प्रश्न:

बिना डिटर्मिनेंट विस्तार किए, साबित करें कि $\left|\begin{array}{cc}\mathrm{a}& a^2\mathrm{bc}\\ \mathrm{b}& b^2\mathrm{ca}\\ \mathrm{c}& c^2\mathrm{ab}\end{array}\right|$ =$\left|\begin{array}{cc}1& a^2{a}^3\\ 1& b^2{b}^3\\ 1& c^2{c}^3\end{array}\right|$

उत्तर:

समाधान:

हम इस कथन को सिद्ध करने के लिए लैपलेस विस्तार के सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं। इस सिद्धांत के अनुसार, एक मैट्रिक्स का डिटर्मिनेंट किसी भी पंक्ति या स्तंभ और उसके संबंधित को-फेक्टर के तत्वों के गुणांक के योग के बराबर होता है।

इसलिए, हम दिए गए मैट्रिक्स की पहली पंक्ति और उसके संबंधित को-फेक्टर का उपयोग करके डिटर्मिनेंट को विस्तार कर सकते हैं।

$\left|\begin{array}{cc}\mathrm{a}& a^2\mathrm{bc}\\ \mathrm{b}& b^2\mathrm{ca}\\ \mathrm{c}& c^2\mathrm{ab}\end{array}\right|$

= a$\left|\begin{array}{cc}1& a^2\mathrm{bc}\\ \mathrm{b}& b^2\mathrm{ca}\\ \mathrm{c}& c^2\mathrm{ab}\end{array}\right|$

• b$\left|\begin{array}{cc}\mathrm{a}& a^{2}1\\ \mathrm{b}& b^2\mathrm{ca}\\ \mathrm{c}& c^2\mathrm{ab}\end{array}\right|$
• c$\left|\begin{array}{cc}\mathrm{a}& a^2\mathrm{bc}\\ \mathrm{b}& b^{2}1\\ \mathrm{c}& c^2\mathrm{ab}\end{array}\right|$

चरण 1: A का adjugate की गणना करें

adj A = $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 2& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right|$

चरण 2: A का प्रतिलोम प्राप्त करें

A^-1 = $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 2& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right|$

चरण 3: सत्यापित करें कि (i) adj A^-1 = adj (A^-1)

adj A^-1 = $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 2& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right|$

adj (A^-1) = $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 2& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right|$

क्योंकि adj A^-1 = adj (A^-1), पहला अंश सत्य है।

चरण 4: सत्यापित करें कि (ii) (A^-1)^-1 = A

विशिष्टता के गुणों का उपयोग करके, सिद्ध करें कि: $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{अल्फा}& {\mathrm{अल्फा}}^2& \mathrm{\beta \; +\; \gamma }\\ \mathrm{बीटा}& {\mathrm{बीटा}}^2& \mathrm{गामा\; +\; अल्फा}\\ \mathrm{गामा}& {\mathrm{गामा\; </नि>\; <mn>\; 2\; </mn>}}^{}& \mathrm{अल्फा\; +\; बीटा}\end{array}\right|$ = (अल्फा - बीटा) (बीटा - गामा) (गामा - अल्फा) (अल्फा + बीटा + गामा)

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ -1& 3& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]$

Step 3: Find AB

AB = A × B

AB =

$\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ -15& 6& -5\\ 5& -2& 2\end{array}\right]$ × $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ -1& 3& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]$

Step 4: Find (AB)^-1

(AB)^-1 =

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

मूल्यांकन करें $\left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{एक्स}& \mathrm{वाई}\\ 1& \mathrm{एक्स+वाई}& \mathrm{वाई}\\ 1& \mathrm{एक्स}& \mathrm{एक्स+वाई}\end{array}\right]$

उत्तर:

चरण 1: दिया गया अभिव्यक्ति एक 3x3 मैट्रिक्स है।

चरण 2: मैट्रिक्स के तत्व हैं 1, एक्स, वाई, एक्स+वाई, वाई और एक्स+वाई।

चरण 3: दिए गए अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करने के लिए, हमें मैट्रिक्स के समयोजक की गणना करनी होगी।

चरण 4: मैट्रिक्स का समयोजक लपलेस प्रसार का उपयोग करके हिसाब लगाया जाता है।

चरण 5: मैट्रिक्स का समयोजक निम्नलिखित रूप में गणित होता है:

$\left|\begin{array}{ccc}1& \mathrm{एक्स}& \mathrm{वाई}\\ 1& \mathrm{एक्स+वाई}& \mathrm{वाई}\\ 1& \mathrm{एक्स}& \mathrm{एक्स+वाई}\end{array}\right|=1-1\times \mathrm{एक्स}\times \mathrm{वाई}-1\times \mathrm{एक्स}\times \mathrm{वाई}-1\times \mathrm{एक्स}\times \mathrm{एक्स+वाई}=\mathrm{एक्स}\times \mathrm{वाई}-\mathrm{एक्स}\times \mathrm{वाई}-\mathrm{एक्स}\times \mathrm{एक्स+वाई}$

चरण 6: अतः, अंतिम उत्तर है $\mathrm{एक्स}\times \mathrm{वाई}-\mathrm{एक्स}\times \mathrm{वाई}-\mathrm{एक्स}\times \mathrm{एक्स+वाई}$।

काेषपंक्ति के निर्धारक $\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{॥}& \mathrm{sin\theta }& \mathrm{cos\theta }\\ \mathrm{-sin\theta }& \mathrm{-॥}& 1\\ \mathrm{cos\theta }& 1& \mathrm{॥}\end{array}\right]$ थीटा के निर्भर नहीं होता है।

जवाब:

1. पहली पंक्ति के आधार पर लेपलेस विस्तार का प्रयोग करके काेषपंक्ति का विस्तार करें: $\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{॥}& \mathrm{sin\theta }& \mathrm{cos\theta }\\ \mathrm{-sin\theta }& \mathrm{-॥}& 1\\ \mathrm{cos\theta }& 1& \mathrm{॥}\end{array}\right]$ = ॥$\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{cos\theta }& 1& \mathrm{॥}\\ \mathrm{-sin\theta }& \mathrm{-॥}& 1\\ \mathrm{cos\theta }& 1& \mathrm{॥}\end{array}\right]$ - sin॥