प्रश्न:

i^ और j^ यूनिट वेक्टर हैं, जो x- और y- अक्ष के समान दिशा में हैं। i^+j^ और i^−j^ वेक्टरों का मान और दिशा क्या है? i^+j^ और i^−j^ की दिशा के अल्पवृत्त क्या है? वेक्टर A= 2i^+3j^ के घटक क्या हैं i^+j^ और i^−j^ की दिशा में? [आप ग्राफिकल विधि का उपयोग कर सकते हैं]

उत्तर:

1. i^+j^ वेक्टर का मान और दिशा: i^+j^ वेक्टर का मान √2 है और वेक्टर का दिशा x-अक्ष के साथ 45° के कोण पर है।

2. i^−j^ वेक्टर का मान और दिशा: i^−j^ वेक्टर का मान √2 है और वेक्टर का दिशा x-अक्ष के साथ -45° के कोण पर है।

3. वेक्टर A= 2i^+3j^ के घटक i^+j^ और i^−j^ की दिशा में: i^+j^ और i^−j^ की दिशा में वेक्टर A के घटक ग्राफिकल विधि का उपयोग करके निर्धारित किए जा सकते हैं। वेक्टर A के i^+j^ और i^−j^ की दिशा में घटक √2 और -√2 हैं।

प्रश्न:

एक युद्ध-विमान जोरदारी से 720 किलोमीटर प्रति घंटे की गति के साथ 1.5 किलोमीटर ऊंचाई पर हॉरिजॉन्टली उड़ रहा है और सीधे ऊपर से एक एंटी-एयरक्राफ्ट बन्दूक के ऊपर से लगातार बीत रहा है। मुख-लुगा गति 600 मीटर प्रति सेकंड है, जहां नाक की गति कोने के साथ 10 मीटर प्रति सेकंड की होती है। विमान को मारने के लिए बन्दूक को ऊपर से किस कोण पर चलाना चाहिए? विमान को मारने से बचने के लिए, कितनी कम ऊंचाई पर विमान को उड़ाना चाहिए? (g=10 मीटर प्रति सेकंड^2 लीजिए)

उत्तर:

1. विमान को एंटी-आयरक्राफ्ट बन्दूक के ऊपर से गुजरने में लगातार समय का हिसाब लगाएं: समय = दूरी / गति = 1.5 x 1000 / 720 = 2.08 घंटे

2. दिए गए समय में विमान द्वारा किए गए यात्रित का लगातार दूरी का हिसाब लगाएं: दूरी = गति x समय = 720 x 2.08 = 1488 किलोमीटर

3. बन्दूक को विमान को मारने के लिए किस कोण पर चलाना चाहिए: कोण = tan-1 (v/u) = tan-1 (600/1488) = 17.3°

4. विमान को मारने से बचने के लिए कितनी कम ऊचाई पर विमान को उड़ाना चाहिए: न्यूनतम ऊचाई = (v^2/2g) + 1.5 = (600^2/2 x 10) + 1.5 = 4.5 किलोमीटर

प्रश्न:

एक लंबे हॉल की छत 25 मीटर ऊंची है। 40 मीटर प्रति सेकंड के गति के साथ फेंके गए एक गेंद की अधिकतम आड़ान क्या है जब तक हॉल की छत को छूने से बचा जा सकता है?

उत्तर:

1. गेंद द्वारा छत तक पहुंचने के लिए लगातार समय निकालें: t = 25 मीटर / 40 मीटर प्रति सेकंड = 0.625 सेकंड

2. गेंद की अधिकतम आड़ान निकालें जिसमें गेंद t समय में यात्रा कर सकती है: d = v * t d = 40 मीटर प्रति सेकंड * 0.625 सेकंड = 25 मीटर

प्रश्न:

एक रस्सी के अंत में बंद एक पत्थर को 80 सेमी लंबी रस्सी के साथ नियमित गति से हॉरिजॉन्टल परिधि में घुमाया जाता है। यदि पत्थर 25 सेकंड में 14 परिवर्तन करता है, तो पत्थर के त्वरण का मान और दिशा क्या है?

