प्रायिकता अभ्यास 01
सवाल:
एक ईमानदार पासा फेंका जाता है। घटनाओं E={1,3,5}, F={2,3} और G={2,3,4,5} को देखें। यहां निम्नलिखित की मदद से प्राप्त करें: (i) P(E∣F) और P(F∣E) (ii) P(E∣G) और P(G∣E) (iii) P((E∪F)∣G) और P((E∩F)∣G)
उत्तर:
(i) P(E∣F) = P(E∩F)/P(F) = 1/2
P(F∣E) = P(E∩F)/P(E) = 1/3
(ii) P(E∣G) = P(E∩G)/P(G) = 2/4 = 1/2
P(G∣E) = P(E∩G)/P(E) = 2/3
(iii) P((E∪F)∣G) = P((E∪F)∩G)/P(G) = 3/4
P((E∩F)∣G) = P((E∩F)∩G)/P(G) = 1/4
सवाल:
एक काला और एक लाल पासा फेंके जाते हैं।
(a) काले पासे के घटना संख्या 5 निर्धारित करने के बाद 9 से अधिक के योग की शर्तवार होने की शर्तपूर्व संभावना ढूंढें।
(b) लाल पासे के तहलका को कम से कम 4 करने की शर्तवार होने की शर्तपूर्व संभावना ढूंढें।
A 0.33,0.11
B 0.51,0.76
C 0.56,0.43
D 0.11,0.65
उत्तर:
उत्तर: C 0.56,0.43
सवाल:
यदि A और B घटनाएँ ऐसी हैं कि P(A∣B)=P(B∣A), तो A A⊂B लेकिन A=B B A=B C A∩B=Φ D P(A)=P(B)
उत्तर:
A गलत B सही C गलत D गलत
सवाल:
एक सिक्का तीन बार छक्के जाता है, जहां
(i) E : तीसरे छक्के पर सिर, F : पहले दो छक्कों पर सिर
(ii) E : कम से कम दो सिर, F : अधिकतम दो सिर
(iii) E : अधिकतम दो खाली, F : कम से कम एक खाली
P(E∣F) निर्धारित करें
A 0.42,0.50,0.85
B 0.50,0.42,0.85
C 0.85,0.42,0.30
D 0.42,0.46,0.47
उत्तर:
उत्तर: D
स्पष्टीकरण:
चरण 1: (i) के लिए P(E|F) की गणना करें: P(E|F) = P(E and F)/P(F) = P(तीसरे छक्के पर सिर और पहले दो छक्कों पर सिर)/P(पहले दो छक्कों पर सिर) = 1/2 = 0.50
चरण 2: (ii) के लिए P(E|F) की गणना करें: P(E|F) = P(E and F)/P(F) = P(कम से कम दो सिर और अधिकतम दो सिर)/P(अधिकतम दो सिर) = 1/2 = 0.50
चरण 3: (iii) के लिए P(E|F) की गणना करें: P(E|F) = P(E and F)/P(F) = P(अधिकतम दो खाली और कम से कम एक खाली)/P(कम से कम एक खाली) = 1/2 = 0.50
इसलिए, सही उत्तर है D: 0.42, 0.46, 0.47.
सवाल:
यदि P(A)=1/2, P(B)=0, तो P(A∣B) है A 0 B 1/2 C परिभाषित नहीं D 1
उत्तर:
उत्तर: C. परिभाषित नहीं
सवाल:
दिए गए हैं कि E और F ऐसी घटनाएँ हैं कि P(E)=0.6,P(F)=0.3 और P(E∩F)=0.2, तो 6P(F∣E) ढूंढ़िए।
उत्तर:
-
P(F∣E) = P(E∩F) / P(E)
-
P(F∣E) = 0.2 / 0.6
-
P(F∣E) = 0.333
-
6P(F∣E) = 6 * 0.333
-
6P(F∣E) = 2
सवाल:
एक सिक्का फेंका जाता है, यदि 3 की कम से कम एक की दिखा रही हो, तो ‘सिक्का दिखाएगा पूंछ’ की शर्तवार होने की शर्तपूर्व संभावना ढूंढ़ें।
उत्तर:
दिए गए हैं कि ‘तीसरे छक्के पर सिर दिखाई दे’ में से कम से कम एक दिखा रहा है,
P(सिक्का पूंछ दिखा रहा है) = P(सिक्का पूंछ दिखा रहा है | कम से कम एक दिखा रहा है)
= P(सिक्का पूंछ दिखा रहा है और कम से कम एक दिखा रहा है) / P(कम से कम एक दिखा रहा है)
= P(सिक्का पूंछ दिखा रहा है) * P(कम से कम एक दिखा रहा है | सिक्का पूंछ दिखा रहा है) / [P(कम से कम एक दिखा रहा है) + P(दो सिक्के दिखा रहे हैं)]
= P(सिक्का पूंछ दिखा रहा है) * P(कम से कम एक दिखा रहा है | सिक्का पूंछ दिखा रहा है) / [P(एक सिक्का दिखा रहा है) + P(दो सिक्के दिखा रहे हैं)]
कंटेंट की हिंदी संस्करण क्या होगी: = 1/2 * [P(एक पासा 3 दिखाए | सिक्का खाली दिखाए) + P(दो पासा 3 दिखाए | सिक्का खाली दिखाए)] / [P(एक पासा 3 दिखाए) + P(दो पासा 3 दिखाए)]
= 1/2 * [1/2 + 1/4] / [1/2 + 1/4]
= 1/2
प्रश्न:
एक प्रशिक्षक के पास 300 आसान सच/झूठे प्रश्न, 200 कठिन सच/झूठे प्रश्न, 500 आसान बहुविकल्प प्रश्न और 400 कठिन बहुविकल्प प्रश्न हैं। यदि प्रश्न बैंक से एक प्रश्न को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो यह संभावना क्या होगी कि यह एक आसान प्रश्न होगा जानते हुए कि यह बहुविकल्प प्रश्न है ?
