गणक व्यक्तियों अभ्यास 02
सवाल:
निर्धारकों की गुणता के गुणों की संपत्ति का उपयोग करके, निम्न निर्धारक के मान का पता लगाएं:
उत्तर:
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निर्धारकों की गुणता के गुणों की संपत्ति के गुणों का उपयोग करके, हम दिया गया निर्धारक निम्न प्रकार से लिख सकते हैं:
-
अब, हम निर्धारकों की गुणता के गुणों की संपत्ति के गुणों का उपयोग करके, निर्धारक के मूल्य की गणना कर सकते हैं:
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इसलिए, दिए गए निर्धारक का मान है .
सवाल:
निर्धारकों के गुणन और विस्तार के बिना, सिद्ध करें कि
उत्तर:
-
निर्धारकों के गुणन की गुणांक संपत्ति का उपयोग करके, हम दिए गए मैट्रिक्स के निर्धारक को उनकी संबंधित cofactor से गुणित किए गए पदों के उद्घाटन या स्तंभ की गणना के रूप में व्यक्त कर सकते हैं.
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इस प्रकार, हम दिए गए मैट्रिक्स का निर्धारक इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
(i) डिटर्मिनेंट की गुणकरता की गुणक्रमणि का प्रयोग करते हुए, हम दिया गया डिटर्मिनेंट लिख सकते हैं: =(a−b)(b−c)(c−a)
(ii) Using the properties of determinants, we can write the given determinant as: =(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)
प्रश्न: द्विघात संरचनाओं के गुणों का उपयोग करके दिखाएँ कि: (i) = (ii) =
उत्तर:
(i) द्विघात संरचनाओं के गुणों का उपयोग करके हम लिख सकते हैं:
|a-b-c 2a 2a| |2b b-c-a 2b| |2c 2c c-a-b|
= (a-b-c)(b-c-a)(c-a-b) + 2(2a)(2b)(2c)
= (a-b-c)(b-c-a)(c-a-b) + 8abc
= (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) + 8abc
= (a+b+c)^2
इसलिए, |a-b-c 2a 2a| |2b b-c-a 2b| |2c 2c c-a-b| = (a+b+c)^2
(ii) द्विघात संरचनाओं के गुणों का उपयोग करके हम लिख सकते हैं:
|x+y+2z x y| |z y+z+2x y| |z x z+x+2y|
= (x+y+2z)(y+z+2x)(z+x+2y) + 2(x)(y)(z)
= (x+y+2z)(y+z+2x)(z+x+2y) + 2xyz
= (x+y+z)^3 + 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 2xyz
= (x+y+z)^3
इसलिए, |x+y+2z x y| |z y+z+2x y| |z x z+x+2y| = (x+y+z)^3
सवाल:
= (y + k) *
= (y + k) * (y) *
= (y + k) * (y) * (y + k - y)
= (y + k) * (y) * (2k)
= (k2)(3y + k)
- k) ×
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