उत्तर:

1. पत्थर की कोणीय वेग निकालें: कोणीय वेग = (14 परिवर्तन / 25 सेकंड) x (2π रेडियन / 1 परिवर्तन) = 2.8 रेडियन/सेकंड।

2. पत्थर की रैखिक वेग निकालें: रैखिक वेग = (2.8 रेडियन/सेकंड) x (80 सेमी/1 सेकंड) = 224 सेमी/सेकंड।

3. त्वरण का मान निकालें: त्वरण का मान = (रैखिक वेग)² / वृत्त का त्रिज्या = (224 सेमी/सेकंड)² / 80 सेमी = 56 सेमी/सेकंड²।

4. त्वरण की दिशा निकालें: त्वरण की दिशा वृत्त के केंद्र की ओर होती है।

जवाब:

नहीं, मात्रा और दिशा दोनों को ध्यान में रखने वाली कोई भी वस्तु आवश्यक रूप से एक वेक्टर नहीं होती है। एक वेक्टर का विशेषता मात्रा, दिशा और संचार को प्रभावित करने की क्षमता होती है।

एक शरीर की घूर्णन कि यदि घूमने की ध्यान दिशा को और घूरने के आवेग को जारी रखने से संकेतित किया जा सकता है, क्या वह किसी भी घूर्णन को एक वेक्टर बना देता है?

उत्तर:

नहीं, मात्रिका और दिशा दोनों वाली कोई भी मात्रा निर्देशी नहीं होती है। एक मात्रिका एक मात्रा और दिशा दोनों रखती है, लेकिन अन्य भौतिक मात्रियाँ जैसे बल, त्वरण और वेग भी मात्रा और दिशा दोनों रख सकती हैं।

नहीं, एक घुमाव इसे एक मात्रिका नहीं बनाता है। एक मात्रिका में एक निश्चित प्रारंभिक बिंदु और एक निश्चित दिशा होती है, जबकि एक घुमाव में निश्चित प्रारंभिक बिंदु या निश्चित दिशा नहीं होती है।

प्रश्न:

एक खुले मैदान में, एक मोटरयात्री हर 500m के बाद अपने बाएं तरफ 60o के कोण से मोड़ फ़ॉलो करता है। एक दिए गए मोड़ से शुरू होकर, तीसरे, छठे और आठवें मोड़ पर मोटरयात्री की स्थानांतरण की उपेक्षा करें। प्रत्येक मामले में मोटरयात्री द्वारा भूमि के कुल मार्ग की प्रदर्शिता को माप में तुलना करें।

उत्तर:

1. तीसरे मोड़ पर मोटरयात्री की स्थानांतरण 500m x 3 x cos60o = 1500m होती है।

2. छठे मोड़ पर मोटरयात्री की स्थानांतरण 500m x 6 x cos60o = 3000m होती है।

3. आठवें मोड़ पर मोटरयात्री की स्थानांतरण 500m x 8 x cos60o = 4000m होती है।

4. स्थानांतरण के मात्रा का माग भूमि परियोजित मार्ग की कुल लंबाई से कम होता है, क्योंकि मोटरयात्री एक घुमावदार मार्ग का पालन कर रही है।

प्रश्न:

एक आदमी जल में स्थानीयता में 4.0 km/hr की गति से तैर सकता है। वहाँ एक नदी है जिसकी चौड़ाई 1.0 km है, यदि नदी निरंतर 3.0 km/hr की गति से बहती है और वह नदी के प्रति बिंदुवर्ती तैरता है, तो उसे नदी को पार करने में कितना समय लगता है? जब वह दूसरे किनारे पहुंचता है, तो वह नदी की दूसरी ओर ज्यादा चलता है?

उत्तर:

1. नदी में आदमी की गति की गणना करें: नदी में आदमी की गति = 4.0 km/hr + 3.0 km/hr = 7.0 km/hr

2. नदी को पार करने में लगने वाला समय की गणना करें: नदी को पार करने में लगने वाला समय = 1.0 km/7.0 km/hr = 0.14285714 घंटे = 8.57 मिनट

3. नदी में चले जाने की दूरी की गणना करें: नदी में चले जाने की दूरी = गति x समय = 7.0 km/hr x 0.14285714 घंटे = 1.0 km

प्रश्न:

निम्नलिखित भौतिक मात्राओं के लिए कहें, कि क्या यह मात्रिका है या विभक्तिपूर्ण हैं: आयतन, भार, गति, त्वरण, घनत्व, मोल की संख्या, वेग, कोणीय आवृत्ति, स्थानांतरण, कोणीय वेग।

उत्तर:

आयतन: विभक्तिपूर्ण भार: विभक्तिपूर्ण गति: विभक्तिपूर्ण त्वरण: मात्रिका घनत्व: विभक्तिपूर्ण मोल की संख्या: विभक्तिपूर्ण वेग: विभक्तिपूर्ण कोणीय आवृत्ति: विभक्तिपूर्ण स्थानांतरण: मात्रिका कोणीय वेग: मात्रिका

