प्रश्न:

किसी क्षैतिजता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ढूंढ़ें जो संकेतरेखा y=1/x−1,x=1 को छूती हैं।

उत्तर:

चरण 1: दिए गए समीकरण की पहली अविभाज्य प्रमेय ढूंढ़ें।

y’ = -1/(x-1)^2

चरण 2: टैंजेंट रेखा की ढलान (m) ढूंढ़ें।

m = -1

चरण 3: संकेतरेखा का स्पर्श बिंदु (x, y) ढूंढ़ें।

x = 1 y = 1/0 = अवरोधित

चरण 4: रेखा के समीकरण का बिंदु-ढाल समीकरण का उपयोग करें।

y - y1 = m(x - x1)

या - अवरोधित = -1(x - 1)

y = -x + 1

प्रश्न:

x^2+y^2−2x−3=0 ध्रुवीयता के आधार पर संकेतरेखाओं के बिंदु ढूंढ़ें जो x-अक्ष के समानांतर हैं।

उत्तर:

चरण 1: दिए गए समीकरण को मानक रूप में पुनर्लेखें: x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0

चरण 2: x के साथ विभेदित करके समीकरण का प्राकृतिक भिन्नांक लें: 2x - 2 = 0

चरण 3: x के लिए हल करें: x = 1

चरण 4: मूल समीकरण में x = 1 का प्रतिस्थापन करें: y^2 - 2 - 3 = 0

चरण 5: y के लिए हल करें: y = ±√5

चरण 6: संकेतरेखाओं के बिंदु परिक्रमण (1, √5) और (1, -√5) हैं।

प्रश्न:

दिए गए परिवृत्त य = x4−6x^3+13x^2−10x+5 के निर्देशित बिंदु (1,3) पर संकेतरेखा और सामान्य का समीकरण ढूंढ़ें।

उत्तर:

जवाब:

संकेतरेखा का समीकरण:

(1,3) पर संकेतरेखा की ढाल = 4(1)3 − 6(1)2(3) + 13(1)(3)2 − 10(3) + 5 = 4 - 18 + 39 - 30 + 5 = 10

इसलिए, (1,3) पर संकेतरेखा का समीकरण है y - 3 = 10(x - 1) => y = 10x - 7

सामान्य का समीकरण:

(1,3) पर सामान्य की ढाल = -1/10

इसलिए, (1,3) पर सामान्य का समीकरण है y - 3 = -1/10(x - 1) => y = -1/10x + 13/10

प्रश्न:

क्षैतिज य = x^2−2x+7 की टैंजेंट रेखा का समीकरण ढूंढ़ें, जो है। (a) 2x−y+9=0 रेखा के समानांतर है। (b) 5y−15x=13 रेखा के लग्रस्थ है।

उत्तर:

(a) 2x−y+9=0 रेखा के समानांतर

टैंजेंट रेखा का समीकरण दी गई रेखा की ढाल की तरह होना चाहिए।

दी गई रेखा की ढाल, m = 2

इसलिए, टैंजेंट रेखा का समीकरण है y = 2x - 9

(b) 5y−15x=13 रेखा के लग्रस्थ

टैंजेंट रेखा की ढाल, दी गई रेखा की ऋणात्मक के रूप में अप्रत्यास्थ ढाल होनी चाहिए।

दी गई रेखा की ढाल, m = -3/5

इसलिए, टैंजेंट रेखा का समीकरण है y = -3/5x + 13/5

प्रश्न:

दिए गए पराबोला y^2=4ax के निर्देशित बिंदु (at^2,2at) पर संकेतरेखा और सामान्य का समीकरण ढूंढ़ें।

उत्तर:

1. पराबोला का समीकरण ढूंढ़ें: y^2 = 4ax

2. दिए गए बिंदु के संयोजक ढूंढ़ें: (at^2,2at)

3. पराबोला का तत्क्षणी निकालें: y’ = (2/4a)x

4. दिए गए बिंदु को तत्क्षणी में प्रतिस्थापित करें: y’ = (2/4a)(at^2)

5. सरल करें: y’ = (1/2a)t^2

6. संकेतरेखा का समीकरण ढूंढ़ें: y-2at=(1/2a)t^2(x-at^2)

7. सामान्य का समीकरण ढूंढ़ें: y-2at=-(1/2a)t^2(x-at^2)

प्रश्न:

संकेतरेखाओं का समीकरण ढूंढ़ें जिनकी ढाल 0 है और वे संकेतरेखा y=1/x^2−2x+3 के बिंदु में हैं।

उत्तर:

चरण 1: y=1/x2−2x+3 की पहली अविभाज्य प्रमेय ढूंढ़ें।

y’ = -2x/x^3 + 2/x^2

चरण 2: विभाज्य को शून्य के बराबर सेट करें।

-2x/x^3 + 2/x^2 = 0

चरण 3: समीकरण को फैक्टराइज़ करें।

-2x(x^2 - 1) + 2(x^2 - 1) = 0

चरण 4: x के लिए हल करें।

x^2 - 1 = 0

x = ±1

स्टेप 5: मूल समीकरण में x-मानों (x-values) की प्रतिस्थापना करें।

y = 1/x^2 - 2x + 3

y = 1/1^2 - 2(1) + 3

y = 1 - 2 + 3

y = 2

इसलिए, y=1/x^2−2x+3 वाले कर्व के रेखाओं की समांतर होने वाली रेखाओं (lines) के समीकरण हैं: x = 1, y = 2 और x = -1, y = 2।

प्रश्न:

y = x + 1 रेखा y^2=4x कर्व के एक तांगेंट है जब y=x+1 रेखा एक बिन्दु पर। A (1,2) B (2,1) C (1,4) D (2,2)

उत्तर:

स्टेप 1: इसके रेखा की तांगेंट होने के लिए, हमें y=x+1 रेखा की ढाल निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। रेखा की ढाल m = 1 होती है।

स्टेप 2: y^2=4x कर्व की ढाल निर्धारित करने के लिए, हमें समीकरण का विलोम लेने की आवश्यकता होती है। समीकरण का विलोम y’ = 2y/4x होता है।

स्टेप 3: बिंदु पर कर्व की ढाल निर्धारित करने के लिए, हमें समीकरण में बिंदु की निर्देशिका का प्रत्यादान करने की आवश्यकता होती है। बिंदु A (1,2) के लिए, कर्व की ढाल m = 1 होती है। बिंदु B (2,1) के लिए, कर्व की ढाल m = 0.5 होती है। बिंदु C (1,4) के लिए, कर्व की ढाल m = 2 होती है। बिंदु D (2,2) के लिए, कर्व की ढाल m = 1 होती है।

स्टेप 4: y=x+1 रेखा की ढाल m = 1 होने के कारण, केवल उस बिंदु D (2,2) को एक तांगेंट माना जाता है।

प्रश्न:

दिए गए कर्व x^3 पर θ=(1,1) को तांगेंट और सामान्य की समीकरण ढूंढें।

उत्तर:

तांगेंट का समीकरण:

थ्रीशोल्डा=x^3 समीकरण का विलोम लेने से मिलता है।

थ्रीशोल्डा = 3x^2

तांगेंट रेखा का समीकरण दिया जाता है y - 1 = 3(x - 1)।

सामान्य का समीकरण:

(1,1) पर थ्रीशोल्डा = x^3 समीकरण का लद्धांगुलि ढूंढने से मिलता है।

लद्धांगुलि ढूंढने से मिलता है कि यह -1/3 होता है।

सामान्य रेखा का समीकरण दिया जाता है y - 1 = -1/3(x - 1)।

प्रश्न:

दी गई कर्व x=1−asinθ,y=bcos2θ पर यथार्थवादी की ढाल ढूंढें,θ=π​/2 पर।

उत्तर:

1. x=1−asinθ समीकरण को θ के संबंध में पृष्ठभूमि के साथ विभाजित करें: dx/dθ = -a*cosθ

2. y=bcos2θ समीकरण को θ के संबंध में पृष्ठभूमि के साथ विभाजित करें: dy/dθ = -2b*sin2θ

3. यथार्थवादी रेखा की ढाल ढूंढें: m = -(dy/dθ)/(dx/dθ) m = -(-2bsin2θ)/(-acosθ) m = 2ab*sin2θ/cosθ

4. θ=π/2 का उपयोग करें: m = 2ab*sin(π/2)/cos(π/2) m = 2ab

प्रश्न:

x^3−x+1 कर्व पर x-निर्देशिका 2 वाले बिंदु पर तांगेंट की ढाल ढूंढें।

उत्तर:

1. तांगेंट रेखा की समीकरण खोजें:

y = 3x^2 - 1

2. तांगेंट रेखा की ढाल खोजें:

m = 6

प्रश्न:

x^2​/9+y^2​/16=1 कर्व पर ऐसे बिंदुओं को पता करें जिन पर समांतर एक्स-निर्देशिका वाली तांगेंट होती हैं (a,±b)। a+b की मान ढूंढें।

