त्रिकोणमिति फ़ंक्शंस अभ्यास 02
प्रश्न:
निम्नलिखित समीकरणों के मूख्य और सामान्य समाधान ढूंढें: (i) tanx=√3 (ii) secx=2 (iii) cotx=−√3 (iv) cosecx=−2
उत्तर:
(i) मूख्य समाधान: x = π/3 + 2πk, यहां k कोई भी पूर्णांक है सामान्य समाधान: x = π/3 + 2πk ± 2πn, यहां k और n कोई भी पूर्णांक हैं
(ii) मूख्य समाधान: x = π/6 + πk, यहां k कोई भी पूर्णांक है सामान्य समाधान: x = π/6 + πk ± πn, यहां k और n कोई भी पूर्णांक हैं
(iii) मूख्य समाधान: x = −π/3 + 2πk, यहां k कोई भी पूर्णांक है सामान्य समाधान: x = −π/3 + 2πk ± 2πn, यहां k और n कोई भी पूर्णांक हैं
(iv) मूख्य समाधान: x = 5π/6 + πk, यहां k कोई भी पूर्णांक है सामान्य समाधान: x = 5π/6 + πk ± πn, यहां k और n कोई भी पूर्णांक हैं
प्रश्न:
tanx=-4/3, x दूसरे चतुर्थांश में है। sin x/2, cos x/2, tan x/2 की मान ढूंढें
उत्तर:
- sin x/2 = -√3/2
- cos x/2 = 1/2
- tan x/2 = -√3/3
प्रश्न:
अगर sin x = 3/5 है, और x दूसरे चतुर्थांश में है, तो अन्य पांच त्रिकोणमितीय समांतर ताद की मान ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: x दूसरे चतुर्थांश में है, इसलिए x का मान 90° से 180° के बीच में होगा।
चरण 2: cos x की मान ढूंढ़ें, cos x = 4/5
चरण 3: tan x की मान ढूंढ़ें, tan x = 3/4
चरण 4: cosec x की मान ढूंढ़ें, cosec x = 5/3
चरण 5: sec x की मान ढूंढ़ें, sec x = 5/4
चरण 6: cot x की मान ढूंढ़ें, cot x = 4/3
प्रश्न:
cosec (−1410°) का मान है A 1/2 B −1/2 C √3/2 D 2
उत्तर:
उत्तर: B -1/2
स्पष्टीकरण:
इस समस्या को हल करने के लिए, हमें cosecant की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए। Cosecant एक कोण के साइन की रिक्तस्थानीय है।
इसलिए, हम cosec (−1410°) की मान इस प्रकार से निर्धारित कर सकते हैं:
cosec (−1410°) = 1 / sin (−1410°)
क्योंकि sin (−1410°) = -1/2,
cosec (−1410°) = -1/2
इसलिए, उत्तर है B -1/2।
प्रश्न:
मूल फंक्शन से बाकी पांच त्रिकोणमितीय समांतर ताद की मान ढूंढें: sin x = 3/5, x दूसरे चतुर्थांश में है।
उत्तर:
चरण 1: cos x की मान ढूंढ़ें।
cos x = 4/5
चरण 2: tan x की मान ढूंढ़ें।
tan x = -3/4
चरण 3: cosec x की मान ढूंढ़ें।
cosec x = -5/3
चरण 4: sec x की मान ढूंढ़ें।
sec x = -4/3
चरण 5: cot x की मान ढूंढ़ें।
cot x = -4/3
प्रश्न:
cos x=−1/3, x तीसरे चतुर्थांश में है। sin x/2, cos x/2, tan x/2 की मान ढूंढें
उत्तर:
-
sin x/2 = √(1 - cos^2x/4) = √(1 - (-1/9)) = √(10/9)
-
cos x/2 = √(1 - sin^2x/4) = √(1 - (-1/9)) = √(10/9)
-
tan x/2 = sin x/2/cos x/2 = √(10/9)/√(10/9) = 1
प्रश्न:
मूल फंक्शन से बाकी पांच त्रिकोणमितीय समांतर ताद की मान ढूंढें: sec x=13/5, x चौथे चतुर्थांश में है।
उत्तर:
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पहले, cos x की मान निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके ढूंढें: cos x = 1/sec x cos x = 5/13
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अगले, sin x की मान निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके ढूंढें: sin x = √(1-cos^2x) sin x = √(1-(5/13)^2) sin x = √(1-25/169) sin x = √(144/169) sin x = 12/13