प्रश्न:

दिया गया है a + b + c + d = 0, इनमें से कौन से कथन सही हैं। (a) a, b, c, d प्रत्येक एक शून्य वेक्टर होना चाहिए। (b) (a+c) की माग (b + d) की माग के बराबर होती है। (c) a की माग कभी b, c और d की माग के योग से अधिक नहीं हो सकती है। (d) यदि a और d संरेखित नहीं होते हैं, तो (b + c) a और d के चौपांच के तरफ स्थित होना चाहिए, और यदि वे संरेखित हैं, तो a और d के रेखा में होना चाहिए?

उत्तर:

उत्तर: (a) गलत (b) गलत (c) सही (d) गलत

प्रश्न:

(c) False. The acceleration vector of a particle in uniform circular motion is not a null vector. It is directed towards the center of the circle and has a magnitude equal to the square of the velocity divided by the radius of the circle.

(c) गलत। एक अभिकर्षण तत्व के लचीले वृत्ती गति में धारित एक चक्रवृत्ती औसतन एक शून्य तत्व नहीं है, बल्कि वृत्ती के केंद्र की ओर दिशाबद्ध होता है और इसे अभिकर्षणीय त्वरण के रूप में जाना जाता है।

प्रश्न:

विमान 3400 मीटर की ऊंचाई पर उड़ रहा है। अगर भूमि पर्यवेक्षण बिंदु द्वारा उड़ानों की स्थिति 10.0 सेकंड के अंतराल में 30° हो तो, विमान की गति क्या होगी?

उत्तर:

1. 10.0 सेकंड में विमान द्वारा यात्रा की दूरी ढूंढें: दूरी = (गति)(समय) दूरी = (गति)(10.0 सेकंड)

2. 10.0 सेकंड के अंतराल में उड़ानों द्वारा अवरोहित ज्या का लंबाई ढूंढें: ज्या की लंबाई = (2πr)(θ/360°) ज्या की लंबाई = (2π)(3400 मीटर)(30°/360°) ज्या की लंबाई = 1740 मीटर

3. विमान की गति की गणना करें: गति = (दूरी)/(समय) गति = (1740 मीटर)/(10.0 सेकंड) गति = 174 मि./से.

प्रश्न:

30° के कोण से क्षैतिज पर फेंके गए गोली भूमि पर 3.0 किलोमीटर दूर पहुँचती है। प्रोजेक्शन के कोण को समायोजित करके, क्या लक्ष्य 5.0 किलोमीटर दूर तक मारी जा सकती है? मुख स्पीड को स्थिर रखने के बारे में माफ करें, और हवा संचार से उपेक्षा करें।

उत्तर:

1. हां, एक व्यक्ति प्रोजेक्शन के कोण को समायोजित करके 5.0 किलोमीटर दूर का लक्ष्य मार सकता है।

2. नई प्रोजेक्शन के कोण को निर्धारित करने के लिए, हम तकरीबन प्रोजेक्टाइल गति के लिए गति के मत्रा को उपयोग कर सकते हैं: x = v₀cosθt

3. हम इस समीकरण को प्रोजेक्शन के कोण के लिए हल करने के लिए फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं: θ = cos⁻¹(x/v₀t)

4. हम दिए गए मानों को समीकरण में बदल सकते हैं: θ = cos⁻¹(5000/v₀*t)

5. फिर हम नए प्रोजेक्शन के कोण के लिए हल कर सकते हैं: θ = cos⁻¹(5000/v₀*t) = 45°

प्रश्न:

एक वेक्टर परिमाण और दिशा रखता है। क्या इसका अंतरिक्ष में स्थान होता है? क्या यह समय के साथ बदल सकता है? क्या दो बराबर वेक्टर एक ही अंतरिक्ष में अलग-अलग स्थानों पर अवश्ययी रूप से चिंता करेंगे? अपने उत्तर का समर्थन करने के लिए उदाहरण दें।

उत्तर:

जवाब:

हां, एक वेक्टर का अंतरिक्ष में स्थान होता है। यह वेक्टर दिशा और परिमाण की ओर चुंबक रूप में बदल सकता है।

