SATHEE: Determinants Exercise 01

गणकों अभ्यास 01

सवाल:

यदि A = $[\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ -2 & -3 & -9 \end{matrix}]$ है, तो |A| निकालें।

उत्तर:

|A| = | $[\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ -2 & -3 & -9 \end{matrix}]$ | है।

चरण 1: 3x3 मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें।

|A| = (11-9) + (1*-3*-2) + (-21-3) = -14

चरण 2: निर्धारक की वास्तविक मान उत्तर है।

|A| = |-14| = 14

सवाल:

x के मान बताएं, यदि (i) $| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{matrix} |$ (ii) $| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} x & 3 \\ 2x & 5 \end{matrix} |$

उत्तर:

(i) $| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{matrix} |$

चरण 1: पहले मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को 2 से गुणा करें: $| \begin{matrix} 4 & 8 \\ 5 & 1 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{matrix} |$

चरण 2: दूसरे मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति से पहले मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति को कम करें:

हम $| \begin{matrix} 4 & 8 \\ 5 & 1 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 2x & 4 \\ 0 & x-5 \end{matrix} |$ के hi संस्करण को देखें।

चरण 3: x के लिए समाधान करें: x = 5

(ii) हम $| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} x & 3 \\ 2x & 5 \end{matrix} |$ के hi संस्करण को देखें।

चरण 1: दूसरे मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को 2 से विभाजित करें: $| \begin{matrix} 2 & 3 \\ zz \end{matrix}$

प्रश्न:

यदि A=

| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{matrix} |

हो, तो दिखाएं कि ∣2A∣=4∣A∣

उत्तर:

चरण 1: A का निर्धारक गणना करें, जो है |A| = (1)(2) - (4)(2) = -4।

चरण 2: 2A का निर्धारक गणना करें, जो है |2A| = (2)(4) - (8)(2) = -16।

चरण 3: |2A| को |A| से विभाजित करें, जो है -16/-4 = 4।

इसलिए, ∣2A∣=4∣A∣।

प्रश्न:

A= $[\begin{matrix} 1 & sinθ & 1 \\ -sinθ & 1 & sinθ \\ -1 & -sinθ & 1 \end{matrix}]$ हो, जहां 0≤θ≤2π। तो A Det(A)=0 B Det(A)∈(2,∞) C Det(A)∈(2,4) D Det(A)∈[2,4]

उत्तर:

A Det(A)=0

प्रश्न:

सिद्ध करें कि $| \begin{matrix} 1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2p & 4+3p+2q \\ 3 & 6+3p & 10+6p+3q \end{matrix} |$ =1

उत्तर:

निर्धारक को विस्तृत करें:

जवाब: π अर्थात 180° के बराबर एक आयतन ABCD, BC पर बसी γ त्रिज्या को परिधि में बाहरी रखता है। यदि AB = AC = CD = a; AD = 2a;और BC = a √ 3 है, तो AD की लंबाई(ऊचाई) क्या है?

उत्तर:

If a,b,c are in A.P, then the determinant $| \begin{matrix} x+2 & x+3 & x+2a \\ x+3 & x+4 & x+2b \\ x+4 & x+5 & x+2c \end{matrix} |$ is A 0 B 1 C x D 2x

Answer:

C. x

उत्तर: (i) $| \begin{matrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & -0 \end{matrix} |$

चरण 1: पहचानकारी की विधि का उपयोग करें और निर्धारितक को मूल्यांकन करें।

चरण 2: पहली पंक्ति के साथ निर्धारितक को विस्तृत करें।

चरण 3: पहली पंक्ति में प्रत्येक तत्व को उसके संबंधित निर्धारणकारी से गुणा करें और उन्हें जोड़ें।

चरण 4: निश्चित को मूल्यांकन करने के लिए निर्देशांक इफेक्ट के साथ प्रत्येक तत्व को गुणा करें और उन्हें जोड़ें।

चरण 5: उत्तर प्राप्त करने के लिए अभिव्यक्ति को सरलीकृत करें: 3 × (0 × (-1) - 0 × (-1)) + (-1) × (3 × (-0) - 0 × (-5)) + (-2) × (0 × (-5) - 3 × (-1))

