हमें दिये गए सभी प्रश्नों की उत्तर देते हैं:

प्रश्न:

क्रमश: x + 3/x^2 - 2x - 5 को प्रमाणीय के रूप में पुनर्लेखित करें: x + 3/x^2 - 2x - 5 = (1/x^2 - 2)dx

उत्तर:

1. दोनों पक्षों को समांतर करें: ∫(1/x^2 - 2)dx = ∫(x + 3/x^2 - 2x - 5)dx

2. में ईशान्त के वाम से समाधान करें: -1/x + 2x = ∫(1/x^2 - 2)dx

3. दिए गए समीकरण के दायीं तरफ के समाधान करें: -1/x + 2x = ∫(x + 3/x^2 - 2x - 5)dx

4. दो समीकरणों को मिला दें: ∫(1/x^2 - 2)dx = ∫(x + 3/x^2 - 2x - 5)dx = -1/x + 2x

प्रश्न:

∫xdx​/(x−1)(x−2) क्या है log∣​(x−1)^2​/x−2∣+C log∣(x−2)^2​/x−1∣​+C log∣​(x−1​/x−2)^2∣+C log∣(x−1)(x−2)∣+C

उत्तर:

उत्तर:

∫xdx/(x−1)(x−2) = ∫xdx/(x-1) - ∫xdx/(x-2)

= ∫xdx/(x-1) - ∫(x-1)dx/(x-2)

= log|x-1| - log|x-2| + C

= log|(x-1)/(x-2)| + C

= log|(x-1)(x-2)| + C

प्रश्न:

गणितीय फ़ंक्शन 2x/x^2+3x+2 का यथासंभव निकालें

उत्तर:

चरण 1: गणितीय फ़ंक्शन को (2x)/(x^2 + 3x + 2) के रूप में पुनर्लेखित करें

चरण 2: गणितीय फ़ंक्शन के नामक का फैक्टर करें (x + 2)(x + 1)

चरण 3: गणितीय फ़ंक्शन को (2x)/((x + 2)(x + 1)) के रूप में पुनर्लेखित करें

चरण 4: गणितीय फ़ंक्शन के समाधान के लिए गणितीय फ़ंक्शन के समापेक्ष सूत्र का उपयोग करें: ∫(2x)/((x + 2)(x + 1))dx = (1/2)ln|x + 2| - (1/2)ln|x + 1| + C

प्रश्न:

फ़ंक्शन x+2/√4x−x^2 को यथासंभव पुनर्लेखित करें

उत्तर:

चरण 1: स्टैंडर्ड रूप में फ़ंक्शन को पुनर्लेखित करें और योग्य कन्जुगेट × के द्वारा (निर्माता) गणक का गुणन करें

x + 2/√4x - x^2 = (x + 2)(√4x + x^2)/(4x - x^4)

चरण 2: एक एक रूप के गणक के लिए एक रूप का उपयोग करें

∫(x + 2)(√4x + x^2)/(4x - x^4) dx = (1/2)∫(√4x + x^2)dx - (1/4)∫(x^2 + 2x)dx

चरण 3: गणना के लिए पावर सूत्र का उपयोग करें

(1/2)∫(√4x + x^2)dx = (1/2)((2/3)x^(3/2) + (1/3)x^(3/2)) + C

(1/4)∫(x^2 + 2x)dx = (1/4)(x^3 + x^2) + C

चरण 4: दो समीकरणों को मिला दें

∫(x + 2)(√4x + x^2)/(4x - x^4) dx = (1/2)((2/3)x^(3/2) + (1/3)x^(3/2)) + (1/4)(x^3 + x^2) + C

प्रश्न:

3x−1/(x−1)(x−2)(x−3) को यथासंभव पूंजीगत फ़ंक्शन के रूप में निकालिए

उत्तर:

1. गणितीय फ़ंक्शन के नामक और नियमक को गणक के कंजगेट मार्फी से गुणन करें:

(3x−1)(x−2)(x+3)/(x−1)²(x−2)(x−3)

2. गणितीय फ़ंक्शन के नियमक और नामक को विस्तार करें:

3x³-7x²+13x-3/ (x²-4x+3)(x−1)(x−2)(x−3)

3. फ्रैक्शन को आंशिक फ्रैक्शन में विभाजित करें:

A/x-1 + B/x-2 + C/x-3 + (3x²-7x+13)/(x²-4x+3)

4. निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग करके A, B और C के मान खोजें:

A(x²-4x+3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2) = 3x²-7x+13

A(x²-4x+3) = 3x²-7x+13

A = 1

B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2) = 0

B(x-1)(x-3) = 0

B = 0

C(x-1)(x-2) = 0

C = 0

5. आंशिक फ्रैक्शन में A, B और C के मान का उपयोग करें:

A/x-1 + B/x-2 + C/x-3 + (3x²-7x+13)/(x²-4x+3)

1/x-1 + 0/x-2 + 0/x-3 + (3x²-7x+13)/(x²-4x+3)

6. प्रत्येक शब्द का समाधान करें:

∫1/x-1 dx = ln|x-1| + C

∫0/x-2 dx = 0 + C

∫0/x-3 dx = 0 + C

∫(3x²-7x+13)/(x²-4x+3) dx = (1/2)ln|x²-4x+3| + C

7. शब्दों को मिला दें:

ln|x-1| + 0 + 0 + (1/2)ln|x²-4x+3| + C

ऊ - अगर x2 + 1 = u है तो तब du = 2x dx और v = x(logx - 1) है।

ऊ - इनको हम इंटीग्रेट करते हैं:

∫(x2 + 1)logx dx = (x2 + 1)(logx - 1) - 2∫x(logx - 1) dx

ऊ - अब हम दूसरा इंटीग्रेटल समाधान करेंगे:

∫x(logx - 1) dx = ∫xlogx dx - ∫xdx

ऊ - xlogx dx के लिए, हम फिर से इंटीग्रेट बाइ पार्ट्स के साथ उपयोग करेंगे:

∫xlogx dx = x(logx - 1) - ∫(logx - 1) dx

ऊ - आखिरकार, हम प्राप्त होने वाले परिणाम को सम्मिलित करते हैं:

∫(x2 + 1)logx dx = (x2 + 1)(logx - 1) - 2(x(logx - 1) - x - xlogx + x) + C

ऊ - अंतिम उत्तर:

∫(x2 + 1)logx dx = (x2 + 1)(logx - 1) - 2(x(logx - 1) - x - xlogx + x) + C

स्टेप 3: du और v की गणना करें: du = 2x dx और v = x logx - x

स्टेप 4: सूत्र में मानों को दर्ज करें: ∫(x2+1)logx dx = (x2+1)(x logx - x) - ∫(2x)(x logx - x)dx

स्टेप 5: समीकरण का दूसरा हिस्सा तालिका करें: ∫(x2+1)logx dx = (x2+1)(x logx - x) - (2x2x logx - x2 - 2∫x logx dx)

स्टेप 6: समीकरण का तीसरा हिस्सा तालिका करें: ∫(x2+1)logx dx = (x2+1)(x logx - x) - (2x2x logx - x2 - 2(x logx2 - 2logx + C))

स्टेप 7: समीकरण को सरल रूप में लाएं: ∫(x2+1)logx dx = x2+1)(x logx - x) - 2x2x logx + 2x2 + 2x logx2 - 4logx + C

प्रश्न:

5x+3/√x^2+4x+10 का फलन्निश्चय करें

उत्तर:

1. भिन्न को एक ही भिन्न के रूप में पुनः लिखें: (5x + 3)(√x^2 + 10)/(√x^2 + 4x + 10)

2. भिन्न के मूल्य और नामक को भिन्न के युग्मन के साथ गुणा करें: (5x + 3)(x + 5)/x^2 + 10

3. भिन्न को भिन्न के रूप में पुनः लिखें: (5x^2 + 15x + 15)/x^2 + 10

4. स्थानांतरण u = x^2 + 10 का उपयोग करें: (5u - 5x + 15)/u

5. फलनिश्चय को गणना करें: (5/2)u^2/2 - (5/2)xu + 15u + C

प्रश्न:

फलनिश्चय करें √x^2+4x+1 की

उत्तर:

1. फ़ंक्शन को (x+2)^2 के रूप में पुन: लिखें: (x+2)^2

2. पूर्ण वर्ग के तत्व के अन्तरिक्ष के लिए पूर्ण स्वरूप का उपयोग करें: ∫(x+2)^2 dx = (1/3)(x+2)^3 + C

3. उत्तर को सरल रूप में लाएं: (1/3)(x+2)^3 + C

प्रश्न:

∫ dx​/x^2+2x+2 का बराबर है A xtan^−1(x+1)+C B tan^−1(x+1)+C C (x+1)tan^−1x+C D tan^−1x+C

उत्तर:

उत्तर: B tan^−1(x+1)+C

प्रश्न:

फलनिश्चय करें sec^2(7−4x) की

उत्तर:

1. sec^2(7−4x) का फलनिश्चय करें

2. उपयोग करें sec^2(u) जहां u = 7−4x

3. गणना करें 1/cos^2(u) du

4. गणना करें 1/cos(u) du

5. v = cos(u) मान का उपयोग करें

6. गणना करें 1/v dv

7. ∫ 1/v dv = ln|v| + C

8. ∫ 1/cos(u) du = ln|cos(u)| + C

9. ∫ sec^2(u) du = ln|cos(u)| + C

10. ∫ sec^2(7−4x) du = ln|cos(7−4x)| + C

प्रश्न:

फलनिश्चय करें xlogx की

उत्तर:

1. फंक्शन को log(x^x) के रूप में पुनः लिखें
2. भाग के लिए एकत्रीकरण के तकनीक का प्रयोग करें:

हम u = log(x^x) और dv = dx के रूप में ले सकते हैं

तब du = (xlnx + 1)dx और v = x

दोनों पक्षों के बीच को एकत्र करने के लिए, हमें मिलता है:

∫u dv = uv - ∫v du

3. u, dv, v और du के मानों को स्थानांतरित करें:

∫log(x^x)dx = xlog(x^x) - ∫x(xlnx + 1)dx

4. दाहिनी भाग को गणित करें:

∫log(x^x)dx = xlog(x^x) - (x^2lnx + x^2)/2 + C

5. परिणाम को सरल रूप में लायें:

∫log(x^x)dx = (x^2lnx + x^2 - 2xlog(x^x))/2 + C

प्रश्न:

फलनिश्चय करें 1/cos^2x(1−tanx)^2 की

उत्तर:

1. (1/cos^2x) की फलनी करें = sinx/cosx

2. (1−tanx)^2 की फलनी करें = (1−tanx)(1−tanx) = 1−2tanx+tan^2x

3. दोनों फलनियों को गुणा करें = sinx/cosx - 2sinx/cosx + sinx/cosx tan^2x = sinx/cosx (1 - tan^2x)

4. (1 - tan^2x) की फलनी करें = x - tanx

5. दोनों फलनियों को स्थानांतरित करें = (sinx/cosx)(x - tanx) = sinx - sinxtanx

प्रश्न:

फलनिश्चय करें √sin2xcos2x की

उत्तर:

उत्तर: स्टेप 1: फ़ंक्शन को sin^2xcos^2x के रूप में पुनः लिखें स्टेप 2: सूत्र का उपयोग करें ∫sin^2xcos^2xdx = (1/2)∫(1-cos2x)dx स्टेप 3: (1-cos2x) को उपयोग करके गणित करें ∫(1-cos2x)dx = x - (1/2)sin2x स्टेप 4: स्थानांतरण के माध्यम से आरंभिक समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करें स्टेप 5: अंतिम उत्तर: (1/2)x - (1/4)sin2x

सवाल:

फ़ंक्शन e^x(1/x−1/x^2) का समाकलन करें।

उत्तर:

चरण 1: समाकलन के लिए शक्ति नियम लागू करें।

e^x(1/x - 1/x^2)dx = e^x(ln|x| - 1/x) + C

सवाल:

∫dx/√9x−4x^2 के बराबर है A 1​/9sin^−1(9x−8/8​)+C B 1​/2sin^−1(8x−9/9​)+C C 1​/3sin^−1(9x−8/8​)+C D 1​/2sin^−1(9x−8/9​)+C

उत्तर:

उत्तर: C

चरण 1: इंटिग्रेल को ∫dx/√(9x - 4x²) के रूप में पुनःलेखित करें।

चरण 2: परिपूर्ण वर्ग को पूरा करने के लिए ∫dx/√(9x - 4x²) = ∫dx/√(9(x - 8/9))

चरण 3: उपस्थिति u = 9x - 8 को प्रयोग करके ∫dx/√(9x - 4x²) = 1/9∫du/√u

चरण 4: इंटिग्रेल की जगह उपयोग करें और ∫dx/√(9x - 4x²) = 1/9∫du/√u = 1/9sin^−1(u/9)+C