उत्तर:

दिए गए समीकरण हैं x^2​/9+y^2​/16=1

स्टेप 1: x के साथ दोनों पक्षों को व्यापक रूप से अलग करें,

2x/9 + 0 = 0

स्टेप 2: x के लिए समीकरण को हल करें,

x = 0

स्टेप 3: दिए गए समीकरण में x = 0 की जगह परिवर्तित करें,

0 + y^2/16 = 1

स्टेप 4: y के लिए समीकरण को हल करें,

y^2 = 16

स्टेप 5: दोनों पक्षों को व्यापक रूप से अलग करें,

y = ±4

स्टेप 6: y की मान दिए गए समीकरण में स्थानांतरित करें,

x^2/9 + (±4)^2/16 = 1

स्टेप 7: x के लिए समीकरण को हल करें,

x^2 = 9

स्टेप 8: दोनों पक्षों को व्यापक रूप से अलग करें,

x = ±3

ठस, सर्लंघाको बिंदु जहाँ रेखांश एक्स-अक्ष के समानांतर हुई हैं (ा,±ब) जहाँ अ = 3 और ब = 4 हैं।

इसलिए, ा + ब = 3 + 4 = 7

प्रश्न:

केवल और ह्रास के लिए सर्लंघिक वह हरे y=x^3-3x^2-9x+7 के कार्यांश पर समानांतर हैं, उसे बिंदु खोजीए।

उत्तर:

1. य = x^3-3x^2-9x+7 का अवकलज खोजें

y/dx = 3x^2 - 6x - 9

2. अवकलज को 0 के समान रखें और यथार्थ बिंदु खोजें

3x^2 - 6x - 9 = 0

3. विस्तार से जवाब खोजें

3x^2 - 6x - 9 = 0

(3x + 3)(x - 3) = 0

x = -3 और x = 3

4. अवकलज में यथार्थ बिंदुओं को प्लग करें और मैक्सिमा या मिनिमा हैं यह निर्धारण करें

y/dx = 3(-3)^2 - 6(-3) - 9 = -36

y/dx = 3(3)^2 - 6(3) - 9 = 0

चूंकि x = 3 पर अवकलज के समान हैं, इसलिए उस बिंदु पर सर्लंघ हरे x-अक्ष के समानांतर होती है।

प्रश्न:

y=(x−2)^2 कर्व पर सर्लंघ हर उस रेखा के समानांतर होती है जो बिन्दु (2,0) और (4,4) को जोड़ती है।

उत्तर:

1. 2,0 और 4,4 बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण खोजें

दो बिन्दुओं (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण दिया जाता है: y = mx + c जहाँ m = (y2-y1)/(x2-x1)

इसलिए, दो बिन्दुओं (2,0) और (4,4) को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण है: y = 2x

2. y=(x−2)^2 कर्व पर किसी बिन्दु (x,y) पर सर्लंघ हर का समीकरण खोजें

y=(x−2)^2 कर्व पर किसी बिन्दु (x,y) पर सर्लंघ हर का समीकरण दिया जाता है: dy/dx = 2(x-2)

3. रेखा के समीकरण और सर्लंघ हर के समीकरण को एक-दूसरे के समान रखें और x के लिए हल करें।

2x = 2(x-2) 2x = 2x - 4 4 = 4

इसलिए, य=(x−2)^2 कर्व पर उस बिन्दु पर सर्लंघ हर समानांतर होती है जो बिन्दु (4,4) के बराबर है।

प्रश्न:

निम्नलिखित व्युट्कर्ष में सर्लंघकें हैं (i) एक्स-अक्ष के समानांतर । (ii) वाई अक्ष के समानांतर।

उत्तर:

(i) एक्स-अक्ष के समानांतर

एक्स-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण है y = 0।

कर्व के समीकरण में यह डालने पर हमें मिलता है:

9x^2 + 16(0)^2 = 1

9x^2 = 1

x^2 = 1/9

x = ±1/3

इसलिए, एक्स-अक्ष के समानांतर होने वाले वह बिन्दु हैं (1/3, 0) और (-1/3, 0)।

(ii) वाई अक्ष के समानांतर

वाई अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण हैं x = 0।

कर्व के समीकरण में इसे डालने पर हमें मिलता है:

9(0)^2 + 16y^2 = 1

16y^2 = 1

y^2 = 1/16

y = ±1/4

इसलिए, वाई अक्ष के समानांतर होने वाले वह बिन्दु हैं (0, 1/4) और (0, -1/4)।

प्रश्न:

y=x^3 कर्व पर सर्लंघकें हैं जिनका ढाल बिन्दु के द्वारा निर्धारित य मान के बराबर होती हैं।

