संबंध और कार्यों का अभ्यास 01
सवाल:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों की ऐक्यता और प्रतिसारणशीलता की जांच करें: (i) f:N→N द्वारा दिए गए f(x)=x2 (ii) f:Z→Z द्वारा दिए गए f(x)=x2 (iii) f:R→R द्वारा दिए गए f(x)=x2 (iv) f:N→N द्वारा दिए गए f(x)=x3 (v) f:Z→Z द्वारा दिए गए f(x)=x3
उत्तर:
(i) f:N→N द्वारा दिए गए f(x)=x^2 ऐक्यता: संकेतात्मक नहीं है, क्योंकि f(2)=f(−2)=4 है। प्रतिसारणशीलता: पूर्णतः प्रतिसार्य नहीं है, क्योंकि हर किसी के लिए y∈N, f(x)=y इस पर x∈N ऐसा कोई x नहीं है।
(ii) f:Z→Z द्वारा दिए गए f(x)=x^2 ऐक्यता: संकेतात्मक नहीं है, क्योंकि f(2)=f(−2)=4 है। प्रतिसारणशीलता: पूर्णतः प्रतिसार्य नहीं है, क्योंकि हर किसी के लिए y∈Z, f(x)=y इस पर x∈Z ऐसा कोई x नहीं है।
(iii) f:R→R द्वारा दिए गए f(x)=x^2 ऐक्यता: संकेतात्मक नहीं है, क्योंकि f(2)=f(−2)=4 है। प्रतिसारणशीलता: पूर्णतः प्रतिसार्य है, क्योंकि हर किसी के लिए y∈R, f(x)=y के लिए कोई x∈R होता है।
(iv) f:N→N द्वारा दिए गए f(x)=x^3 ऐक्यता: संकेतात्मक नहीं है, क्योंकि f(2)=f(−2)=−8 है। प्रतिसारणशीलता: पूर्णतः प्रतिसार्य नहीं है, क्योंकि हर किसी के लिए y∈N, f(x)=y इस पर x∈N ऐसा कोई x नहीं है।
(v) f:Z→Z द्वारा दिए गए f(x)=x^3 ऐक्यता: संकेतात्मक नहीं है, क्योंकि f(2)=f(−2)=−8 है। प्रतिसारणशीलता: पूर्णतः प्रतिसार्य नहीं है, क्योंकि हर किसी के लिए y∈Z, f(x)=y इस पर x∈Z ऐसा कोई x नहीं है।
सवाल:
समय के एक विशेष समय पर एक नगर के मानवों के सेट A में संबंध R द्वारा दिया गया A में R={(x,y): x और y एक ही प्रांत में रहते हैं} 1-स्वत:च्छ कच्चा और परस्पर अनुक्रमिक पर नहीं 2-केवल स्वत:च्छ 3-केवल परस्परार्ध 4-ऐतिहासिक 5-कोई भी
उत्तर:
1-स्वत:च्छ कच्चा और परस्पर अनुक्रमिक पर नहीं: यह एक ऐतिहासिक संबंध नहीं है।
2-केवल स्वत:च्छ: यह एक ऐतिहासिक संबंध नहीं है।
3-केवल परस्परार्ध: यह एक ऐतिहासिक संबंध नहीं है।
4-ऐतिहासिक: यह एक ऐतिहासिक संबंध है।
5-कोई भी: इनमें से कोई नहीं।
सवाल:
f,g और h रीयल संख्याओं से रीयल संख्याओं के साथी हों। दिखाएं कि (i) (f+g)oh=foh+goh (ii) (f.g)oh=(foh).(goh)
उत्तर:
(i) (f+g)oh=foh+goh
सिद्धांत:
R पर कोई पदार्थ x हो।
तो, (f+g)oh(x) = (f+g)(h(x)) = f(h(x)) + g(h(x)) = foh(x) + goh(x) = foh + goh
इस प्रकार, (f+g)oh=foh+goh
(ii) (f.g)oh=(foh).(goh)
सिद्धांत:
R पर कोई पदार्थ x हो।
तो, (f.g)oh(x) = (f.g)(h(x)) = f(h(x)) . g(h(x)) = foh(x) . goh(x) = foh . goh
इस प्रकार, (f.g)oh=(foh).(goh)
सवाल:
दिखाएं कि हर एक संबंध R निम्नलिखित सेट A={x∈Z:0≤x≤12} में, (i) R={(a,b):∣a−b∣ को 4 की एक बहुल्यक दिया जाता है} (ii) R={(a,b):a=b} एक ऐतिहासिक संबंध है। प्रत्येक मामले में 1 से संबंधित सभी तत्व का सेट पता करें.
