संबंध और कार्य माला विविध अभ्यास
प्रश्न:
A = {१, २, ३, ४}, B = {१, ५, ९, ११, १५, १६} और f = {(१, ५), (२, ९), (३, १), (४, ५), (२, ११)} क्या निम्नलिखित सत्य हैं? (i) f A से B के लिए एक संबंध है (ii) f A से B के लिए एक कार्य है प्रत्येक मामले में अपना उत्तर साबित करें
उत्तर:
(i) सत्य: f A से B के लिए एक संबंध है क्योंकि इसमें (१, ५), (२, ९), (३, १), (४, ५), (२, ११) जैसे क्रमबद्ध जोड़े हैं जिनमें तत्व A और B दोनों से होते हैं।
(ii) असत्य: f A से B के लिए एक कार्य नहीं है क्योंकि इसमें पहले तत्व (२) के साथ एक से अधिक क्रमबद्ध जोड़े हैं। इससे कार्य की परिभाषा का उल्लंघन होता है, जो कि बयान करता है कि डोमेन में प्रत्येक तत्व के पास केवल एक संबंधित तत्व हो सकता है।
प्रश्न:
f Z×Z का एक उपसंह जो f={(ए,ए+ब) : ए,ब∈Z} द्वारा परिभाषित हो, Z से Z के लिए एक कार्य है: अपना उत्तर साबित करें
उत्तर:
उत्तर: नहीं, f Z से Z के लिए एक कार्य नहीं है। इसलिए, Z के लिए किसी भी दिए गए तत्व के लिए, लगभग एक से अधिक जोड़ी हो सकती है जो दिए गए शर्त को पूरा करती है। उदाहरण के लिए, अगर ए = २ और ब = ३ हैं, तो जोड़ी (६,५) f का एक तत्व है। लेकिन अगर ए = -२ और ब = ३ हैं, तो जोड़ी (-६,१) भी f का एक तत्व है। क्योंकि दो तत्व हैं जो दिए गए शर्त को पूरा करते हैं, इसलिए f Z से Z के लिए एक कार्य नहीं हो सकता है।
प्रश्न:
f= {(१,१), (२,३), (०,-१), (-१,-३)} Z से Z के लिए एक कार्य है जिसे f(x)=ax+b के माध्यम से परिभाषित किया गया है, यहां a और b संपूर्णांक हैं। a और b निर्धारित करें।
उत्तर:
- समीकरण f(x)=ax+b में x=1 को स्थान करें।
- f(1)=a+b
- क्योंकि (1,1) दिए गए सेट में एक बिंदु है, इसलिए a+b=1
- समीकरण f(x)=ax+b में x=2 को स्थान करें।
- f(2)=2a+b
- क्योंकि (2,3) दिए गए सेट में एक बिंदु है, इसलिए 2a+b=3
- समीकरण f(x)=ax+b में x=0 को स्थान करें।
- f(0)=b
- क्योंकि (0,-1) दिए गए सेट में एक बिंदु है, इसलिए b=-1
- समीकरण f(x)=ax+b में x=-1 को स्थान करें।
- f(-1)=-a+(-1)
- क्योंकि (-1,-3) दिए गए सेट में एक बिंदु है, इसलिए -a-1=-3
- समीकरण -a-1=-3 को a के लिए हल करें।
- a=-4
- a=-4 को a+b=1 में स्थान करें।
- -4+b=1
- समीकरण -4+b=1 को b के लिए हल करें।
- b=5
- इसलिए, a=-4 और b=5।
प्रश्न:
A = {९, १०, ११, १२, १३} हो और f: A→N हो जो f(n) = n का उच्चतम प्राइम गुणक हो। f की रेंज ढूंढें।
उत्तर:
A = {९, १०, ११, १२, १३}
f(९) = ३ (९ का उच्चतम प्राइम गुणक) f(१०) = ५ (१० का उच्चतम प्राइम गुणक) f(११) = ११ (११ का उच्चतम प्राइम गुणक) f(१२) = ३ (१२ का उच्चतम प्राइम गुणक) f(१३) = १३ (१३ का उच्चतम प्राइम गुणक)
इसलिए, f की रेंज {३, ५, ११, १३} है।
प्रश्न:
वास्तविक कार्य f द्वारा प्रदत्त वाणिज्यिक विन्यास f(x)=|x-1| का डोमेन और रेंज ढूंढें।
उत्तर:
डोमेन: x ∈ (-∞,∞) रेंज: y ∈ [०,∞)
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