इनवर्स त्रिकोणमितीय कार्यों का अभ्यास 01
सवाल:
cot−1(√3) का मूल्य मान ढूंढें।
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: याद रखें कि cot−1(x) cot(x) का उल्टा है।
चरण 2: याद रखें कि cot(x) = cos(x)/sin(x)।
चरण 3: समीकरण cot(x) = cos(x)/sin(x) में √3 के लिए x के साथ प्रतिस्थापन करें।
चरण 4: cos(x)/sin(x) = √3 के लिए हल करें।
चरण 5: याद रखें कि cos(x) = sin(90° - x)।
चरण 6: समीकरण sin(90° - x)/sin(x) = √3 में 90° - x के लिए cos(x) के स्थान पर प्रतिस्थापित करें।
चरण 7: sin(90° - x)/sin(x) = √3 के लिए हल करें।
चरण 8: याद रखें कि sin(90° - x) = cos(x)।
चरण 9: समीकरण cos(x)/sin(x) = √3 में sin(90° - x) के स्थान पर cos(x) का प्रतिस्थापन करें।
चरण 10: cos(x)/sin(x) = √3 के लिए हल करें।
चरण 11: याद रखें कि cot-1(x) cot(x) का उल्टा है।
चरण 12: समीकरण cot-1(x) में चरण 10 में प्राप्त मान के लिए x की जगह प्रतिस्थापित करें।
चरण 13: cot−1(√3) का मूल्य मान 60° है।
सवाल:
sec−1(2/√3) का मूल्य मान ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: सेकंड के उल्टे को ढूंढें।
सेकंड का उल्टा cosec होता है, जो csc या cosec के रूप में लिखा जाता है।
चरण 2: दिए गए मान को cosecant समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
csc^−1(2/√3)
चरण 3: मौलिक मान के लिए हल करें।
csc−1(2/√3) का मूल्य मान 60° है।
सवाल:
cos−1(√3/2) का मूल्य मान ढूंढें।
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: √3/2 को 2 से विभाजित करके √3/2 को दशमलव में बदलें।
उत्तर: 1.5
चरण 2: 1.5 का चौरसिद्ध गणक (inverse cosine) निकालें।
उत्तर: cos−1(√3/2) का मूल्य मान 60° है।
सवाल:
tan−1(−√3) का मूल्य मान ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: याद रखें कि tan−1(x) tan(x) का उल्टा होता है, जो x के तांगेंट होने वाले कोण के बराबर होता है।
चरण 2: tan−1(−√3) वाला कोण उस कोण के बराबर होता है, जिसका तांगेंट -√3 के बराबर होता है। हम एक त्रिकोणमिति आदर्श का उपयोग करके कोण के लिए समाधान निकाल सकते हैं।
चरण 3: हमें उचित क्षेत्र में x के लिए कोण nik ke liye koan
चरण 4: α के लिए कोण के लिए tan(α) = -√3 वाले समाधान निकालने के लिए हम एक त्रिकोणमिति आदर्श का उपयोग करेंगें।
चरण 5: α को हल करने के लिए, हम अपने पास α = tan−1(-√3) को प्राप्त करते हैं।
चरण 6: tan−1(−√3) का मूल्य मान -60° है।
सवाल:
cos−1(−1/√2) का मूल्य मान ढूंढें।
उत्तर:
उत्तर:
- cos^-1(x) को इनवर्स कोसाइन फ़ंक्शन कहा जाता है, जिसे आरक कोसाइन फ़ंक्शन भी कहा जाता है।
- cos−1(-1/√2) का मूल्य मान ढूंढने के लिए, हमें -1/√2 के आरक कोसाइन का गणना करना होगा।
- एक कैलकुलेटर का उपयोग करके, हमारे पास -1/√2 का आरक कोसाइन 3π/4 के बराबर होता है।
- इसलिए, cos−1(-1/√2) का मूल्य मान 3π/4 होता है।
सवाल:
cosec−1(2) का मूल्य मान ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: याद रखें कि cosec−1(x) cosec(x) का उल्टा होता है।
चरण 2: याद रखें कि cosec(x) समीकरण 1/sin(x) होता है।
चरण 3: 1/sin(x) = 2 को सेट करें।