चरण 5: उपयोग करें u = 9x - 8 और ∫dx/√(9x - 4x²) = 1/9sin^−1(9x - 8/9)+C

इसलिए, उत्तर C है।

सवाल:

फ़ंक्शन 1/√7−6x−x^2 का समाघान करें।

उत्तर:

1. साधारित रूप में फ़ंक्शन को पुन:लेखित करें: f(x) = 1/√7 - 6x - x^2

2. x के साथ समाघान करें: ∫f(x)dx = ∫(1/√7 - 6x - x^2)dx

3. शक्ति नियम का उपयोग करें: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1)

4. शक्ति नियम का उपयोग करें: ∫(1/√7 - 6x - x^2)dx = (1/√7x - 3x^2 - x^3/3) + C

5. उत्तर है: (1/√7x - 3x^2 - x^3/3) + C

सवाल:

फ़ंक्शन 1/√(2−x)^2+1 का समाकलन करें।

उत्तर:

उत्तर: चरण 1: फ़ंक्शन को 1/[(√2 - x)(√2 + x)] + 1 के रूप में पुन:लेखित करें।

चरण 2: नामकारक को एक पूर्ण वर्ग के रूप में पुनर्लेखित करें, (√2 - x)^2 + (√2 + x)^2

चरण 3: फ़ंक्शन को 1/[(√2 - x)^2 + (√2 + x)^2] + 1 के रूप में पुन:लेखित करें।

चरण 4: फ़ंक्शन का समाकलन लें, ∫1/[(√2 - x)^2 + (√2 + x)^2] + 1dx

चरण 5: उपस्थिति u = √2 - x और du = -dx का उपयोग करें

चरण 6: u और du को इंटीग्रल में उपयोग करें और हल करें, -1/2 ∫(1/u^2 + 1)du

चरण 7: फ़ंक्शन का समाकलन करें, -1/2(u^-1 + u) + C

चरण 8: x में स्थान लें और हल करें, -1/2(√2 - x)^-1 + (√2 - x) + C

सवाल:

द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का एक विरोधी आंशिकांक (या समाकलित) खोजें। sin2x−4e^3x

उत्तर:

उत्तर:

1. प्रदत्त फ़ंक्शन को योग और अंतर नियम का उपयोग करके पुनःलेखित करें: sin2x−4e^3x = 2sinxcosx−4e^3x
2. दोनों शर्तों को एकत्र करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करें: 2sinxcosx−4e^3x = 2sinx(cosx−2e^3x)
3. दोनों शर्तों को अलग-अलग समाकलित करें: ∫2sinxcosxdx−2∫e^3xdx
4. पहली शर्त को समाकलित करने के लिए इंटीग्रेशन द्वारा पक्ष का उपयोग करें: 2∫sinxcosxdx = sin2x−2∫sinxsinxdx
5. दूसरी शर्त को समाकलित करने के लिए प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करें: 2∫e^3xdx = 2e^3x
6. दोनों शर्तों को एकत्र करें और आंशिकांक प्राप्त करें: sin2x−2∫sinxsinxdx−2e^3x

सवाल:

फ़ंक्शन sin(ax+b)cos(ax+b) का समाघान करें।

उत्तर:

1. सूत्र ∫sin(u)cos(v)dv = 1/2(sin(u+v) - sin(u-v)) का उपयोग करें।

2. u = ax + b और v = ax + b को प्रतिस्थापित करें:

∫sin(ax+b)cos(ax+b)dv = 1/2(sin(2ax + 2b) - sin(0))

3. सरलीकरण करें:

∫sin(ax+b)cos(ax+b)dv = 1/2(sin(2ax + 2b))

सवाल:

∫(sin^2−cos^2x​/sin^2xcos^2x)dx के बराबर है A tanx+cotx+C B tanx+cosecx+C C −tanx+cotx+C D tanx+secx+C

उत्तर:

उत्तर: C

चरणबद्ध समाधान:

चरण 1: दिए गए समाकलन को इस प्रकार दोहराएं

∫(sin^2x - cos^2x)/(sin^2xcos^2x)dx

चरण 2: ट्रिगनोमेट्रिक आदर्श सिन2x = 2sinxcosx का उपयोग करके समाकलन को इस प्रकार दोबारा लिखें

1. Rewrite the function as sqrt(1 - 4x - x^2)dx
2. Factor the quadratic expression as (x - 2)(x + 1)
3. Rewrite the function as sqrt(1 - (x - 2)(x + 1))dx
4. Use the substitution u = x - 2
5. Rewrite the function as sqrt(1 - u^2)du
6. Use the trigonometric identity sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1
7. Rewrite the function as sqrt(1 - sin^2(theta))du
8. Use the substitution u = sin(theta)
9. Rewrite the function as sqrt(1 - u^2)du
10. Integrate sqrt(1 - u^2)du to get the integral as (1/2)(u sqrt(1 - u^2) + sin^(-1)(u)) + C
11. Substitute back u = sin(theta) to get the final integral as (1/2)(sin(theta) sqrt(1 - sin^2(theta)) + sin^(-1)(sin(theta))) + C
12. Simplify the expression to get the final result of (1/2)(sin(theta) sqrt(cos^2(theta)) + theta) + C
13. Substitute back theta = sin^(-1)(x - 2) to get the final integral as (1/2)((x - 2) sqrt(1 - (x - 2)^2) + sin^(-1)(x - 2)) + C

आपके पास इन वाक्यों का एक ही अंश दिया गया है, इसलिए मैं इसे हिंदी में अनुवाद नहीं कर सकता।

/(1 + x) (1 + x)

Step 3: Simplify the expression: (x + 1)e^x/(1 + x)^2

Step 4: Integrate the simplified expression:

∫(x + 1)e^x/(1 + x)^2 dx = ∫(x + 1)/(1 + x)^2 * e^x dx

Step 5: Use the substitution u = 1 + x

Step 6: Rewrite the integral using the new variable u:

∫(u - 1)/u^2 * e^(u - 1) du

Step 7: Simplify the expression:

∫(u - 1)/u^2 * e^(u - 1) du = ∫(1 - 1/u)/u * e^(u - 1) du

Step 8: Split the integral into two separate integrals:

∫(1/u * e^(u - 1)) du - ∫(1/u^2 * e^(u - 1)) du

Step 9: Integrate both integrals separately:

∫(1/u * e^(u - 1)) du = ln|u| + C1

∫(1/u^2 * e^(u - 1)) du = -1/u * e^(u - 1) + C2

Step 10: Combine the results:

∫(x + 1)e^x/(1 + x)^2 dx = ln|1 + x| - 1/(1 + x)e^(1 + x) + C3

Hence, the integral of the function xe^x/(1+x)^2 is ln|1 + x| - 1/(1 + x)e^(1 + x) + C3.

