त्रिकोणमितीय कार्यों का सवाल ०१
प्रश्न:
cos4x=cos2x के लिए सामान्य समाधान ढूंढें A x=nπ या nπ/6 B x=nπ या nπ/3 C x=2nπ/3 D x=π
उत्तर:
A. x=nπ या nπ/6
प्रश्न:
cot(−15π/4) का मान ढूंढें
उत्तर:
चरण 1: -15π/4 को रेडियन में बदलें।
रेडियन = -15π/4 = -7π/2
चरण 2: -7π/2 का कोटैंजेंट ढूंढें।
cot(-7π/2) = -cot(7π/2)
चरण 3: वही पहचान cot(x) = -cot(π - x) का उपयोग करें।
-cot(7π/2) = -cot(π - 7π/2)
चरण 4: सरल करें।
-cot(7π/2) = -cot(π/2 - 7π/2)
चरण 5: वही पहचान cot(x) = cot(π - x) का उपयोग करें।
-cot(7π/2) = cot(π/2 - 7π/2)
चरण 6: सरल करें।
-cot(7π/2) = cot(-5π/2)
चरण 7: वही पहचान cot(x) = -cot(π + x) का उपयोग करें।
-cot(7π/2) = -cot(π + 5π/2)
चरण 8: सरल करें।
-cot(7π/2) = -cot(3π/2)
चरण 9: 3π/2 का कोटैंजेंट ढूंढें।
cot(-15π/4) = -cot(3π/2) = -√3
प्रश्न:
व्यास 100 सेमी के वृत्त के केंद्र में 22 सेमी की वक्र द्वारा बनाए गए कोण का माप ढूंढें। (π=22/7 का उपयोग करें)
उत्तर:
चरण 1: वर्तुल का व्यास फ़ॉर्मूला C=2πr का उपयोग करके वृत्त की परिधि की गणना करें C=2π(100) C=200π
चरण 2: वक्र का केंद्रीय कोण गणना करने के लिए फ़ॉर्मूला θ=वक्र लंबित कोण/व्यास का उपयोग करें θ=22/100 θ=0.22
चरण 3: केंद्रीय कोण को डिग्री माप में बदलने के लिए फ़ॉर्मूला थीटा (डिग्री में) = थीटा (रेडियन में) × 180/π का उपयोग करें थीटा (डिग्री में) = 0.22 × 180/π थीटा (डिग्री में) = 12.56°
प्रश्न:
व्यास 40 सेमी वाले एक वृत्त में, एक वक्र की लंबाई 20 सेमी है। वक्र की छोटी वक्र की लंबाई ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: वृत्त का त्रिज्या गणित करें।
त्रिज्या = व्यास/2 त्रिज्या = 40 सेमी/2 त्रिज्या = 20 सेमी
चरण 2: वक्र की लंबाई की गणना करें।
लंबाई की गणना = (वक्र पर धारित कोण/360) x 2π x त्रिज्या
जहां, वक्र पर धारित कोण को θ कहा जाता है, त्रिज्या वृत्त का त्रिज्या है।
चरण 3: वक्र के मध्य कोण की गणना करें।
वक्र पर धारित कोण = (2 x वक्र की लंबाई)/त्रिज्या वक्र पर धारित कोण = (2 x 20 सेमी)/20 सेमी वक्र पर धारित कोण = 40°
चरण 4: सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।
लंबाई की गणना = (40/360) x 2π x त्रिज्या लंबाई की गणना = (40/360) x 2π x 20 सेमी लंबाई की गणना = 17.1 सेमी
प्रश्न:
csc(−1410∘) का मान ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: कोण को डिग्री से रेडियन में बदलें।
−1410∘ = −1410∘ × (π/180) = −24.7π रेडियन
चरण 2: cosecant के उपयोग से csc(−1410∘) का मान ढूंढें।
csc(−1410∘) = 1/sin(−24.7π)
चरण 3: sin(−24.7π) का मान ढूंढें।
sin(−24.7π) = -1
चरण 4: csc(−1410∘) का मान ढूंढें।
csc(−1410∘) = 1/(-1) = -1
प्रश्न:
sin(−11π/3) का मान ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: -11π/3 को रेडियन में बदलें।
-11π/3 = -11π/3 * (180/π) = -11*180/3 = -1980/3
चरण 2: sin() के उपयोग से sin(-1980/3) का मान ढूंढें।
sin(-1980/3) = -0.8660254037844386
प्रश्न:
यदि दो वृत्तों में एक ही लंबाई की वक्रें हों, और केंद्र में धारित कोणों के माप 60° और 75° हों, तो उनके त्रिज्या का अनुपात ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: दो वृत्तों का एक चित्र बनाएं जिसमें एक ही लंबाई की वक्रें केंद्र में धारित कोणों की गणना करती हों।
चरण 2: दोनों वृत्तों के त्रिज्या को r1 और r2 नामकरण करें।
पदावली 3: वृत्त के केंद्र में एक चाप द्वारा ग्राफित के कोण की सूत्र का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं: 60°/2π = र1/2र1
75°/2π = र2/2र2
पदावली 4: दोनों में समीकरणों को एक दूसरे से भाग करने के लिए देखें: र1/र2 = (60°/75°) * (2र2/2र1)
पदावली 5: समीकरण को सरल बनाने के लिए, हमें मिलता है: र1/र2 = (4/5)
पदावली 6: इस प्रकार, दोनों वृत्तों के तत्वों का अनुपात 4:5 है।
प्रश्न:
tan (19π/3) की मान निकालें।
उत्तर:
पदावली 1: 19π/3 की मान डिग्री में निकालें। (19π/3 = 570°)
पदावली 2: तकनीकीत सहायक का उपयोग करके tan 570° की मान निकालें। (tan 570° = -1)
प्रश्न:
एक पहिया एक मिनट में 360 चक्रवात करता है। एक सेकंड में यह कितने रेडियन में घुमता है?
