा गया हो, उस पदार्थ की संख्या 3 है, क्योंकि प्रत्येक पत्र को सही रूप से छांटा जा सकता है।
पदार्थ 3: कम से कम एक पत्र सही रूप से छांटा गया होने की संभावना 3/6 = 1/2 है।
प्रश्न:
एक पासा के दो मुख हर एक के साथ ‘1’ संख्या की दो पहियां होती हैं, तीन मुखों के हर एक के साथ ‘2’ संख्या की तीन पहियां होती हैं और एक मुख पर ‘3’ संख्या होती है। यदि पासा एक बार छालनी किया जाए, तो निर्धारित करें (i) P(2) (ii) P(1 या 3) (iii) P(नहीं 3)
उत्तर:
(i) P(2) = 3/6 = 1/2
(ii) P(1 या 3) = 2/6 + 1/6 = 3/6
(iii) P(नहीं 3) = 5/6
प्रश्न:
100 छात्रों में से दो खंड बनाए गए हैं, जिनमें से एक में 40 और दूसरे में 60 हैं। यदि आप और आपका दोस्त 100 छात्रों में से एक हैं। प्रायिकता क्या है कि (अ) आप दोनों एक ही खंड में प्रवेश करें? (ब) आप दोनों अलग खंड में प्रवेश करें?
उत्तर:
(अ) आप और आपका दोस्त दोनों ही एक ही खंड में प्रवेश करने की संभावना $\frac{40 \cdot 39}{100 \cdot 99}$ है
(ब) आप और आपका दोस्त दोनों ही अलग खंडों में प्रवेश करने की संभावना $\frac{40 \cdot 60}{100 \cdot 99}$ है
प्रश्न:
एक सूटकेस का नंबर लॉक 4 पहियों वाला होता है, प्रत्येक में दस अंक होते हैं अर्थात् 0 से 9 तक। लॉक को खोलने के लिए एक अनुक्रम में चार अंक चाहिए, जो कोई पुनरावृत्ति नहीं होती है। एक व्यक्ति को सूटकेस खोलने के लिए सही अनुक्रम प्राप्त करने की संभावना क्या है?
उत्तर:
पदार्थ 1: कुल संभावित संयोजनों की संख्या की गणना करें। 10 अंक (0-9) हैं और 4 पहिये हैं, इसलिए कुल संभवत संयोजनों की संख्या 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000 है।
पदार्थ 2: बिना पुनरावृत्ति के संयोजनों की संख्या की गणना करें। प्रथम अंक के लिए 10 विकल्प हैं, दूसरे अंक के लिए 9 विकल्प (क्योंकि वह पहले के समान नहीं हो सकता है), तीसरे अंक के लिए 8 विकल्प (क्योंकि वह पहले दो के समान नहीं हो सकता है), और चौथे अंक के लिए 7 विकल्प (क्योंकि वह पहले तीन के समान नहीं हो सकता है)। इसलिए बिना पुनरावृत्ति के संयोजनों की कुल संख्या 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 है।
पदार्थ 3: सही अनुक्रम प्राप्त करने की संभावना की गणना करें। सही अनुक्रम प्राप्त करने की संभावना बिना पुनरावृत्ति के संयोजनों की संख्या से विभाजित की जाती है, जो 5040/10,000 = 0.504 या 50.4% है।
प्रश्न:
एक डिब्बा में 10 लाल मर्बल, 20 नीले मर्बल और 30 हरे मर्बल होते हैं, डिब्बे से 5 मर्बल खींचे जाते हैं। प्रायिकता क्या है कि (i) सभी मर्बल नीले होंगे? (ii) कम से कम एक हरा होगा?
उत्तर:
(i) प्रायिकता कि सभी 5 मर्बल नीले होंगे है P(सभी नीले) = (20/60) x (19/59) x (18/58) x (17/57) x (16/56) = 0.000717
(ii) प्रायिकता कि कम से कम एक मर्बल हरा होगा है P(कम से कम एक हरा) = 1 - P(कोई भी हरा नहीं) = 1 - (40/60) x (39/59) x (38/58) x (37/57) x (36/56)
प्रश्न: किसी कंपनी के कर्मचारियों से 5 व्यक्ति चुने जाते हैं जो कंपनी की प्रबंधन समिति में उन्हें प्रतिष्ठित करते हैं। पांच व्यक्तियों के विवरण इस प्रकार हैं: क्रम संख्या नाम लिंग आयु (वर्षों में) 1 हरीश पुरुष 30 2 रोहन पुरुष 33 3 शीतल महिला 46 4 अलीस महिला 28 5 सलीम पुरुष 41 इस समूह से यादृच्छिक रूप से एक व्यक्ति का चयन किया जाता है जो मुख़्य प्रवक्ता के रूप में कार्य करेगा। मुख़्य प्रवक्ता इसलिए होने की संभावना क्या है कि वह या तो पुरुष होगा या 35 वर्ष से अधिक आयु होगी?
उत्तर: चरण 1: समूह में कुल व्यक्तियों की संख्या गिनें: समूह में 5 व्यक्तियाँ हैं।
चरण 2: समूह में पुरुषों की संख्या गिनें: समूह में 3 पुरुष हैं।
चरण 3: समूह में 35 वर्ष से अधिक आयु वाले लोगों की संख्या गिनें: समूह में 2 लोग 35 वर्ष से अधिक आयु वाले हैं।
चरण 4: संभावना की गणना करें: मुख़्य प्रवक्ता होने की संभावना या तो 5/5 = 1 है।
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