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: प्रश्न बैंक में कुल प्रश्नों की संख्या की गणना करें: 300 + 200 + 500 + 400 = 1400
चरण 2: आसान प्रश्नों की कुल संख्या की गणना करें: 300 + 500 = 800
चरण 3: बहुविकल्प प्रश्नों की कुल संख्या की गणना करें: 500 + 400 = 900
चरण 4: आसान बहुविकल्प प्रश्नों की कुल संख्या की गणना करें: 500
चरण 5: एक आसान बहुविकल्प प्रश्न को चुनने की संभावना की गणना करें: 500 / 1400 = 0.357
प्रश्न:
मान लो कि हर नए जन्मित बच्चे का योग्यता स्तर के अनुरूप बेटा या बेटी होने की समान संभावना है। यदि एक परिवार के पास दो बच्चे होते हैं, तो (i) सबसे छोटा एक बेटी है, (ii) कम से कम एक बेटी होने की स्थिति में संलग्न होने वाली शर्त के अनुरूप दोनों बेटियों को लेकर निर्देशांक संभावना क्या होगी? एक 0.33,0.34 बी 0.88,0.98 सी 0.78,0.67 डी 0.5,0.33
उत्तर:
उत्तर: बी 0.88, 0.98
स्पष्टीकरण: (i) यदि सबसे छोटा एक बेटी है, तो दोनों बेटियाँ होने की संभावना 0.88 होगी। (ii) अगर कम से कम एक बेटी होने की स्थिति है, तो दोनों बेटियाँ होने की संभावना 0.98 होगी।
प्रश्न:
100 × P(A∣B) की मान्यता करें, यदि P(B)=0.5 और P(A∩B)=0.32 है।
उत्तर:
चरण 1: P(A∩B) = P(A) × P(B)
चरण 2: P(A) = P(A∩B) ÷ P(B)
चरण 3: P(A) = 0.32 ÷ 0.5
चरण 4: P(A) = 0.64
चरण 5: 100 × P(A∣B) = 100 × 0.64
चरण 6: 100 × P(A∣B) = 64
प्रश्न:
P(A∪B) की मान्यता करें, यदि 2P(A)=P(B)=5/13 और P(A∣B)=2/5 है। P(A∪B)×100 ढूंढें
उत्तर:
चरण 1: P(A∩B) = P(A|B) × P(B) = (2/5) × (5/13) = 10/13
चरण 2: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = (2P(A)) + P(B) - P(A∩B) = (2 × (5/13)) + (5/13) - (10/13) = 5/13
चरण 3: P(A∪B) × 100 = (5/13) × 100 = 38.46%
प्रश्न:
दो पासे एक बार फेंके जाते हैं, जहां (i) E : एक पासा खाली दिखाई देता है, F : एक पासा सिर दिखाता है (ii) E : कोई पासा खाली नहीं दिखाई देता, F : कोई सिर नहीं दिखाई देता है P(E∣F) निर्धारित करें एक 1,0 बी 1,0.2 सी 0,2 डी 1,3
उत्तर:
उत्तर: ए) 1,0
स्पष्टीकरण: P(E∣F) वह घटना की संभावना है जब घटना F पहले ही हो चुकी हो। F घटना में से एक पासा सिर दिखाती है, तो E घटना होनी चाहिए क्योंकि यह कहती है कि एक पासा खाली दिखाई देता है। इसलिए, घटना E जो घटना F के दिए गए होने की संभावना है, 1,0 होगी।
प्रश्न:
दिए गए कि दो पासों के द्वारा विष्मित करने पर प्राप्त नंबर होते हैं। ‘पासों पर नंबरों का योग है’ की घटना की संभावना ढूंढें।
उत्तर:
चरण 1: दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या की गणना करें।
दो पासों को फेंकने पर 36 संभावित परिणाम हो सकते हैं।
उत्तर:
(i) P(A∩B) = P(B∣A)P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32
(ii) P(A∣B) = P(A∩B)/P(B) = 0.32/0.5 = 0.64
(iii) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.8 + 0.5 - 0.32 = 1.18
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