-
फिर, cosec x की मान निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके ढूंढें: cosec x = 1/sin x
कंटेंट का हिन्दी संस्करण क्या है: cosecx = 13/12
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अगले कदम में, समीकरण का उपयोग करके cotx की मान स्थापित करें: cotx = cosx/sinx cotx = 5/12
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अंत में, समीकरण का उपयोग करके tanx की मान स्थापित करें: tanx = sinx/cosx tanx = 12/5
सवाल:
tan19π/3 की मान ढूंढें
उत्तर:
कदम 1: 19π/3 को रेडियन में परिवर्तित करें।
19π/3 = 19π/3 × (180°/π) = 570°
कदम 2: 570° की मान ढूंढें।
tan 570° = tan(540° + 30°) = tan 540° × tan 30° + tan 540° ÷ tan 30° = 0 × 1/√3 + 0 = 0
सवाल:
sinx=1/4, x चतुर्थ चत्वार्ण्ण के अंतर्गत है। sinx/2 की मान ढूंढें
उत्तर:
कदम 1: समीकरण ‘sinx=1/4’ को पूरा करने वाले चतुर्थ चत्वार्ण्ण में x की मान ढूंढें।
प्रतिलोम साइन समीकरण का उपयोग करके, x = arcsin(1/4) = 0.92729522
कदम 2: sinx/2 की मान की गणना करें।
sinx/2 = sin(0.92729522)/2 = 0.46364761
सवाल:
अन्य पांच त्रिकोणमितीय अनुपातों की मान ढूंढें: cosx=−1/2, x तीसरे चत्वार्ण्ण में स्थित है।
उत्तर:
-
Sinx = √(1 - (cosx)^2) Sinx = √(1 - (-1/2)^2) Sinx = √(1 - 1/4) Sinx = √3/2
-
Tanx = Sinx/Cosx Tanx = √3/2 / (-1/2) Tanx = -√3
-
Secx = 1/Cosx Secx = 1/(-1/2) Secx = -2
-
Cosecx = 1/Sinx Cosecx = 1/√3/2 Cosecx = 2/√3
-
Cotx = Cosx/Sinx Cotx = (-1/2)/√3/2 Cotx = -2/√3
सवाल:
अन्य पांच त्रिकोणमितीय अनुपातों की मान ढूंढें: cotx=3/4, x तीसरे चत्वार्ण्ण में स्थित है।
उत्तर:
-
पहले, हमें कोण x का माप ढूंढना होगा। इसके लिए, हम इन्वर्स cotangent समारोह का उपयोग कर सकते हैं: x = arccot(3/4)
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अगले, हम कोण x के अन्य पांच त्रिकोणमितीय अनुपातों की मान ढूंढ सकते हैं: sin x = -sqrt(3)/2 cos x = -1/2 tan x = -sqrt(3) sec x = -2 csc x = -2sqrt(3)
सवाल:
tanx=−5/12,x दूसरे चत्वार्ण्ण में स्थित है।
उत्तर:
-
पहले, पाइथागोरस सिद्धांत का उपयोग करें ताकि पासवान ओर की लंबाई का पता लग सके: पासवान ओर = 12
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अगले, याोगत्रिगुणांक समानुपात का उपयोग करें ताकि विपरीत ओर का पता लगाया जा सके: विपरीत ओर = -5
-
इसके बाद, आड़ा कोण निकालने के लिए, उल्टातान त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करें: कोण = -63.43°
-
चूंकि कोण दूसरे चत्वार्ण्ण में स्थित है, इसलिए कोण -90° और 0° के बीच होना चाहिए: x = -63.43°
सवाल:
sin(765o) की मान ढूंढें।
उत्तर:
कदम 1: 765° को रेडियन में परिवर्तित करें।
1° = π/180 रेडियन
765° = (765 × π) / 180 रेडियन
कदम 2: sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + … सूत्र का उपयोग करें ताकि sin(765o) की मान निकालें।
sin(765o) = (765π/180) - (765π/180)3/3! + (765π/180)5/5! - (765π/180)7/7! + …
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