1. ∫cosx/(1+cosx)dx

2. Let u = 1+cosx, du = -sinx dx

3. Rewrite the integral as ∫(cosx/du) du

4. Integrate using substitution: ∫(cosx/du) du = ∫-du = -u

5. Substitute back the value of u: -u = -(1+cosx)

6. Final answer: -1-cosx + C, where C is the constant of integration

7. निम्नलिखित समकालिक को पुनर्व्यवस्थित करें: (1+लोगx)^2/x

२. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)२/x = (१+ल्नx)२/x * (१/१+ल्नx)

३. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)३/१+ल्नx

४. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)३/१+ल्नx = (१+ल्नx)३/१+ल्नx * (१/(३*(१+ल्नx)२))

५. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)३/(३*(१+ल्नx)२)

६. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)३/(३*(१+ल्नx)२) = (१+ल्नx)३/(३*(१+ल्नx)२) * (१/(३*(१+ल्नx)))

७. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)४/(९*(१+ल्नx)३)

८. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)४/(९*(१+ल्नx)३) = (१+ल्नx)४/(९*(१+ल्नx)३) * (१/(४*(१+ल्नx)२))

९. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)५/(३६*(१+ल्नx)४)

१०. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)५/(३६*(१+ल्नx)४) = (१+ल्नx)५/(३६*(१+ल्नx)४) * (१/(५*(१+ल्नx)३))

११. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)६/(२१६*(१+ल्नx)५)

१२. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)६/(२१६*(१+ल्नx)५) = (१+ल्नx)६/(२१६*(१+ल्नx)५) * (१/(६*(१+ल्नx)४))

१३. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)७/(१२९६*(१+ल्नx)६)

१४. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)७/(१२९६*(१+ल्नx)६) = (१+ल्नx)७/(१२९६*(१+ल्नx)६) * (१/(७*(१+ल्नx)५))

१५. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)८/(७७७६*(१+ल्नx)७)

१६. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)८/(७७७६*(१+ल्नx)७) = (१+ल्नx)८/(७७७६*(१+ल्नx)७) * (१/(८*(१+ल्नx)६))

१७. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)९/(४६६५६*(१+ल्नx)८)

१८. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)९/(४६६५६*(१+ल्नx)८) = (१+ल्नx)९/(४६६५६*(१+ल्नx)८) * (१/(९*(१+ल्नx)७))

१९. फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्लेखित करें: (१+ल्नx)१०/(२७९९३६*(१+ल्नx)९)

२०. (१+ल्नx) का गुणांक लागू करें जोड़ें: (१+ल्नx)१०/(२७९९३६*(१+ल्नx)९) = (१+ल्नx)१०/(२७९९३६*(१+ल्नx)९) * (१/(१०*(१+ल्नx)८))

२१. अंतिम उत्तर है: (१+ल्नx)११/(२७९९३६०*(१+ल्नx)१०)

१. फ़ंक्शन को उम्मीदवार xर्कटन(x) के रूप में पुनर्लेखित करें २. xर्कटन(x) को x के संबंध में इंटीग्रेट करें ३. ∫xर्कटन(x)dx = xर्कटन(x) - ∫1/(1+x^2)dx ४. ∫1/(1+x^2)dx = ∫1/u du (जहाँ u = 1+x^2) ५. ∫1/u du = ln|u| + सी ६. ∫xर्कटन(x)dx = xर्कटन(x) - ln|1+x^2| + सी

प्रश्न:

फ़ंक्शन tan^−1x का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

१. फ़ंक्शन को arctan(x) के रूप में पुनर्लेखित करें २. arctan(x) को x के संबंध में इंटीग्रेट करें ३. ∫arctan(x)dx = xarctan(x) - ∫1/(1+x^2)dx ४. ∫1/(1+x^2)dx = ∫1/u du (जहाँ u = 1+x^2) ५. ∫1/u du = ln|u| + सी ६. ∫arctan(x)dx = xarctan(x) - ln|1+x^2| + सी

प्रश्न:

फ़ंक्शन xcos^−1x/√1−x^2 का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

१. आपको u = cos^−1x लेना है २. du = -1/√1-x^2 dx ३. ∫ xcos^−1x/√1−x^2 dx ४. ∫ xdu/√1−x^2 ५. ∫ u/√1−x^2 du ६. 1/2∫ (u√1−x^2 + x^2√1−x^2) du ७. 1/2[u√1−x^2 + x^2√1−x^2] + सी

प्रश्न:

फ़ंक्शन 3x/1+2x^4 का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

१. फ़ंक्शन को 3x(1+2x^4)^-1 के रूप में पुनर्लेखित करें

२. इंटीग्रेट करें: ∫3x(1+2x^4)^-1 dx = ln|1+2x^4| + सी

प्रश्न:

फ़ंक्शन ​1/√8+3x−x^2 का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

१. फ़ंक्शन को दो हिस्सों में विभाजित करें: 1/√8 + 3x और -x^2 २. पहले हिस्से को इंटीग्रेट करें: 2/3√8x + सी ३. दूसरे हिस्से को इंटीग्रेट करें: -1/3x^3 + सी ४. दो हिस्सों को मिलाएं: 2/3√8x - 1/3x^3 + सी

प्रश्न:

फ़ंक्शन √1+3x−x^2 का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

१. ∫√1+3x−x^2dx २. ∫(1+3x−x^2)^(1/2)dx ३. आपको u = 1+3x−x^2 लेना है ४. du = 3−2x dx ५. ∫u^(1/2)du ६. 2/3u^(3/2) + सी ७. 2/3(1+3x−x^2)^(3/2) + सी

प्रश्न:

फ़ंक्शन √x^2+3x का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

१. फ़ंक्शन को x^2 + 3x = (x + 3)^2 - 9 के रूप में पुनर्लेखित करें

२. (x + 3)^2 - 9 dx का इंटीग्रेट करें

३. (x + 3)^2 dx की इंटीग्रेट लें

४. ∫(x + 3)^2 dx = (1/3)(x + 3)^3 + सी

प्रश्न:

फ़ंक्शन x^2logx का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

चरण 1: फ़ंक्शन को एक ऐसे रूप में पुनर्लेखित करें जिसे इंटीग्रेट किया जा सके: x^2logx = x^2lnx

चरण 2: फ़ंक्शन को इंटीग्रेट करें: ∫x^2lnx dx = x^3(lnx - 1) + सी

प्रश्न:

फ़ंक्शन xlog2x का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

चरण 1: फ़ंक्शन को log2x + x*(d/dx of log2x) के रूप में पुनर्लेखित करें

चरण 2: दोनों ओर से x के संबंध में इंटीग्रेट करें

चरण 3: log2x का इंटीग्रेटाल लें

log2x का इंटीग्रेटाल = x*log2x - (1/ln(2))*x^2

चरण 4: (d/dx of log2x) का इंटीग्रेटाल लें

(d/dx of log2x) का इंटीग्रेटाल = x

चरण 5: इंटीग्रेशियों को समीकरण में इस्तेमाल करें

x*log2x - (1/ln(2))*x^2 + x = इंटीग्रेट

चरण 6: समीकरण सरल करें

इंटीग्रेट = x*log2x - (1/ln(2))*x^2 + x

प्रश्न:

फ़ंक्शन (sin^−1x)^2 का इंटीग्रेट करें

उत्तर:

१. फ़ंक्शन को (sin^-1x)^2 = (sin^2x)^-1 के रूप में पुनर्लेखित करें

२. दोनों ओर से तापमान के साथ ग्रहण करें: (sin^2x)^-1 = (sin^-1x)^2

३. दोनों ओर से dx के साथ इंटीग्रेट करें: (sin^2x)’ = (sin^-1x)^2'

४. बायां ओर को सरल करें: (sin^2x)’ = 2sinxcosx

५. दाहिनी ओर को सरल करें: (sin^-1x)^2’ = 2(sin^-1x)(cos^-1x)

६. दोनों दायरियों को एक समान पर सेट करें और cos^-1x के लिए हल करें: 2sinxcosx = 2(sin^-1x)(cos^-1x) → cos^-1x = (sinx)/(sin^-1x)

७. इंटीग्रेशन क्रमबद्ध करें: ∫cos^-1x dx = ∫(sinx)/(sin^-1x) dx

Answer: Step 1: Use the identity tan^2(x) = sec^2(x) - 1 to rewrite the function: sec^2(2x-3) - 1

Step 2: Use the power rule to integrate each term: ∫sec^2(2x-3)dx - ∫1dx

Step 3: Use the substitution u = 2x-3 for the first integral: (1/2) ∫sec^2(u) du - x + C

Step 4: Integrate the sec^2(u) term using the power rule: (1/2) tan(u) - x + C

Step 5: Substitute back u = 2x-3: (1/2) tan(2x-3) - x + C

१. उपयोग करें समांतरीयता के लिए सूत्र: ∫tan^2(u)du = (1/2)tan(u) - (1/2)ln|sec(u)+tan(u)| + C

२. u के स्थान पर 2x−3 का प्रतिस्थापन करें: ∫tan^2(2x−3)dx = (1/2)tan(2x−3) - (1/2)ln|sec(2x−3)+tan(2x−3)| + C

३. समीकरण को सरल बनाएँ: ∫tan^2(2x−3)dx = (1/2)tan(2x−3) - (1/2)ln|sec(2x−3)+tan(2x−3)| + C

प्रश्न:

(x^3−1)^1​/3x^5 को समांतरित करें

उत्तर:

१. घटक के नियम का उपयोग करके, समीकरण को पुनर्लेखित करें: x^3−1 = (x^2)^1/2⋅x−1 = (x^2)^1/2⋅(x^1−1)

२. पहले संख्यानुक्रम को उपयोग करें: (x^2)^1/2⋅x−1 = (1/2)x^(2+1)−x^1

३. दूसरे शब्द को उपयोग करें: (1/2)x^(2+1)−x^1 = (1/2)x^3−x^1

४. समीकरण को गणना करें: (1/2)x^3−x^1 = (1/2)x^4−x^2 + C

प्रश्न:

sin2x को समांतरित करें

उत्तर:

१. 2sin xcos x के रूप में समीकरण को पुनर्लेखित करें।

∫5x/(1 + 2x + 3x^2) dx = ∫(5/1 + 2x) + (-2/3x^2) dx

Step 7: Apply the power rule to each integral: ∫(5/1 + 2x) dx + ∫(-2/3x^2) dx

Step 8: Simplify each integral: (5/2)ln|1 + 2x| - (2/3)1/x + C

Step 9: Combine the two integrals to get the final answer: (5/2)ln|1 + 2x| - (2/3)1/x + C

चरण 7: समीकरण के प्रत्येक तरफ अलग-अलग समकरण को एकीकृत करें: ∫5x/(1 + 2x + 3x^2) dx = (5/2)ln|1 + 2x| + (2/3)ln|3x^2| + C, यहां C को एकीकरण का स्थायी हिस्सा है।

सवाल:

समकरण 2cosx−3sinx/6cosx+4sinx का एकीकरण कीजिए

उत्तर:

1. समकरण को (2cosx−3sinx)/(6cosx+4sinx) के रूप में पुनर्लेखित कीजिए।
2. पृष्ठभेद के संयोजक से संयोजक और अपयासी के संयोजक से भाज्यक को गुणा कीजिए: (2cosx−3sinx)(6cosx−4sinx)/(6cosx+4sinx)(6cosx−4sinx)
3. संयोजक को समकरणों को विस्तार करें और सरल कीजिए: 12cos^2x−20cosxsinx−18sinx^2
4. अपयासी को 36cos^2x−16sinx^2 के रूप में पुनर्लेखित कीजिए।
5. भाज्यक द्वारा संख्यात्मक को विभाजित कीजिए: (12cos^2x−20cosxsinx−18sinx^2)/(36cos^2x−16sinx^2)
6. संघात रूप में अपयासी को सामरिक तात्क्षणिकता sin^2x+cos^2x=1 का उपयोग करके सरल कीजिए: (12cos^2x−20cosxsinx−18sinx^2)/(36−16sin^2x)
7. संघात रूप में सामरिक तात्क्षणिकता 1−sin^2x=cos^2x का उपयोग करके सरल कीजिए: (12cos^2x−20cosxsinx−18sinx^2)/(36cos^2x)
8. समकरण का एकीकरण कीजिए: (1/36)∫(12cos^2x−20cosxsinx−18sinx^2)dx
9. प्रत्येक पद को समभाजक करें: (1/36)∫12cos^2xdx−(1/36)∫20cosxsinxdx−(1/36)∫18sinx^2dx
10. प्रत्येक निदान को हल कीजिए: (1/36)(3sin x−10cos x+6sinxcosx)+C