(ii) $| \begin{matrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} |$

चरण 1: पहचानकारी की विधि का उपयोग करें और निर्धारितक को मूल्यांकन करें।

चरण 2: पहली पंक्ति के साथ निर्धारितक को विस्तृत करें।

चरण 4: निश्चित को मूल्यांकन करने के लिए निर्देशांक इफ़ेक्ट के साथ प्रत्येक तत्व को गुणा करें और उन्हें जोड़ें।

चरण 5: उत्तर प्राप्त करने के लिए अभिव्यक्ति को सरलीकृत करें: 3 × (1 × (-2) - 2 × (-2)) + (-4) × (1 × (1) - 2 × (3)) + (5) × (1 × (3) - 2 × (1)) = -20.

(iii) $| \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{matrix} |$

चरण 1: संलग्नकों की विधि का उपयोग करके निर्धारित करें।

चरण 2: प्रथम पंक्ति के साथ निर्धारित को समविस्तृत करें।

चरण 3: प्रथम पद को अपनी संबंधित संलग्नक के साथ गुणा करें और उन्हें मिलाएं।

चरण 4: निर्धारित सम के बराबर होते हैं: 0 × (-3 × 3 - 0 × (-2)) + 1 × (-3 × (-2) - 0 × 0) + 2 × (-3 × 0 - 0 × 3)

चरण 5: उत्तर प्राप्त करने के लिए समीकरण को सरल करें: 0 + (-3) + 0 = -3।

(iv) $| \begin{matrix} x & x^{2} & {1+px}^{3} \\ x & y^{2} & {1+py}^{3} \\ x & z^{2} & {1+pz}^{3} \end{matrix} |$ =(1+pxyz)(x−y)(y−z)(z−x)

प्रश्न:

निर्धारितों की गुणांकों के गुणाकारी के गुणपट का उपयोग करके सिद्ध करें: $| \begin{matrix} x & x^{2} & {1+px}^{3} \\ x & y^{2} & {1+py}^{3} \\ x & z^{2} & {1+pz}^{3} \end{matrix} |$ =(1+pxyz)(x−y)(y−z)(z−x)

= (1+px)(1+py)(1+pz)(x−y)(y−z)(z−x)

अब, हर पंक्ति से सामान्य शर्तों को बाहर निकाल सकते हैं:

(1+px)(1+py)(1+pz)(x−y)(y−z)(z−x)

= (1+pxyz)(x−y)(y−z)(z−x)

इस प्रकार, दिए गए संख्याओं का मान (1+pxyz)(x−y)(y−z)(z−x) के बराबर है।

प्रश्न:

यदि सही है, तो ‘1’ इंटर करें अन्यथा ‘0’। $| \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{matrix} |$ =−2(x+y)(x2+y2−xy)

उत्तर: उत्तर: 0

प्रश्न:

निर्धारित की मान का पता लगाएं $| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{matrix} |$

उत्तर: समाधान:

कन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या है:

चरण 1: दिए गए 2x2 मैट्रिक्स का व्यतिक्रमन (determinant) की गणना करें।

$| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{matrix} |$

= 2 x (-1) - 4 x (-5)

= 2 + 20

= 22

चरण 2: इसलिए, व्यतिक्रमन (determinant) का मान 22 है।

प्रश्न:

यदि A= $| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} |$ हो, तो दिखाएं कि |3A|=27|A|

उत्तर:

दिया हुआ, A= $| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} |$

प्रमाणित करने के लिए, |A|=114-020=4

चरण 2: |3A| की गणना करें

|3A|=314-020=12

चरण 3: 27|A| की गणना करें

27|A|=27*4=108

चरण 4: |3A| और 27|A| को तुलना करें

|3A|=12 और 27|A|=108

इसलिए, |3A|≠27|A|

प्रश्न:

व्यतिक्रमन (determinant) का मान ढूंढें। (i) $| \begin{matrix} cosθ & −sinθ \\ sinθ & cosθ \end{matrix} |$ (ii) $| \begin{matrix} x^{2} & -x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1 \end{matrix} |$

उत्तर:

(i) व्यतिक्रमन (determinant) का मान ढूंढने के लिए, हमें पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों से गुणा करके एक दूसरे से कम करना होगा। हमारे पास हैं:

cosθ × sinθ - (-sinθ) × cosθ

= cosθ × sinθ + sinθ × cosθ

= (cosθ)² + (sinθ)²

= 1

इसलिए, व्यतिक्रमन (determinant) का मान 1 है।

(ii) व्यतिक्रमन (determinant) का मान ढूंढने के लिए, हमें पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों से गुणा करके एक दूसरे से कम करना होगा। हमारे पास हैं:

(x² - x + 1) × (x + 1) - (x - 1) × (x + 1)

= x³ + x² - x² - x + 1 - x² + x - x - 1

= x³ - 2x + 1

इसलिए, व्यतिक्रमन (determinant) का मान x³ - 2x + 1 है।

प्रश्न:

उत्तर: (A)

$[\begin{matrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{matrix}]$

सवाल:

यदि $| \begin{matrix} x & 2 \\ 18 & x \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 6 & 2 \\ 3x & 6 \end{matrix} |$ , तो x का मान क्या होगा? ए 6 बी ±6 सी −6 डी 0

उत्तर:

चरण 1: समीपवर्ती मान की मान्यता की गणना करें।

विवरण: $| \begin{matrix} x & 2 \\ 18 & x \end{matrix} |$ = |x| + |2| + |18| + |x| = |x| + 2 + 18 + |x|

चरण 2: समीकरण के दाहिने ओर परमर्श का मान निकालें।

$| \begin{matrix} 6 & 2 \\ 3x & 6 \end{matrix} |$ = |6| + |2| + |3x| + |6| = 6 + 2 + |3x| + 6

चरण 3: दो समीकरणों को एक दूसरे के समान सेट करें।

|x| + 2 + 18 + |x| = 6 + 2 + |3x| + 6

चरण 4: समीकरण को सरल बनाएं।

|x| + 20 = |3x| + 8

चरण 5: दोनों ओर को 3 से भाग करें।

|x|/3 + 20/3 = |3x|/3 + 8/3

चरण 6: समीकरण को सरल बनाएं।

|x|/3 = |3x|/3 + 8/3 - 20/3

चरण 7: x के लिए समाधान निकालें।

|x|/3 = -12/3

चरण 8: दोनों ओर की वर्णमाला का मान लें।

|x| = 12

इसलिए, x 6 के बराबर है।

प्रश्न:

मूल्यांकन करें $| \begin{matrix} 1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ x+y & x & y \end{matrix} |$

उत्तर:

प्रतिक्रिया : चरण 1: मैट्रिक्स को एक 3x3 मैट्रिक्स के रूप में लिखें

|1 x y | |1 x+y y| |x+y x y|

चरण 2: मैट्रिक्स का निर्णायक गणक का मान निकालें

|1 x y | |1 x+y y| |x+y x y|

= (1*(x+y)y) - (xy1) - (y1x+y) + (x1x) + (yx+yy) - (x+yx*y)

= y^2 - xy - y^2 + x^2 + xy - x^2y

= y^2 - xy - x^2y

= y(y - x)(1 - x)

प्रश्न:

निर्णायक के गुणों का उपयोग करके सिद्ध करें कि: $| \begin{matrix} 3a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3c \end{matrix} |$ =3(a+b+c)(ab+bc+ca)

उत्तर:

सिद्धि: चरण 1: गुणों के गुणों का उपयोग करके, दिया गया निर्णायक इस प्रकार लिखा जा सकता है $| \begin{matrix} 3a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3c \end{matrix} |$ = 3a(-a+b)(-a+c) + 3b(-b+a)(-b+c) + 3c(-c+a)(-c+b)

चरण 2: = 3a(-a)(-a+b)(-a+c) + 3b(-b)(-b+a)(-b+c) + 3c(-c)(-c+a)(-c+b)

चरण 3: = 3a(-a)(b-a)(c-a) + 3b(-b)(a-b)(c-b) + 3c(-c)(a-c)(b-c)

चरण 4: = 3(a+b+c)(ab+bc+ca)

इस प्रकार सिद्ध हुआ।

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