चरण 4: दोनों पक्षों के उल्टा साइन(√3) का उल्टा करें।
चरण 5: sin(2) के मूल्य का मान मापी गई खंड में π/3 रेडियन रास्ते बनाता है।
चरण 6: cosec−1(2) का मूल्य मान π/3 रेडियन होता है।
सवाल:
tan−1(1)+cos−1(−1/2)+sin−1(−1/2) का मान ढूंढें।
उत्तर:
स्टेप 1: tan−1(1) = π/4
स्टेप 2: cos−1(−1/2) = 3π/4
स्टेप 3: sin−1(−1/2) = -π/2
स्टेप 4: तीन मानों को जोड़ें: π/4 + 3π/4 + (-π/2) = π/2
इसलिए, tan−1(1)+cos−1(−1/2)+sin−1(−1/2) का मान π/2 है।
प्रश्न: cos−1(−1/2) का मुख्य मान ढूंढें।
उत्तर: स्टेप 1: याद रखें कि cos−1(x) का मुख्य मान वह कोण था, जो विंयास [0, 2π] में होता है और cos(θ) = x होता है।
स्टेप 2: हमें यह जानकारी है कि x = −1/2 है।
स्टेप 3: समीकरण cos(θ) = −1/2 से θ का मान ढूंढें।
स्टेप 4: कैलकुलेटर या मानों की एक सूची का उपयोग करके हम पता लगाते हैं कि θ = 2.094395102393195 रेडियंस है।
स्टेप 5: इसलिए, cos−1(−1/2) का मुख्य मान 2.094395102393195 रेडियंस है।
प्रश्न: sin−1(−1/2) का मुख्य मान ढूंढें।
उत्तर: स्टेप 1: याद रखें कि sin−1(x) वह है जो गणितीय फंक्शन सिन का उल्टा है, जिसे आर्कसिन का नाम भी दिया जाता है।
स्टेप 2: मान ढूंढ़ने के लिए आर्कसिन फंक्शन का उपयोग करें।
स्टेप 3: sin−1(-1/2) का मुख्य मान -π/6 है।
प्रश्न: cosec−1(−√2) का मुख्य मान ढूंढें।
उत्तर: स्टेप 1: याद रखें कि cosec−1(x) = arcsin(1/x)
स्टेप 2: x के रूप में -√2 के लिए समीकरण में प्रतिस्थापन करें: cosec−1(-√2) = arcsin(1/(-√2))
स्टेप 3: अभिव्यंजक व्यंजक समीकरण को सरल बनाएँ: cosec−1(-√2) = arcsin(-1/√2)
स्टेप 4: प्रतिस्थापन के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें और arcsin(-1/√2) का मुख्य मान पता लगाएँ: cosec−1(-√2) = -π/4
प्रश्न: cos−1(1/2)+2sin−1(1/2) का मान ढूंढें।
उत्तर: दिया गया है, cos−1(1/2) + 2sin−1(1/2)
स्टेप 1: cos^−1(1/2) का मान की गणना करें
cos−1(1/2) = 60°
स्टेप 2: sin−1(1/2) का मान की गणना करें
sin−1(1/2) = 30°
स्टेप 3: दिए गए समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करें।
60° + 2(30°) = 120°
इसलिए, cos−1(1/2) + 2sin−1(1/2) का मान 120° है।
प्रश्न: tan−1 √3 −sec−1(−2) का मान क्या है ए π बी −π/3 सी 3π डी 2π/3
उत्तर: उत्तर: बी -π/3
प्रश्न: tan−1(−1) का मुख्य मान ढूंढें।
उत्तर: स्टेप 1: याद रखें कि tan−1(x) का मुख्य मान x-द्वारा होने वाली प्रतीक्षापूर्वता में मापी जाने वाली दिशा से होता है, जो मानक x-अक्ष को (x,y) बिंदु के साथ कटता है।
स्टेप 2: इस मामले में, x = -1 है, इसलिए tan−1(-1) का मुख्य मान x-द्वारा होने वाली प्रतीक्षापूर्वता में मापी जाने वाली दिशा से होने वाले positive x-अक्ष से -1 ) बिंदु को काटने वाली दिशा से है।
स्टेप 3: यहां y = -1 है, इसलिए tan−1(-1) का मुख्य मान x-द्वारा होने वाली प्रतीक्षापूर्वता में मापी जाने वाली दिशा से होने वाले positive x-अक्ष से (-1,-1 ) बिंदु को काटने वाली दिशा से है।
स्टेप 4: इसलिए, tan−1(-1) का मुख्य मान π रेडियंस या 180° है।
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