कार्य: सत्ता और अवकलजितता अभ्यास 03
प्रश्न: ax + by^2=cosy का dy/dx ढूंढो
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: y के हरिश्रृंखला में मसलो: ax + by2 = cosy y = (ax + cosy)/b2
चरण 2: x के साथ दोनों पक्षों की भिन्न किया करो: dy/dx = (d(ax + cosy)/dx)/b2
चरण 3: बाये हाथ की ओर श्रृंखला के लिए लगाव को लागू करो: dy/dx = (a + (dcosy/dx)*(-1))/b2
चरण 4: दाएं हाथ की ओर श्रृंखला के लिए भिन्न करो: dcosy/dx = -siny
चरण 5: चरण 4 के परिणाम को चरण 3 में प्रतिस्थापित करो: dy/dx = (a - siny)/b2
प्रश्न:
y=sin^-1(1−x^2/1+x^2),0<x<1 का dy/dx ढूंढो
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: x के साथ दोनों पक्षों की भिन्न किया करो।
dy/dx = d/dx (sin^-1(1−x^2/1+x^2))
चरण 2: श्रृंखला की बाये हाथ की ओर लगाव को उपयोग करो।
dy/dx = (d/dx (1−x^2/1+x^2)) * (d/dx (sin^-1(1−x^2/1+x^2)))
चरण 3: आंशिक और नामकक को अंशों की भिन्न किया करो।
dy/dx = [(−2x(1+x^2) - (1−x^2)(2x))/(1+x^2)^2] * (d/dx (sin^-1(1−x^2/1+x^2)))
चरण 4: आपसी रेखा के विस्तार के लिए प्रतिस्थापित करो।
dy/dx = [(−2x(1+x^2) - (1−x^2)(2x))/(1+x^2)^2] * (1/(1-(1−x^2/1+x^2)^2)^(1/2))
चरण 5: अभिव्यक्ति को सरल करो।
dy/dx = [(-2x(1+x^2) - (1-x^2)(2x))/(1+x^2)^2] * [1/(1-(1-x^2/1+x^2)^2)^(1/2)]
चरण 6: अंतिम उत्तर।
dy/dx = -2x/(1+x^2)^(3/2)
प्रश्न:
sin^2x+cos^2y=1 का dy/dx ढूंढो
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: दोनों पक्षों की भिन्न लेंगे या सदन की डेरिवेटिव्ह लीजिए.
d/dx (sin2x + cos2y) = d/dx (1)
चरण 2: वाम ओर के श्रृंखला पर चेन नियम प्रयोग करें।
2*sin(2x)cos(2x) + 0cos(2y) = 0
चरण 3: समीकरण सरल करो।
2*sin(2x)*cos(2x) = 0
चरण 4: साइनक अंश को निकाले।
2sin(2x)[cos(2x)] = 0
चरण 5: डेरिवेटिव्ह के लिए निर्धारित करो।
2*sin(2x) = 0
sin(2x) = 0
2x = (2n + 1)π/2 (जहां ’n’ पूर्णांक है)
x = (n + 1/2)π (जहां ’n’ पूर्णांक है)
प्रश्न:
y=tan^-1(3x−x^3/1−3x^2),−1/√3<x<1/√3 का dy/dx ढूंढो
उत्तर:
चरण 1: y को अंकगणितीय वक्र में लिखो: y = tan^-1(3x−x^3/1−3x^2)
चरण 2: दोनों पक्षों की रूप में x का बहुवचनिक लिया करो। dy/dx = (3 - 3x^2)/(1 - 3x^2)^2 * d/dx(3x - x^3)
चरण 3: विभाजक का विभाजक का बहुवचनिक लिया करो। dy/dx = (3 - 3x^2)/(1 - 3x^2)^2 * (3 - 3x^2)
चरण 4: समीकरण को सरल करो। dy/dx = (3 - 3x^2)^2/(1 - 3x^2)^2
प्रश्न:
y=sin^-1(2x/1+x^2) का dy/dx ढूंढो
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: समीकरण को यथार्थ साइन में पुनः लिखें: y = sin^-1(2x/(1+x^2)) चरण 2: दोनों पक्षों के साथ x का बहुवचनिक भिन्न वचन करें, श्रृंखला में लगाने के नियम का उपयोग करें: dy/dx = (2/(1+x^2))(1) - (2x2x)/(1+x^2)^2 चरण 3: आंशिक की भिन्न लें: dy/dx = (2/(1+x^2))(1) - (2x2x)/(1+x^2)^2 चरण 4: समीकरण को सरल करो:
Take the derivative of y with respect to x using the chain rule.
dy/dx = -(1/sqrt(1 - (1 - x^2)/(1 + x^2))^2 * (-(2x)/(1 + x^2)))
Step 3: Simplify the expression.
dy/dx = (2x)/(sqrt((1 - x^2)/(1 + x^2)))^2
dy/dx = (2x(1 + x^2))/(1 - x^2)
विभाजन करें दोनों पक्षों को x के संबंध में
चरण 3: dy/dx = -2x/(1 + x^2)^2 * (-1)
चरण 4: dy/dx = 2x/(1 + x^2)^2
इस प्रकार, dy/dx = 2x/(1 + x^2)^2, 0 < x < 1
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