उत्तर:
पदावली 1: चक्रवातों को रेडियन में परिवर्तित करें।
1 चक्रवात = 2π रेडियन
इसलिए, 360 चक्रवात = 360 x 2π = 720π रेडियन
पदावली 2: सेकंड में रेडियन की गणना करें।
प्रति सेकंड रेडियन = 720π/60 सेकंड
पदावली 3: समीकरण को सरल करें।
प्रति सेकंड रेडियन = 12π रेडियन
प्रश्न:
यदि एक पेंडुलम की लंबाई 75 सेंटीमीटर है और टिप एकार्क लंबाई का वर्णन करता है
(i) 10 सेंटीमीटर
(ii) 15 सेंटीमीटर
(iii) 21 सेंटीमीटर
उत्तर:
(i) 10 सेंटीमीटर
कोण = (10/75) * 2π रेडियन
= (2/15) * π रेडियन
= (2π/15) रेडियन
(ii) 15 सेंटीमीटर
कोण = (15/75) * 2π रेडियन
= (3/15) * π रेडियन
= (3π/15) रेडियन
(iii) 21 सेंटीमीटर
कोण = (21/75) * 2π रेडियन
= (7/15) * π रेडियन
= (7π/15) रेडियन
प्रश्न:
sin 765∘ की मान निकालें।
उत्तर:
पदावली 1: 765° को रेडियन में परिवर्तित करें।
1° = π/180
इसलिए, 765° = (765 x π)/180 = (4π + 5π)/180 = 9π/180
पदावली 2: sin 765° की मान निकालने के लिए गणितीय सूत्र का उपयोग करें।
sin 765° = sin (9π/180)
पदावली 3: समीकरण को सरल करें।
sin (9π/180) = sin (π/20)
पदावली 4: त्रिकोणमितीय मान या तालिका का उपयोग करके sin (π/20) की मान निकालें।
sin (π/20) ≈ 0.309017
प्रश्न:
यदि दोनों वृत्तों में एक ही लंबाई के चाप कोण को केंद्र में अंकित करते हैं, तो उनके तत्वों का अनुपात क्या होगा?
उत्तर:
पदावली 1: चापों के साथ दो वृत्तों का एक डायग्राम बनाएं।
पदावली 2: कोणों को फिर से डिग्रीज में लेबल करें।
पदावली 3: सूत्र का उपयोग करके तत्वों के अनुपात की गणना करें: तत्वों का अनुपात = tan(कोण1)/tan(कोण2)
पदावली 4: सूत्र में कोण1 और कोण2 की मानें स्थानांतरित करें।
पदावली 5: तत्वों का अनुपात = tan(60°)/tan(75°)
पदावली 6: तत्वों का अनुपात = 0.866
प्रश्न:
निम्नलिखित रेडियन मापों के लिए डिग्री मापों का पता लगाएं (π=22/7 का उपयोग करें)। (i) 11/16 (ii) −4 (iii) 5π/3 (iv) 7π/6
उत्तर:
(i) 11/16 रेडियन = 11/16 x 180/π = 99°
(ii) −4 रेडियन = −4 x 180/π = −226.19°
(iii) 5π/3 रेडियन = 5π/3 x 180/π = 300°
(iv) 7π/6 रेडियन = 7π/6 x 180/π = 315°
प्रश्न:
निम्नलिखित रेडियन मापों के लिए डिग्री मापों का पता लगाएं (π=22/7 का उपयोग करें)। (i) 11/16 (ii) −4 (iii) 5π/3 (iv) 7π/6
उत्तर:
(i) 11/16 रेडियन = 11/16 x 180/π = 99°
(ii) −4 रेडियन = −4 x 180/π = −226.19°
(iii) 5π/3 रेडियन = 5π/3 x 180/π = 300°
(iv) 7π/6 रेडियन = 7π/6 x 180/π = 315°
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