प्रायिकता अभ्यास 02
प्रश्न:
घटना A और B इस प्रकार हैं जहां P(A) = 1/2, P(B) = 7/12 और P(not A या not B) = 1/4। स्थान पता करें कि A और B स्वतंत्र हैं या नहीं?
उत्तर:
चरण 1: P(A और B) की गणना करें।
P(A और B) = P(A) x P(B) = 1/2 x 7/12 = 7/24
चरण 2: A और B आपस में स्वतंत्र होने के लिए P(A) x P(B) की गणना करें।
P(A) x P(B) = 1/2 x 7/12 = 7/24
चरण 3: P(A और B) को P(A) x P(B) के साथ तुलना करें।
क्योंकि P(A और B) = P(A) x P(B), इससे यह निष्कर्ष निकला जा सकता है कि A और B स्वतंत्र हैं।
प्रश्न:
सत्य या असत्य घोषित करें। एक पारी में लाल रंग में 1,2,3 और हरी रंग में 4,5,6 के साथ एक डाइस फेंका जाता है। चर A है, ‘संख्या सम है’, और चर B है, ‘संख्या लाल है’। तो चर A और चर B स्वतंत्र घटनाएँ हैं। A सत्य B असत्य
उत्तर:
असत्य। A और B स्वतंत्र घटनाएँ नहीं हैं क्योंकि संख्या सम होना और संख्या लाल होना अलग-अलग घटनाएँ नहीं हैं।
प्रश्न:
एक हॉस्टल में, छात्रों में से 60% हिंदी अख़बार पढ़ते हैं, 40% अंग्रेज़ी अख़बार पढ़ते हैं और 20% हिंदी और अंग्रेज़ी अख़बार दोनों पढ़ते हैं। एक छात्र को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। (a) उनकी संभावना का पता करें कि वह ना हिंदी और ना अंग्रेज़ी अख़बार पढ़ता है। (b) यदि वह हिंदी अख़बार पढ़ता है, तो उसकी संभावना का पता करें कि वह अंग्रेज़ी अख़बार पढ़ता है। (c) यदि वह अंग्रेज़ी अख़बार पढ़ता है, तो उसकी संभावना का पता करें कि वह हिंदी अख़बार पढ़ता है। A 0.56,0.78,0.76 B 0.20,0.33,0.50 C 0.65,0.45,0.34 D 0.56,0.56,0.65
उत्तर:
उत्तर: D 0.56,0.56,0.65
प्रश्न:
A और B द्वारा अलग-अलग संभावना का प्राप्त होने का प्रायिकता 1/2 और 1/3 है। अगर दोनों अलगावबादी संघर्ष करने की कोशिश करें, तो संभावना का पता करें कि (i) समस्या का हल होता है (ii) केवल उनमें से एक हल करता है। A 0.67,0.78 B 0.66,0.50 C 0.67,0.98 D 0.66,0.44
उत्तर:
उत्तर: D. 0.66, 0.44
प्रश्न:
एक पैक में से दो कार्ड यादृच्छिक रूप से और बिना पुनर्स्थापन से खींचे जाते हैं। पांचालिका के 52 खेलने के कार्ड में से दोनों कार्डों का प्रत्यायात्मक पता करें कि वे कार्ड काले हैं।
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: 52 खेल के कार्डों में से दो कार्ड खींचने की कुल संभावित परिणामों की गणना करें।
एक पैक के 52 कार्ड होते हैं, और हम बिना पुनर्स्थापन के दो कार्ड खींच रहे हैं, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या 52 × 51 = 2,652 होती है।
चरण 2: दो कार्डों से पैदा होने वाले परिणामों की संख्या का पता करें जो दो काले कार्डों के होते हैं।
एक पैक के 26 काले कार्ड होते हैं, और हम बिना पुनर्स्थापन के दो कार्ड खींच रहे हैं, तो दो काले कार्डों के परिणामों की संख्या 26 × 25 = 650 होती है।
चरण 3: दो काले कार्डों को खींचने की संभावना का पता करें।
दो काले कार्डों को खींचने की संभावना 650/2652 होती है, जो 0.246 के बराबर होती है।
प्रश्न:
दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र होंगी, अगर A A और B में विपरीत घटनाएँ हैं B P(A’ B’) = [1 - P(A)][1 - P(B)] C P(A) = P(B) D P(A) + P(B) = 1
उत्तर:
A) असत्य B) असत्य C) सत्य D) सत्य
प्रश्न:
