सततता और प्रतिस्थापन विविध अभ्यास
सवाल:
x के साथ दिए गए फ़ंक्शन को x के संबंध में अलग-अलग करें: sin^3x+cos^6x
जवाब:
चरण 1: x के साथ sin3x को अलग-अलग करें।
sin3x = 3sin2xcosx
चरण 2: x के साथ cos6x को अलग-अलग करें।
cos6x = -6sin6x
चरण 3: दोनों विभेदकों को जोड़ें।
3sin2xcosx - 6sin6x
सवाल:
यदि y = 12(1−cost), x = 10(t−sint), −π/2<t<π/2 है, तो dy/dx ढूंढें।
जवाब:
चरण 1: t के संबंध में y को अलग-अलग करें:
dy/dt = 12sint
चरण 2: x को 10(t−sint) से बदलकर t के संबंध में अलग-अलग करें:
dx/dt = 10
चरण 3: dy/dt को dx/dt से भाग करके dy/dx ढूंढें:
dy/dx = (12sint)/10
सवाल:
x के साथ दिए गए फ़ंक्शन को x के संबंध में अलग-अलग करें: (3x^2−9x+5)^9
जवाब:
चरण 1: समीकरण का लघु प्राप्त करें।
log[(3x^2−9x+5)^9]
चरण 2: x के संबंध में समीकरण की लघु को अलग-अलग करें।
d/dx log[(3x^2−9x+5)^9] = 9/[(3x^2−9x+5)] * (2x−9)
चरण 3: मूल समीकरण के विभेदकों को प्राप्त करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें।
d/dx (3x^2−9x+5)^9 = 9(3x^2−9x+5)^8 * (2x−9)
सवाल:
x के संबंध में दिए गए फ़ंक्शन को x के संबंध में अलग-अलग करें: cos(acosx+bsinx), कुछ निर्दिष्ट a और b के लिए।
जवाब:
चरण 1: फ़ंक्शन को अलग-अलग करने के लिए श्रृंखला नियम का प्रयोग करें।
चरण 2: cos(acosx+bsinx) को x के संबंध में अलग-अलग करें
चरण 3: आंतरिक समीकरण का विभेदक अलग करें, अर्थात् acosx+bsinx
चरण 4: श्रृंखला नियम का पुनः प्रयोग करने के लिए acosx+bsinx को x के संबंध में अलग-अलग करें
चरण 5: acosx को x के संबंध में अलग-अलग करें
चरण 6: bsinx को x के संबंध में अलग-अलग करें
चरण 7: acosx और bsinx के विभेदकों को cos(acosx+bsinx) के विभेदक के साथ गुणा करें
चरण 8: मुद्रित उत्तर प्राप्त करने के लिए टर्म को संयोजित करें
उत्तर: -a sin(acosx + bsinx) - b cos(acosx + bsinx)
सवाल:
x के साथ दिए गए फ़ंक्शन को x के संबंध में अलग-अलग करें: (5x)^3cos2x
जवाब:
चरण 1: दिए गए फ़ंक्शन को घातों की शकल में दुबारा लिखें: 5x^3cos2x
चरण 2: फ़ंक्शन को अलग-अलग करने के लिए शक्ति नियम का प्रयोग करें: 15x^2(-2sin2x)
सवाल:
x के साथ दिए गए फ़ंक्शन को x के संबंध में अलग-अलग करें: x^x+x^a+a^x+a^a , कुछ निर्धारित a>0 और x>0 के लिए।
जवाब:
चरण 1: श्रृंखला नियम लागू करें: d/dx (x^x) + d/dx (x^a) + d/dx (a^x) + d/dx (a^a)
चरण 2: प्रत्येक टर्म को अलग-अलग करें: x^x (ln(x) + 1) + x^a (ln(x)) + a^x (ln(a)) + a^a (ln(a))
सवाल:
x के साथ दिए गए फ़ंक्शन को x के संबंध में अलग-अलग करें: cot^−1[√1+sinx+√1−sinx/√1+sinx+√1−sinx], 0 < x <π/2
जवाब:
- श्रृंखला नियम का प्रयोग करने के लिए, d/dx [cot^−1[√1+sinx+√1−sinx/√1+sinx+√1−sinx]]
f’(x) = x^x^2 ln x x^2 + (x−3)^x^2 (ln (x−3)) (x^2)
ऊपरी सन्दर्भों के अनुसार, dy/dx = -1 होगा।
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