प्रकरण: अनुक्रम और श्रृंखला अभ्यास 4
प्रश्न: 1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+….
उत्तर: चरण 1: अभिव्यक्ति को बदलकर फिर से लिखें 1/2 + 1/6 + 1/12 + ….
चरण 2: सामान्य महज़ निकालें 1/2(1 + 1/3 + 1/6 + ….)
चरण 3: एक रूपयों संख्या के रूप में अभिव्यक्ति को फिर से लिखें 1/2(1 + r + r2 + r3 + ….)
चरण 4: श्रृंगारिक श्रृंखला का योगफल निर्णय करें 1/2(1/(1-r))
प्रश्न: n अंकों तक श्रृंखला का योगफल ढूंढें; 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…………
उत्तर: चरण 1: श्रृंखला का सामान्य आदान लिखा जा सकता है Tn = n(n+1)(n+2).
चरण 2: श्रृंखला का योगफल लिखा जा सकता है S = T1 + T2 + T3 + … + Tn.
चरण 3: समीकरण में Tn की मान डालें.
चरण 4: S = 1(2)(3) + 2(3)(4) + 3(4)(5) + … + n(n+1)(n+2).
चरण 5: साधारण शब्दों को बाहर निकालकर समीकरण को सरल बनाएं।
चरण 6: S = n(n+1)(n+2)(1 + 2 + 3 + … + n).
चरण 7: एक अंक बनाने के लिए एक अंकीय प्रगति के योगफल के लिए सूत्र का उपयोग करें।
चरण 8: S = n(n+1)(n+2) × (n(n+1))/2.
चरण 9: साधारण शब्दों को बहार निकालकर समीकरण को सरल बनाएं।
चरण 10: S = (n(n+1)(n+2))/2 × (n(n+1)).
चरण 11: n अंकों तक श्रृंखला का योगफल है S = (n(n+1)(n+2))/2 × (n(n+1)).
प्रश्न: श्रृंखला के nth अंक ढूंढें 3×1^2,5×2^2,7×3^2,…..
उत्तर: चरण 1: पैटर्न की पहचान करें।
पैटर्न है 3×1^2, 5×2^2, 7×3^2, 9×4^2, 11×5^2, …
चरण 2: सामान्य अंतर निर्धारित करें।
सामान्य अंतर 2 है।
चरण 3: nth अंक को खोजें।
nth अंक है (2n+1)×n^2.
प्रश्न: श्रृंखला का योगफल ढूंढें : (5^2+6^2+7^2+…+20^2)
उत्तर: उत्तर: चरण 1: श्रृंखला के पहले और अंतिम अंक ढूंढें:
पहला अंक: 5^2 = 25 अंतिम अंक: 20^2 = 400
चरण 2: श्रृंखला में अंकों की संख्या की गणना करें:
अंकों की संख्या = अंतिम अंक - पहला अंक + 1 = 400 - 25 + 1 = 376
चरण 3: श्रृंखला का योगफल निर्णय करें:
श्रृंखला का योगफल = n/2[2a + (n-1)d] = 376/2[2(25) + (376-1)(1)] = 376/2[50 + 375] = 376/825[425] = 17,376
प्रश्न: 1^2+(1^2+2^2)+(1^2+2^2+3^2)+….. का योगफल A : n(n+a)(2n+1)/6 B : n(n+1)(2n−1)/6 C : n(n+1)2(n+2)1/12 D : (n^2(n+1)^2)1/12
उत्तर: उत्तर: A : n(n+1)(2n+1)/6
प्रश्न: n अंकों के श्रृंखला का योगफल ढूंढें जिनके nth अंक n(n+4) है।
उत्तर: उत्तर:
चरण 1: श्रृंखला के योगफल के लिए सूत्र ढूंढें। श्रृंखला के योगफल के लिए सूत्र है S = (n/2)(2a + (n - 1)d), यहां a पहला अंक है और d सामान्य रूपगामी है।
चरण 2: सूत्र में a और d के मानों का उपयोग करके उत्तर पाने के लिए सूत्र में स्थान योग्यता का मान डालें। इस मामले में, a = n और d = 4 है, इसलिए सूत्र बनता है S = (n/2)(2n + (n - 1)4)।
चरण 3: अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए सूत्र को सरल बनाएं। S = (n/2)(2n + 4n - 4) = (n/2)(6n - 4) = 3n^2 - 2n
प्रश्न: n अंकों के श्रृंखला का योगफल ढूंढें जिनका nth अंक है: n^2+2^n
उत्तर: समाधान:
चरण 1: पहले अंक (a1) की खोज करें
a1 = 1^2 + 2^1
a1 = 3
चरण 2: सामान्य अंतर (d) ढूंढें
d = n^2 + 2^n - (n-1)^2 + 2^(n-1)
d = 2^n
चरण 3: n अंकों का योगफल ढूंढें
Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]
विषयवस्तु:
Sn = n/2 [2(14) + (n-1)(2n)]
Sn = n/2 [28 + 2n2 - 2n]
Sn = n2 + n - 14
##सवाल: (2n−1)^2 के nवे पद के श्रेणी के nवे पद की योग का योगफल ढूंढें।
##उत्तर: उत्तर: चरण 1: श्रेणी के n पदों के योग का सूत्र लिखें: Sn = n/2[2a + (n-1)d]
चरण 2: सूत्र में a (पहला पद) और d (समान अंतर) के मान स्थान करें: Sn = n/2[2(2*1-1)^2 + (n-1)(2-1)^2]
चरण 3: समीकरण को सरल बनाएं: Sn = n/2[4 + (n-1)1]
चरण 4: Sn के लिए समाधान करें: Sn = n/2[n+3]
इसलिए, श्रेणी के n पदों का योग सूत्र है Sn = n/2[n+3]।
##सवाल: 3×8+6×11+9×14+….के n तक की श्रेणी का योग ढूंढें।
##उत्तर: चरण 1: पदों के बीच आम अंतर ढूंढें।
पदों के बीच आम अंतर 3 है।
चरण 2: श्रेणी का अंतिम पद ढूंढें।
शंकु की संख्या को n कहो।
श्रेणी का अंतिम पद (n-1) × (3 + 3 × (n-1)) = 3n2-3n+3 होगा।
चरण 3: श्रेणी का योग ढूंढें।
श्रेणी का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
Sn = [n/2] × (a1 + an)
यहां a1 पहला पद है और an श्रेणी का अंतिम पद है।
इस मामले में, a1 = 3 और an = 3n2-3n+3 है।
इसलिए, श्रेणी का योग द्वारा दिया जाता है:
Sn = [n/2] × (3 + 3n2-3n+3)
Sn = [n/2] × (3n2-3n+6)
Sn = [n2/2] × (3n-3) + [n/2] × 6
Sn = (3n3-3n2)/2 + 3n
इसलिए, 3×8+6×11+9×14+….के n तक की श्रेणी का योग (3n3-3n2)/2 + 3n होता है।
##सवाल: 1+2×3+3×5+4×7+….. की श्रेणी का योग ढूंढें।
A: 915 B: 946 C: 945 D: 916
##उत्तर:
- श्रेणी को 1 + 2(3) + 3(5) + 4(7) + … के रूप में लिखा जा सकता है।
- अगले दो पद 5(9) और 6(11) हैं।
- श्रेणी का योग सभी पदों को जोड़कर निकाला जा सकता है: 1 + 2(3) + 3(5) + 4(7) + 5(9) + 6(11) = 945
उत्तर: C. 945
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