एक पैर के डाइस को फेंकने पर प्रत्येक डाइस पर समय संख्या प्राप्त करने की संभावना होती है A 0 B 1/3 C 1/12 D 1/36
उत्तर:
उत्तर: C 1/12
प्रश्न:
एक तालिका में 15 संतरे हैं, जिनमें से 12 अच्छे हैं और 3 खराब हैं। अगर तीन संतरे बिना पुन: चयन किए जाएं तो एक डिब्बे को अनुमोदन किया जाएगा, वरना वह रद्द किया जाएगा। जांचें कि विक्रय के लिए वाकई एक डिब्बे का प्रायिकता क्या है।
उत्तर:
उत्तर: 0
स्पष्टीकरण: यदि A और B अलग-अलग घटनाएं हैं, तो P(A∩B) = P(A) x P(B)
इसलिए, P(A∩B) = 3/5 x 1/5 = 3/25
100P(A∩B) = 100 x 3/25 = 0
प्रश्न:
एक अच्छी तरह से मिश्रित ताश के 52 कार्डों की मदद से एक कार्ड रैंडमली खींचा जाता है। निम्नलिखित मामलों में से कितने मामलों में घटनाएं E और F स्वतंत्र हैं? (ई) E: ‘खींचा गया कार्ड कांवल है’ F: ‘खींचा गया कार्ड एक ऐसे हैं’ (आईआई) E: ‘खींचा गया कार्ड काला है’ F: ‘खींचा गया कार्ड राजा है’ (आईआईआई) E: ‘खींचा गया कार्ड राजा या रानी है’ F: ‘खींचा गया कार्ड रानी या जैक है’
उत्तर:
(ई) E और F स्वतंत्र नहीं हैं क्योंकि E और F का साथ होने वाला प्रायिकता (P(E और F)) E और F अलग-अलग होने की प्रायिकता (P(E) x P(F)) से अलग है। E और F का साथ होने का प्रायिकता 1/52 है, जबकि E और F की प्रायिकता अलग-अलग होने की प्रायिकता 1/4 x 1/13 = 1/52 है।
(आईआई) E और F स्वतंत्र नहीं हैं क्योंकि E और F का साथ होने वाला प्रायिकता (P(E और F)) E और F अलग-अलग होने की प्रायिकता (P(E) x P(F)) से अलग है। E और F का साथ होने का प्रायिकता 1/26 है, जबकि E और F की प्रायिकता अलग-अलग होने की प्रायिकता 1/2 x 1/4 = 1/8 है।
(आईआईआई) E और F स्वतंत्र हैं क्योंकि E और F का साथ होने वाला प्रायिकता (P(E और F)) E और F अलग-अलग होने की प्रायिकता (P(E) x P(F)) के बराबर है। E और F का साथ होने का प्रायिकता 1/16 है, जबकि E और F की प्रायिकता अलग-अलग होने की प्रायिकता 1/4 x 1/4 = 1/16 है।
प्रश्न:
एक मिश्रण बॉक्स से रिप्लेसमेंट के साथ दो गेंद रैंडमली खींचे जाते हैं, जिसमें 10 काले और 8 लाल गेंद होते हैं। निम्नलिखित प्रायिकता निकालें (ई) दोनों गेंद लाल हैं। (गया) पहली गेंद काली है और दूसरी लाल है। (आईआईआई) उनमें से एक काली है और दूसरी लाल है। ए 0.56, 0.75, 0.67 बी 0.46, 0.56, 0.36 सी 0.56, 0.76, 0.76 डी 0.19, 0.24, 0.49
उत्तर:
उत्तर: सी 0.56, 0.76, 0.76
प्रश्न:
एक इंसा रहता है कि एक इंसा रेटियों की सिकुट और एक अप्रतिस्थित डाई की चोटी देते हैं। जांचें कि क्या ए और बी स्वतंत्र घटनाएं हैं या नहीं. ए सही बी गलत
उत्तर:
उत्तर: गलत
स्पष्टीकरण: A और B स्वतंत्र घटनाओं नहीं हैं क्योंकि एक घटना (A) का परिणाम दूसरी घटना (B) का परिणाम पर प्रभाव डालता है। उदाहरण के लिए, अगर सिकुट सर्केल पर लेट-गाइड पर आती है, तो डाई कोतवाली मुस्सों पर ही होनी चाहिए ताकि दोनों घटनाएं सत्य हो सकें।
प्रश्न:
एंद्रियंगिक दो घटनाओं ए और ब के रूप में दिया गया है कि P(A)=21, P(A∪B)=53 और P(B)=p। यदि वे (ई) म्युच्युअली एकसंयोग (आईआई) संस्थापित हैं, तो पी पता करें। ए 0.5,0.6 बी 0.1,0.2 सी 0,2,0.4 डी 0.1,0.6
उत्तर:
उत्तर: (ई) म्युच्युअली एकसंयोग: p = 0.1
(आईआई) स्वतंत्र: p = 0.2
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