सवाल:

sin^4x के फ़ंक्शन का एकीकरण कीजिए

उत्तर:

उत्तर:

1. समकरण को (sin^2x)^2 के रूप में पुनर्लेखित कीजिए।
2. (u^n) के लिए एकीकरण के लिए सूत्र का उपयोग कीजिए = (u^(n+1))/(n+1), यहां n एक निर्दिष्ट स्थिर है।
3. (sin^2x)^2 का एकीकरण कीजिए = (sin^4x)/4 + C, यहां C एक स्थिर है।

सवाल:

समकरण x+2/√x^2−1 का एकीकरण कीजिए

उत्तर:

चरण 1: समकरण को दो भागों में विभाजित कीजिए: x और 2/√x^2−1

चरण 2: पहले भाग का एकीकरण कीजिए, जो है x^2/2

चरण 3: दूसरे भाग का एकीकरण कीजिए, जो है 2*arcsin(x)

सवाल:

∫√x(3x^2+2x+3)dx का एकीकरण ढूँढिए

उत्तर:

उत्तर:

1. एकीकरण के रूप में एक सलग्नकरण के रूप में अणुकरण कीजिए: ∫(3x^3+2x^2+3x)√x dx

2. बदलने का उपयोग u = x^2 कीजिए: ∫(3u^2+2u+3)√u du

3. एकीकरण के रूप में एक सलग्नकरण के रूप में अणुकरण कीजिए: ∫(3u^2+2u+3)du

4. एकीकृत कीजिए: (3/5u^5/2)+ (1/2u^2)+ (3u) + C

सवाल:

∫dx​/sin^2xcos^2x के एकीकरण ढूँढिए A tanx+cotx+C B tanx−cotx+C C tanxcotx+C D tanx−cot2x+C

उत्तर:

उत्तर: A

चरण-चरण समाधान:

1. पहले sin2x + cos2x = 1 उपयोग करके शुरू कीजिए
2. ∫dx/sin2xcos2x = ∫dx/(1 - sin2x)
3. u = sinx उपयोग कीजिए
4. du = cosx dx
5. ∫dx/(1 - sin2x) = ∫du/(1 - u2)
6. समाधान कीजिए: ∫du/(1 - u2) = tan-1u + C
7. पूर्वार्ध के रूप में: tan-1(sinx) + C = tanx + C

सवाल:

सदिश फ़ंक्शन cosx/(1−sinx)(2−sinx) के एकीकरण ढूँढिए

उत्तर:

1. समकरण को दो भागों के रूप में एकीकृत कीजिए: cosx/(1−sinx) + cosx/(2−sinx)

2. विवरणसंयोजक का उपयोग करके प्रत्येक भाग को एकीकरण कीजिए: ∫cosx/(1−u) du = ln|1−u| + C1 ∫cosx/(2−u) du = ln|2−u| + C2

3. u = sinx के उपयोग से पूर्वार्धों में निर्भर करें: ln|1−sinx| + C1 + ln|2−sinx| + C2

सवाल:

समकरण 6x+7/√(x−5)(x−4) का एकीकरण ढूँढिए

उत्तर:

1. समकरण को 6x+7/[(x-5)(√x-4)] के रूप में पुनर्लेखित कीजिए।
2. पहले पद को एकीकृत करने के लिए उत्पाद का नियम का उपयोग कीजिए: 6/√(x-4) + 7(√x-4)/[(x-5)(√x-4)]
3. पहले पद का एकीकरण कीजिए: ∫6/√(x-4)dx = 3√(x-4) + C

समाधान:

1. हल को उलझाने के लिए r = sin^-1(x) लीजिए। इससे, xsin^-1x = rsin(r)।

2. उपयुक्त सदस्यता को r के रूप में व्यक्त करने के लिए r = sin^-1(x) और dr = 1/√(1-x^2) dx का प्रयोग करें।

3. प्रहेज को इन के साथ पुनर्व्यवस्थित करें। xsin^-1x = rsin(r) = rsin(r) √(1-x^2) / √(1-x^2)।

4. योग्य सदस्यता के रूप में, ∫rsin(r) √(1-x^2) / √(1-x^2) dr की गणना करें।

5. अब, r = sin^-1(x) के आधार पर ∫rsin(r) √(1-x^2) / √(1-x^2) dr बदलें।

6. इन्टीग्रेट करें। फलस्वरूप, xsin^-1x - √(1-x^2) + C रहता है।

7. इसलिए, चरण 6 के परिणाम का नतीजा स्थायी है: xsin^-1x - √(1-x^2) + C

ॐ सक्षिभाषापरिवर्तनक्रमः:

1. भाजकसंख्यानिर्माणं करः:

∫ (x−3)e^x/(x−1)^3 = [A/(x-1)] + [B/(x-1)^2] + [C/(x-1)^3] + (x-3)e^x

2. A, B और C का निर्णय करें:

A + B + C = 0 B + 2C = 3 C = -3

3. A, B और C को समीकरण में प्रतिस्थापित करें और सरल रूप में करें:

(x−3)e^x/(x−1)^3 = [-1/(x-1)] + [3/(x-1)^2] + [-3/(x-1)^3] + (x-3)e^x

4. समीकरण के दोनों पक्षों का संयम करें:

∫ (x−3)e^x/(x−1)^3 dx = ∫ [-1/(x-1)] + [3/(x-1)^2] + [-3/(x-1)^3] + (x-3)e^x dx

5. दाहिनी ओर के ऐन्कल को हल करें:

∫ (x−3)e^x/(x−1)^3 dx = ln|x-1| - (x-1) - (3/2)(x-1)^2 - (1/4)(x-1)^3 + (1/2)(x-3)e^x + C

6. परिणाम को सरल रूप में करें:

∫ (x−3)e^x/(x−1)^3 dx = ln|x-1| - (3/2)(x-1)^2 - (1/4)(x-1)^3 + (1/2)(x-3)e^x + C

प्रश्न:

समाधान कीजिए तंत्रिका फ़ं32xsec2x का

उत्तर:

उत्तर: चरण 1: तंत्रिका को (पारंपरिक x तंत्रिका^3 x)^2 के रूप में दोहराएं। चरण 2: तंत्रिका को अलग करने के लिए चेन के नियम का उपयोग करें। चरण 3: तंत्रिका को शक्ति नियम का उपयोग करके अंतरण करें। चरण 4: (पारंपरिक x तंत्रिका^3 x)^2 का ऐंठ वही है जो (1/4) पारंपरिक x तंत्रिका^4 x + C होता है।

प्रश्न:

∫ dx/x(x^2+1) के बराबर है A log∣x∣−1​/2log(x^2+1)+C B log∣x∣+1​/2log(x^2+1)+C C −log∣x∣+1​/2log(x^2+1)+C D 1​/2log∣x∣+log(x^2+1)+C

उत्तर:

उत्तर: D 1/2log∣x∣+log(x^2+1)+C

प्रश्न:

तंत्रिका sin^−1(2x​/1+x^2) का ऐंठ

उत्तर:

1. तंत्रिका उ = sin^−1(2x​/1+x^2) कह दें।

2. दु = (2/1+x^2)dx

3. ∫दु = ∫(2/1+x^2)dx

4. ∫दु = 2∫1/(1+x^2)dx

5. ∫दु = 2∫(1/x^2+1)dx

6. ∫दु = 2∫1/x^2dx + 2∫1dx

7. ∫दु = 2∫1/x^2dx + 2x + C

8. ∫दु = 2ln|x| + 2x + C

प्रश्न:

फ़ं √x^2+4x−5 का ऐंठ

उत्तर:

1. पहले, तंत्रिका को पूर्वनिर्धारित रूप में पुनर्लेखित करें: x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)।

2. अब, ऐंठ की गणना के लिए शक्ति नियम का उपयोग करें: ∫(x + 5)(x - 1)dx = ∫x^2 - 1dx।

3. ऐंठ की गणना के लिए फिर से शक्ति नियम का उपयोग करें: ∫x^2 - 1dx = 1/3x^3 - x + C।

4. अंत में, मूल तंत्रिका को पुनः स्थानांतरित करें: ∫√x^2 + 4x - 5dx = 1/3x^3 - x + C।

प्रश्न:

∫ √x^2−8x+7 dx कितनी बराबर है A 1​/2(x−4)√x^2−8x+7+9log∣x−4+√x^2−8x+7∣+C B 1​/2(x+4)√x^2−8x+7+9log∣x+4+√x^2−8x+7∣+C C 1​/2(x−4)√x^2−8x+7−32​log∣x−4+√x^2−8x+7∣+C D 1​/2(x−4)√x^2−8x+7−29​log∣x−4+√x^2−8x+7​∣+C

उत्तर:

उत्तर: A 1/2(x−4)√x^2−8x+7+9log∣x−4+√x^2−8x+7∣+C

प्रश्न:

फ़ंक्शनों sin^2(2x+5) का ऐंठ ढूंढिए

उत्तर:

उत्तर:

1. दोनों पक्षों को x के साथ ऐंठ के माध्यम से ऐंठ करें: ∫sin2(2x + 5)dx

2. ऐंठ करने के लिए द्विगुण त्रिकोणमिति का उपयोग करें और उत्तररूपी ऐंठ को पुनः लिखें: ∫(1 - cos(4x + 10))/2 dx

3. ऐंठ को दो ऐंठों में विभाजित करें: ∫1/2 dx + ∫(cos(4x + 10))/2 dx

4. पहले ऐंठ को ऐंठें: 1/2x + C

5. दूसरे ऐंठ को त्रिकोणमिति प्रतिस्थापन योजना u = 4x + 10 का उपयोग करके ऐंठें: 1/2 ∫cosudu

6. दूसरे ऐंठ को त्रिकोणमिति प्रतिस्थापन योजना u = 4x + 10 का उपयोग करके ऐंठें: 1/2 sin(4x + 10) + C

प्रश्न:

फ़ं ∫x^3+5x^2−4​/x^2dx का ऐंठ ढूंढिए

उत्तर:

उत्तर: चरण 1: ऐंठ को पूर्वानुमान के तरीके का उपयोग करके तंत्रिका को पुश्ट रूप में पुनः लिखें

∫x^3+5x^2−4/x^2dx = ∫x + 5 − 4/x dx

चरण 2: मान-मानी के दोहराव का उपयोग करके समीकरण के दोनों पक्षों को ऐंठ करें

∫x + 5 − 4/x dx = ∫x dx + ∫5 dx − ∫4/x dx

चरण 3: दाहिनी ओर ऐंठ करें

∫x + 5 − 4/x dx = (1/2)x^2 + 5x − 4ln(x) + C

प्रश्न:

फ़ं ∫2−3sinx​/cos^2xdx का ऐंठ ढूंढिए

उत्तर:

उत्तर: चरण 1: ऐंठ को ऐंठ के लिए पुनः लिखें ∫2−3sinxdcosxdx।

चरण 2: ऐंठ के द्वारा ऐंठ करें, जहां u = sinx और dv = cosx dx।

चरण 3: du = cosx dx और v = -sinx।

चरण 4: उत्तररूपी ऐंठ को पुनः लिखें -sinxcosx|2−3 + ∫2−3cos^2xdx।

चरण 5: अभिनेता को फिर से लिखने के लिए चेठ के नियम का उपयोग करें।

चरण 6: ∫2−3cos^2xdx = ∫2−3(1-sin^2x)dx।

चरण 7: फिर से ऐंठ के लिए उदाहरण के बारे में उदाहरण के रूप में करें, जहां u = 1 और dv = -sin^2x dx।

चरण 8: du = 0 dx और v = -1/2cos2x।

Step 1: Rewrite the integrand as a single fraction: ∫(x^3 - x^2 + x - 1)/(x - 1) dx

Step 2: Divide the numerator by the denominator to simplify the integrand: ∫(x^2 - 2x + 1) dx

Step 3: Use the power rule to integrate: 1/3 x^3 - x^2 + x + C

Therefore, the integral of ∫(x^3 - x^2 + x - 1)/(x - 1) dx is 1/3 x^3 - x^2 + x + C.

