शीक्षा संभावना विविध अभ्यास (Shiksha Sambhāvnā Vividh Abhyās)
सवाल:
सप्ताह के केवलांग प्रवृत्ति ने 25 बॉलों को संचय में रखा है जिसमें से 10 बॉल का नोट दिया है ‘X’ और शेष 15 बॉलों का नोट दिया है ‘Y’. उस में से एक बॉल को याद किया जाता है और इसे पुनः स्थानांतरित किया जाता है. इस तरीके से 6 बॉल खींचे जाते हैं, तो निम्नलिखित प्रायिकता निर्धारित करें: (i) सभी ‘X’ नोट रखने वाले जाने वाले 6 बॉलों की प्रायिकता (ii) 2 से अधिक बॉलों में ‘Y’ नोट रखने वाले नहीं होंगे इस प्रायिकता (iii) कम से कम एक बॉल में ‘Y’ नोट रखने वाले 1 की प्रायिकता (iv) ‘X’ नोट रखने वाले और ‘Y’ नोट रखने वाले बॉलों की संख्या बराबर होगी।
उत्तर:
(i) सभी 6 बॉल जो खींचे गए ‘X’ नोट रखने वाले होंगे, उनकी प्रायिकता (10/25)6 होगी।
(ii) 6 बॉलों में से 2 से अधिक ‘Y’ नोट रखने वाले नहीं होंगे इस प्रायिकता (15/25)2 * (10/25)^4 होगी।
(iii) कम से कम एक बॉल में ‘Y’ नोट रखने वाले होंगे, इस प्रायिकता 1 - (10/25)6 होगी।
(iv) ‘X’ नोट रखने वाले और ‘Y’ नोट रखने वाले बॉलों की संख्या बराबर होगी इस प्रायिकता (15/25)3 * (10/25)3 होगी।
सवाल:
एक इलेक्ट्रॉनिक असेंबली में दो सबसिस्टम, कहें तो ए और बी होते हैं। पिछले परीक्षण प्रक्रियाओं से, निम्नलिखित प्रायिकताएं ज्ञात मान ली जाती हैं: P(A) खराब होजाएँगे =0.2 P(B) के साथ खराब होजाएँगे =0.15P(A और B) खराब होजाएँगे =0.15 निम्नलिखित प्रायिकताओं की मूल्यांकन करें: (i) P(A या B खराब होजाएँगे) (ii) P (A के साथ खराब होजाएँगे)
उत्तर:
(i) P(A खराब होजाएँगे या B खराब होजाएँगे) = P(A खराब होजाएँगे) + P(B खराब होजाएँगे) - P(A और B खराब होजाएँगे) = 0.2 + 0.15 - 0.15 = 0.2
(ii) P(A के साथ खराब होजाएँगे) = P(A खराब होजाएँगे) - P(A और B खराब होजाएँगे) = 0.2 - 0.15 = 0.05
सवाल:
एक जोड़ी के पास दो बच्चे हैं, (i) यह प्रायिकता जानें कि दोनों बच्चे पुरुष होंगे, यदि इस बात मालूम है कि इनमें से कम से कम एक बच्चा पुरुष है। (ii) यह प्रायिकता जानें कि दोनों बच्चे महिलाएं होंगे, यदि यह मालूम हो कि बड़े बच्चा महिला है। A 0.55,0.38 B 0.33,0.50 C 0.67,0.78,
If P(A∣B)>P(A), it means that the probability of event A occurring given that event B has occurred is greater than the probability of event A occurring on its own.
In other words, the occurrence of event B increases the likelihood of event A.
Thus, P(B∣A) refers to the probability of event B occurring given that event A has occurred. In this case, P(B∣A) must be greater than P(B) to satisfy the condition P(A∣B)>P(A).
Therefore, option C, P(B∣A)>P(B), is correct.
Given: P(A|B) > P(A)
हम फार्मूला P(A|B) = P(A∩B)/P(B) का उपयोग कर सकते हैं
क्योंकि P(A|B) > P(A), तो P(A∩B) > P(A)⋅P(B)
इसलिए, विकल्प C सही है: P(B|A) > P(B)।
सवाल:
कितनी कम बार एक आदमी कोइन (coin) फेंकना चाहिए ताकि कम से कम एक सिक्का काने की संभावना 90% से अधिक हो?