उत्तर:
(i) R={(a,b):|a-b| को 4 की एक बहुल्यक दिया जाता है}
R एक ऐतिहासिक संबंध होने का आदान-प्रदान करने के लिए दिखाना होगा कि यह स्वत:च्छ, परस्परार्ध, और प्रतिसंबद्ध है।
स्वत:च्छ: A में कोई तत्व a के लिए, (a,a) आवश्यक रूप से R में होना चाहिए। क्योंकि |a-a| भूमिका के 0 है, जो 4 की बहुल्यक है, इसलिए (a,a) R में है।
परस्परार्ध: A के किसी भी तत्व a और b के लिए, यदि (a,b) R में है, तो (b,a) R में भी होना चाहिए। क्योंकि |a-b| 4 की बहुल्यक है, तो |b-a| भी 4 की बहुल्यक होगा, इसलिए (b,a) R में है।
प्रतिसंबद्ध: A के किसी भी तत्व a, b, और c के लिए, यदि (a,b) R में है और (b,c) R में है, तो (a,c) R में होना चाहिए। क्योंकि |a-b| 4 की बहुल्यक है और |b-c| 4 की बहुल्यक है, तो |a-c| भी 4 की बहुल्यक होगा, इसलिए (a,c) R में है।
इस तरह, R एक ऐतिहासिक संबंध है।
(ii) R={(a,b):a=b}
R एक ऐतिहासिक संबंध है।
1 के संबंधित सभी तत्व का सेट: R={(1,1)}
A relation R on a set A = {1, 2, 3, 4, 5} can be given as R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}. This relation is symmetric since for every (x, y) ∈ R, (y, x) ∈ R. It is also transitive since for every (x, y) and (y, z) ∈ R, (x, z) ∈ R. However, it is not reflexive since (4, 5) and (5, 4) are not present in R.
Let R be a relation on the set A = {1, 2, 3} defined as R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}.
This relation is reflexive because for every element x in A, (x, x) is present in R. It is symmetric because for every (x, y) ∈ R, (y, x) ∈ R. However, it is not transitive because although (1, 2) and (2, 1) are both in R, (1, 1) is not in R.
3- Transitive only: A relation R is said to be transitive if (x,y)∈R and (y,z)∈R implies (x,z)∈R.
जवाब: 1- प्रतिस्पर्धात्मक: f(x) = f(y) के लिए x = y होता है। 2- लक्ष्यपूर्ण: प्रत्येक y व के लिए f(x) = y होता है। 3- द्विस्पर्धी: f(x) एक प्रतिस्पर्धात्मक और लक्ष्यपूर्ण फ़ंक्शन है।
जवाब: (i) f:R→R, f(x)=3−4x
यह फणक्शन प्रतिस्पर्धात्मक, लक्ष्यपूर्ण या द्विस्पर्धी नहीं है। इसलिए, यह फ़ंक्शन इंजेक्शिव नहीं है, क्योंकि f(1) = f(-1) = -1 होता है। यह भी सर्वत्र संपूर्ण नहीं है, क्योंकि k जैसा कोई x के लिए f(x) = 0 नहीं होता है। इसलिए, फ़ंक्शन द्विस्पर्धी नहीं है।
(ii) f:R→R, f(x)=1+x2
यह फणक्शन प्रतिस्पर्धात्मक, लक्ष्यपूर्ण या द्विस्पर्धी नहीं है। इसलिए, यह फ़ंक्शन इंजेक्शिव नहीं है, क्योंकि f(1) = f(-1) = 2 होता है। यह भी सर्वत्र संपूर्ण नहीं है, क्योंकि k जैसा कोई x के लिए f(x) = 0 नहीं होता है। इसलिए, फ़ंक्शन द्विस्पर्धी नहीं है।
प्रश्न: A नामक मानवों के समूह में से एक निश्चित समय पर एक निर्धारित नगर में व्यक्ति के बीच संबंध R जो एक आदमी शब्द की A में पिता है द्वारा व्यक्त किया जाता है द्वारा प्रदत्त है R = {(x, y): x पिता है} 1- प्रतिस्पर्धात्मक और परस्पर संबंधी लेकिन समरूप नहीं 2- स्वच्छ केवल 3- केवल परस्पर संबंधी 4- समता 5- कोई नहीं
जवाब: 1- प्रतिस्पर्धात्मक और परस्पर संबंधी लेकिन समरूप नहीं
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