उ.-0.5log(e^2x + 1) + x + C

उत्तर: स्टेप 1: सूत्र ∫sinxsin(cosx)dx का उपयोग करें। ∫sinxsin(cosx)dx = -1/2cos(2x) + C

स्टेप 2: -1/2cos(2x) को इंटीग्रेट करें।

स्टेप 3: -1/4sin(2x) + C

प्रश्न:

फ़ंक्शन को एकीकृत करें e2^x−1/e^2x+1

उत्तर:

1. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुंतन लें: ln(e2^x−1/e^2x+1)

2. बाईं ओर की ओर बढ़ाने के लिए शक्ति नियम का उपयोग करें: x ln(e2) - ln(e^2x+1)

3. दाईं ओर के लिए प्राकृतिक लघुंतन नियम का उपयोग करें: x ln(e2) - ln(e^2x+1)

4. समीकरण सरल करें: ln(e2^x−1/e^2x+1) = 0

5. दोनों पक्षों को एक्सपोनेशियल लें: e2^x−1/e^2x+1 = e^0

6. समीकरण सरल करें: e2^x−1/e^2x+1 = 1

7. x के लिए हल करें: e2^x−1/e^2x+1 = 1 e2^x−e^2x = 0 2^x(e−1) = 0 2^x = 0 x = 0

प्रश्न:

फ़ंक्शन का एकीकरण निकालें cosx/√1+sinx

उत्तर:

1. फ़ंक्शन को cosx/(1+sinx)^1/2 के रूप में फिर से लिखें

2. प्रतिस्थापन तत्व u = sinx का उपयोग करें

3. du = cosx dx

4. ∫ cosx/(1+sinx)^1/2 du = ∫ (1/2)u^-1/2 du

5. दाईं ओर की समीकरण का उपयोग करके समीकरण की सही ओर का विस्तार करें:

6. (1/2)u^1/2 + C = (1/2)sinx^1/2 + C

प्रश्न:

sinx−cosx/1+sin2x के फ़ंक्शन की एकीकृत केंद्रों का पता लगाएं

उत्तर:

उत्तर:

1. फ़ंक्शन को साइन और कोज़ाइन में लिखने के लिए फिर से लिखें: cosx−sinx/1+sin^2x = (cosx - sinx)/(1 + sin^2x)

2. दर्जीय विस्तार के लिए साइन और कोज़ाइन फ़ंक्शन का उपयोग करें: (cosx - sinx)/(1 + sin^2x) = (cosx - sinx)/(1 + (1 - cos^2x))

3. दर्जीय विस्तार के लिए साइन2एक्स = 2साइनएक्सकोज़ाइनएक्स का उपयोग करें: (cosx - sinx)/(1 + (1 - cos^2x)) = (cosx - sinx)/(1 + 2साइनएक्सकोज़ाइनएक्स)

4. वर्गस्वरूप के लिए दाईं ओर के लिए साइन फ़ंक्शन का उपयोग करें: (cosx - sinx)/(1 + 2साइनएक्सकोज़ाइनएक्स) = (cosxcosx + sinxsinx)/(1 + 2साइनएक्सकोज़ाइनएक्स)

5. वर्गस्वरूप के लिए दाईं ओर के लिए कोज़ाइन2एक्स = कोज़ाइन^2x - साइन^2x का उपयोग करें: (cosxcosx + sinxsinx)/(1 + 2साइनएक्सकोज़ाइनएक्स) = (cos^2x - sin^2x)/(1 + 2साइनएक्सकोज़ाइनएक्स)

6. दर्जीय विस्तार के लिए nounएक्स = गुणय_के_रूप_में_लिखें साइनएक्सकोज़ाइनएक्स का उपयोग करें: (cos^2x - sin^2x)/(1 + 2साइनएक्सकोज़ाइनएक्स) = (cos^2x - sin^2x)/(1 + 2उ)

7. दोनों पक्षों का एकीकरण करें: ∫(cos^2x - sin^2x)/(1 + 2उ)du = ∫1/(1 + 2उ)du

8. दाईं ओर समीकरण को हल करें: ∫(cos^2x - sin^2x)/(1 + 2उ)du = 1/2 ln|1 + 2उ| + C

9. दाईं ओर समीकरण को हल करें: ∫1/(1 + 2उ)du = 1/2 ln|1 + 2उ| + C

10. इसलिए, फ़ंक्शन cosx−sinx/1+sin2x का एकीकृत केंद्र है: ∫(cosx−sinx/1+sin2x)dx = 1/2 ln|1 + 2साइनएक्सकोज़ाइनएक्स| + C

प्रश्न:

sin^3xcos^3x फ़ंक्शन की एकीकृत केंद्रों का पता लगाएं

उत्तर:

1. फ़ंक्शन को (sinxcosx)^3 के रूप में फिर से लिखें।

2. एकीकारक तत्व वाले सूत्र ∫u^n du = (u^(n+1))/(n+1) का उपयोग करें ताकि एकीकारक विस्तार करें।

3. (sinxcosx)^3 को एकीकृत करने के लिए (sinxcosx)^4/4 प्राप्त करें।

प्रश्न:

sin^−1(cosx) के फ़ंक्शन की एकीकृत केंद्रों का पता लगाएं

उत्तर:

उत्तर: चरण 1: फ़ंक्शन को arcsin(cosx) के रूप में दोबारा लिखें चरण 2: एकीकरण सूत्र ∫arcsin(x)dx = xarcsin(x) - √(1-x^2) + C का उपयोग करें चरण 3: x के लिए cosx का प्रतिस्थापन करें चरण 4: एकीकरण करें: ∫arcsin(cosx)dx = cosxarcsin(cosx) - √(1-cos^2x) + C

प्रश्न:

sin^3(2x+1) फ़ंक्शन की एकीकृत केंद्रों का पता लगाएं

उत्तर:

1. फ़ंक्शन को साइन के घात रूप में दोबारा लिखें: sin^2(2x+1) * sin(2x+1)
2. साइन^2(2x+1) को घात रूप में एकीकारक करने के लिए शक्ति नियम का उपयोग करें: (1/3)sin^3(2x+1) + (1/2)sin^2(2x+1)cos(2x+1) + C
3. sin(2x+1) को घात रूप में एकीकारक करने के लिए शक्ति नियम का उपयोग करें: -(1/2)cos^2(2x+1) + (1/2)sin(2x+1)cos(2x+1) + C

what is the hi version of content: 4. Combine the two integrals: (1/3)sin^3(2x+1) + (1/2)sin^2(2x+1)cos(2x+1) - (1/2)cos^2(2x+1) + (1/2)sin(2x+1)cos(2x+1) + C

जवाब: C x^4+1x^3​+129/8