जवाब:
जवाब:
स्टेप 1: सवाल को समझें: सवाल यह पूछ रहा है कि एक आदमी कोइन फेंकने की कम से कम संख्या क्या होनी चाहिए ताकि कम से कम एक सिक्का काने की संभावना 90% से अधिक हो।
स्टेप 2: प्रत्येक चाल में कम से कम एक सिक्का काने की संभावना की गणना करें: एकल चाल में कम से कम एक सिक्का काने की संभावना 50% है (क्योंकि यह एक निष्ठार्ण बटुए है)।
स्टेप 3: 90% से अधिक संभावना होने के लिए कम से कम फेंकों की गणना करें: 90% से अधिक संभावना होने के लिए, हमें कम से कम एक सिक्का काने की कुल संभावना की गणना करनी होगी। इसका उपयोग फार्मूला P(X≥1) = 1 - P(X=0) का उपयोग करके किया जा सकता है।
इसलिए, कम से कम फेंकों की गणना करने के लिए 10 फेंके चाहिए।
सवाल:
बैग I में 3 लाल और 4 काले गेंद हैं और बैग II में 4 लाल और 5 काले गेंद हैं। एक गेंद बैग I और बैग II से स्थानांतरित की जाती है और फिर बैग II से एक गेंद निकाली जाती है। यह निकली गेंद लाल रंग की पाई जाती है। 310 गुना गेंद स्थानांतरित होने की संभावना की गणना करें, जो काले रंग की होगी।
जवाब:
स्टेप 1: गेंद निकाली गई हो बैग II से लाल रंग की है की संभावना की गणना करें।
बैग II में लाल रंग की गेंदों की संख्या = 4 बैग II में कुल गेंदों की संख्या = 9
बैग II से निकाली गई गेंद लाल रंग की होने की संभावना = 4/9
स्टेप 2: संभावना की गणना करें की स्थानांतरित गेंद काले रंग की होने की है।
बैग I में काले रंग की गेंदों की संख्या = 4 बैग I में कुल गेंदों की संख्या = 7
स्थानांतरित गेंद काले रंग की होने की संभावना = 4/7
स्टेप 3: 310 गुना स्थानांतरित गेंद काले रंग की होने की संभावना की गणना करें।
310 गुना स्थानांतरित गेंद काले रंग की होने की संभावना = 310 x (4/7) = 440/7
सवाल:
एक हर्डल(gender) दौड़ में, एक खिलाड़ी को 10 हर्डलों को पार करना होता है। हर्डलों को पार करने की संभावना (probability) हर हर्डल के लिए 5/6 है। कम से कम कितनी हर्डलों को उन्हें गिरा देगें ?
जवाब:
जवाब: स्टेप 1: 8 हर्डलों को पार करने की संभावना (P(8)) की गणना करें। P(8) = (5/6)^8
स्टेप 2: 9 हर्डलों को पार करने की संभावना (P(9)) की गणना करें। P(9) = (5/6)^9
स्टेप 3: 10 हर्डलों को पार करने की संभावना (P(10)) की गणना करें। P(10) = (5/6)^10
स्टेप 4: उन्हें कनोच कराने की संभावना की गणना करें उन्हें कनोच कराने की संभावना = 1 - (P(8) + P(9) + P(10)) = 1 - ((5/6)^8 + (5/6)^9 + (5/6)^10) = 0.871
सवाल:
एक खेल में, एक आदमी जीतता है जब ताश की एक छक्का आती है और खोता है जब किसी अन्य संख्या आती है जब एक निष्ठारित डाई(tie) फेंकी जाती है। व्यक्ति ने निर्धारित किया है कि वह तीन बार डाई फेंकेगा लेकिन जब तक वह एक छक्का नहीं मिलता है तब तक छोड़ देगा। उसके जीतने / हारने का औमूतिक मूल्य क्या होगा?
जवाब:
जवाब: स्टेप 1: प्रत्येक फेंकी में छक्का आने की संभावना गणना करें। छक्का आने की संभावना = 1/6
अगले कदम: प्रत्येक फेंक में जीती गयी / खोई गयी राशि की योग्यता की अपेक्षित मान की गणना करें। प्रत्येक फेक की उम्मीदवारी की अपेक्षित मान = (1 रुपया x छह प्राप्त करने की संभावना) - (1 रुपया x छह प्राप्त न करने की संभावना) = (1 रुपया x 1/6) - (1 रुपया x 5/6) = 1/6 - 5/6 = -4/6
अगले कदम: तीन फेंक में जीती गयी / खोई गयी राशि की योग्यता की अपेक्षित मान की गणना करें। तीन फेंक की अपेक्षित मान = (-4/6) x 3 = -12/6 = -2 रुपये
सवाल:
अगर द्वितीय क्रमीय के प्रत्येक तत्व में से कोई भी ज़ीरो या एक्स हो सकता है, तो ज़रूरतमंद के मान का प्रायिकतापूर्णता का योग्यता होने की संभावना क्या होगी? (यह मान लेते हैं कि प्रायोज्यमान द्वीतीयक के प्रत्येक द्वारा अनुमान हेतु, प्रत्येक मान 1/2 की संभावना के साथ लिया जाता है)।
जवाब:
जवाब:
- प्रश्न में बहुपद की एक सेकंड पंक्ति और दुई स्तंभ होते हैं, जिसमें प्रत्येक तत्व या ० होता है या 1 होता है।
- बहुपद की मान 0, 1 या -1 हो सकती है।
- बहुपद की सकारात्मक होने की संभावना उस मान की संभावना के बराबर होती है जब बहुपद की मान 1 होती है।
- बहुपद की मान के संभाव्य मान होने की संभावना अर्थात पहली पंक्ति के दोनों तत्वों का एक्स एक्स लेने का संभाव्यता बाय पूर्णि होने के संभाव्यता के बराबर होती है।
- पहली पंक्ति में दोनों तत्वों का एक्स एक्स होने की संभावना (1/2) × (1/2) = 1/4 होती है।
- द्वितीय पंक्ति में दोनों तत्वों का एक्स एक्स होने की संभावना (1/2) × (1/2) = 1/4 होती है।
- इसलिए, बहुपद की मान के संभाव्य मान होने की संभावना पंक्तियों की दोनों की संभावना के गुणन के बराबर होती है, जो 1/4 × 1/4 = 1/16 होती है।
सवाल:
अगर A और B दो घटनाएं हैं जहाँ P(A)=0 है और P(B∣A)=1 है, तो A A⊂B B B⊂A C B=ϕ D A=ϕ
जवाब:
जवाब: B B⊂A
सवाल:
अगर A और B कोई भी दो घटनाएं हैं जहाँ P(A)+P(B)−P(AandB)=P(A), तो A P(B∣A)=1 B P(A|B)=1 C P(B∣A)=0 D P(A|B)=0
जवाब:
A) गलत B) गलत C) सही D) सही
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