उत्तर:

1. सर्लंघकी रेखा के समीकरण को बिन्दु के निर्धारित य मान के बराबर रखें: m = y

2. y=x^3 कर्व के अवकलज को लें और उससे सर्लंघकी रेखा के ढाल के समीकरण को लें: m = 3x^2

3. सर्लंघकी रेखा के समीकरण और बिंदु के निर्धारित य मान के समीकरण को एक-दूसरे के समान रखें: 3x^2 = x^3

4. x के लिए हल करें: x = ±√(1/3)

प्रश्न:

उत्तर:

1. समीकरण 5y−15x=13 की इकाई की समीकरण सीमांक है. समीकरण = -15/5

2. स्पर्श रेखा की ढलान ढूंढें. स्पर्श रेखा की ढलान दी गई समीकरण की अवकलज की ढलान होती है, जो 2x-2 होता है।

3. दिए गए रेखा के लिए लपेटी हुई रेखा का समीकरण ढूंढें।

दिए गए रेखा के लिए लाइन की लंबवत लाइन की समीकरण है y = (15/5)x - 13/5।

4. तांजेंट लाइन की समीकरण ढूंढें। तांजेंट लाइन की समीकरण है y = -(2x - 2)(15/5)x + (2x - 2)(-13/5) + 7। सरलीकरण करते हुए, तांजेंट लाइन की समीकरण है y = -30x + 39/5 + 7।

प्रश्न:

दिए गए कर्व के निर्दिष्ट बिंदु पर तांजेंट और सामान्य की समीकरण ढूंढें: y=x^2 at (0,0).

उत्तर:

1. सबसे पहले, हमें (0,0) पर कर्व की सरलता ढूंढनी होगी। इसके लिए, हम y=x^2 का विभेदन ले सकते हैं, जो y’=2x है। यहां (0,0) पर x=0 होने के कारण, (0,0) पर कर्व की सरलता y’=2(0)=0 है।

2. अब, हम सरलता का उपयोग करके तांजेंट लाइन की समीकरण ढूंढ सकते हैं। सरलता की समीकरण आरण कर रूप में y=mx+b होती है, जहां m सरलता है और b y-अंतराल है। तांजेंट लाइन की सरलता का m 0 है, इसलिए तांजेंट लाइन की समीकरण y=0x+b, यानी y=b होती है। इसलिए, (0,0) पर तांजेंट लाइन की समीकरण y=0 होती है।

3. अंत में, हम सरलता का उपयोग करके सामान्य लाइन की समीकरण ढूंढ सकते हैं। सरलता की समीकरण आरण कर रूप में y=mx+b होती है, जहां m सरलता है और b y-अंतराल है। संख्यात्मक सामान्य की सरलता तांजेंट रेखा की सरलता की ऋणात्मक प्रतिशर्धक होती है, तो सामान्य रेखा की सरलता -1/0, यानी अवरोधित होती है। इसलिए, (0,0) पर सामान्य रेखा की समीकरण अवरोधित होती है।

प्रश्न:

निर्दिष्ट बिंदु पर दिए गए कर्व की तांजेंट और सामान्य की समीकरण ढूंढें: (i) y=x^4−6x^3+13x^2−10x+5 at (0,5). (ii) y=x^4−6x^3+13x^2−10x+5 at (1,3) (iii) y=x^3 at (1,1) (iv) y=x^2 at (0,0) (v) x=cost,y=sint at t=π/4

उत्तर:

(i) तांजेंट: y - 5 = 4(x - 0)(x^2 - 6x + 13) सामान्य: y - 5 = -1/4(x - 0)(3x^2 - 12x + 26)

(ii) तांजेंट: y - 3 = 4(x - 1)(x^2 - 5x + 8) सामान्य: y - 3 = -1/4(x - 1)(3x^2 - 10x + 16)

(iii) तांजेंट: y - 1 = 3(x - 1)(x^2 - 2x + 1) सामान्य: y - 1 = -1/3(x - 1)(2x^2 - 3x + 2)

(iv) तांजेंट: y - 0 = 2(x - 0)(x - 0) सामान्य: y - 0 = -1/2(x - 0)(2x - 0)

(v) तांजेंट: y - sin(π/4) = cos(π/4)(x - cos(π/4)) सामान्य: y - sin(π/4) = -1/cos(π/4)(x - cos(π/4))

प्रश्न:

दिए गए कर्व की तांजेंट की संकटन मिलती है। y=x−1​/x−2,x=2 पर x=10 को।

उत्तर:

चरण 1: x=10 पर तांजेंट रेखा की समीकरण ढूंढें।

तांजेंट लाइन की समीकरण है y = mx + b, जहां m संकटन है और b y-अंतराल है।

चरण 2: x=10 पर तांजेंट रेखा की संकटन ढूंढें।

तांजेंट रेखा की संकटन m = (f(x+h) - f(x))/h होती है, जहां f(x) कर्व की समीकरण है और h एक छोटी मान है।

मान डालने पर:

m = (f(10+h) - f(10))/h

m = ((x-1)/(x-2)|x=10+h - (x-1)/(x-2)|x=10)/h

m = ((10+h-1)/(10+h-2) - (10-1)/(10-2))/h

m = (h-1)/(h-2)

चरण 3: h = 0 को सेट करें।

m = (0-1)/(0-2)

m = -1/ -2

चरण 4: संकटन सरल करें।

m = 1/2

प्रश्न:

दिए गए कर्व की तांजेंट की संकटन मिलती है। y=3x^4−4x पर x = 4 को।

उत्तर:

1. समीकरण को y=f(x) रूप में पुनर्लेखित करें: y=3x^4−4x

2. समीकरण का विभेदन ढूंढें: f’(x)=12x^3−4

3. x=4 पर विभेदन की मान्यता कीजिए: f’(4)=12(4)^3−4=192−4=188

4. वक्र पर x=4 पर नुकते में ज्यामिति की ढल 188 है।

प्रश्न:

वक्र ay^2=x^3 के नुकते (am^2,am^3 ) पर लटकन की समीकरण ढूंढें

उत्तर:

महत्वपूर्ण संबंध: चरण 1: दिए गए बिंदु (am^2,am^3) पर वक्र की ढल की गणना करें।

तिरछी रेखा (am^2,am^3) पर की ढल = (3x^2)/(2y) = (3(am^2))/(2(am^3)) = 3/(2am)

चरण 2: दिए गए बिंदु (am^2,am^3) पर लटकन की समीकरण की गणना करें।

वक्र पर (am^2,am^3) नुकते पर लटकन की समीकरण = y-(am^3) = -(3/(2am))(x-(am^2)) = -3/(2am)x + 3am^2/2 + am^3

प्रश्न:

दिखाएं कि वक्र y=7x^3+11 के नुकतों पर x=2 और x=−2, लटकन समानांतर हैं।

उत्तर:

महत्वपूर्ण संबंध: चरण 1: वक्र y=7x^3+11 का अवकलज ढूंढें

वक्र y=7x^3+11 का अवकलज dy/dx = 21x^2

चरण 2: x = 2 और x = -2 पर लटकनों की ढल की गणना करें।

x = 2 पर लटकन की ढल dy/dx = 21(2)^2 = 84 होती है।

x = -2 पर लटकन की ढल dy/dx = 21(-2)^2 = -84 होती है।

चरण 3: x = 2 और x = -2 पर लटकनों की ढल समान होने की वजह से, लटकन समानांतर हैं।

प्रश्न:

y=x^3−3x+2 वक्र के नुकते जिनका x निर्धारित क्रमांक 3 है, पर लटकन की ढल ढूंढें।

उत्तर:

महत्वपूर्ण संबंध: चरण 1: समीकरण y=x^3−3x+2 का अवकलज ढूंढें।

y’ = 3x^2 - 3

चरण 2: समीकरण y’ = 3x^2 - 3 में x = 3 स्थान बदलें।

y’ = 3(3^2) - 3 y’ = 27 - 3 y’ = 24

चरण 3: y=x^3−3x+2 वक्र के नुकते जिनका x निर्धारित क्रमांक 3 है, पर लटकन की ढल 24 है।

प्रश्न:

y=2x^2+3sinx वक्र के x=0 पर लटकन की ढल। ए 3
ब 1/3
सी −3 डी −1/3

उत्तर:

उत्तर: डी −1/3

महत्वपूर्ण संबंध: चरण 1: प्रश्न में दिए गए वक्र की समीकरण की पहचान करें।

समीकरण की वक्र है y=2x^2+3sinx।

चरण 2: समीकरण का अवकलज ढूंढें।

समीकरण का अवकलज होता है y’=4x+3cosx।

चरण 3: x=0 पर वक्र की लटकन की ढल की गणना करें।

x=0 पर वक्र की लटकन की ढल -1/3 है।

इसलिए, उत्तर है डी −1/3।