नहीं, दो बराबर वेक्टर एक ही अंतरिक्ष में अलग-अलग स्थानों पर अवश्ययी रूप से चिंता करेंगे। उदाहरण के रूप में, दो बराबर वेक्टर ए और ब, जहां ए कोण (0,0) से (2,3) पहुँचने के लिए है और ब कोण (0,0) से (4,6) पहुँचने के लिए है। यद्यपि इन दोनों वेक्टरों की दिशा और परिमाण में समान है, लेकिन यह अलग-अलग स्थानों पर असर करेगा क्योंकि अलग-अलग अंतरिक्ष में है। उदाहरण के लिए, यदि इन दोनों वेक्टरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए बल का उपयोग किया जाता है, तो वेक्टर ए द्वारा प्रतिष्ठित बल गति (2,3) पर कार्य करेगा जबकि वेक्टर ब द्वारा प्रतिष्ठित बल (4,6) पर कार्य करेगा।

प्रश्न:

एक साइकिलिस्ट 27 किलोमीटर/किलोमीटर की गति से प्रवास कर रहा है। जब वह सड़क पर एक वृत्तीय मोड़ पर पहुंचता है, तो वह ब्रेक लगाता है और उसकी गति नियमित रूप से 0.50 मीटर/सेकंड के प्रतिशत से कम होती है। साइकिलिस्ट के वृत्तीय मोड़ पर शांतिप्राप्ति के मान और दिशा क्या होगी?

उत्तर:

1. साइकिलिस्ट की कक्षीय वेगों का गणना करें। कक्षीय वेग = (27 किलोमीटर/किलोमीटर) / (80 मीटर) = 0.3375 रैडियन/सेकंड

2. केरपेटेल गति की गणना करें। केंद्रीय गति = (0.3375 रेडियन/सेकंड)2 x 80 मीटर = 108.75 मीटर/सेकंड2

3. ब्रेकिंग के कारण गतिविधि की गणना करें। ब्रेकिंग के कारण गतिविधि = 0.50 मीटर/सेकंड2

4. गतिशील गति की गणना करें। गतिशील गति = केंद्रीय गति - ब्रेकिंग के कारण गतिविधि = 108.75 मीटर/सेकंड2 - 0.50 मीटर/सेकंड2 = 108.25 मीटर/सेकंड2

5. गतिशील गति की दिशा निर्धारित करें। गतिशील गति की दिशा केंद्रीय चक्रण केंद्र की ओर होती है।

प्रश्न:

दिखाएं कि, (क) एक प्रक्षेपित के लिए वेग और xx-अक्ष के बीच का कोण समय के रूप में यथार्थ है जो दिया जाता हैθ(t)=tan^−1(vo​y−gt​/vo​x)(बी) दिखाएं कि प्रक्षेपित कोण θo​ दिया जाता है θo​=tan^−1(4hm​​/R) जहां प्रतीकों का उपयोग होता है।

उत्तर:

(क) हम जानते हैं कि एक प्रक्षेपित के लिए गति का समीकरण दिया जाता है

x = xo + vox t

y = yo + voy t - 1/2 gt2

समय के साथ समीकरण का विभेदन करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

Vx = vox

Vy = voy - gt

वेग और xx-अक्ष के बीच का कोण दिया जाता है

θ(t) = tan-1 (Vy/Vx)

Vy और Vx के मानों को प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं

θ(t) = tan-1 [(voy - gt)/vox]

(ब) शून्य से प्रक्षेपण किया जाने वाले के लिए, xo = 0 और yo = 0 है।

इसलिए, प्रक्षेपण की चौड़ाई दिया जाता है

R = vox * t

यहां t प्रक्षेपण तक पहुँचने के लिए समय है।

अधिकतम ऊचाई पर, प्रक्षेपण की वेग शून्य होती है। इसलिए,

0 = voy - gt

t के लिए हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

t = voy / g

चौड़ाई के लिए समीकरण में t की मान अदायी जाती है, हम प्राप्त करते हैं

R = vox * voy / g

प्रक्षेपण कोण θo​ दिया जाता है

θo = tan-1 (4hm/R)

R के मान को स्थानांतरित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

θo = tan-1 (4hm/vox * voy / g)

इसलिए, शून्य से प्रक्षेपण किया जाने वाले के लिए प्रक्षेपण कोण θo​ दिया जाता है

θo = tan-1 (4hm/vox * voy / g)

प्रश्न:

इस सूची में निम्नलिखित दो स्केलर राशियों का चयन करें: बल, कोणीय प्राण, कार्य, वर्तमान, रैखिक प्राण, वैद्युत आवर्त, औसत वेग, चुंबक प्रमोमेन्ट, अभिसंगति वेग.

उत्तर:

उत्तर:

1. बल
2. वर्तमान

प्रश्न:

किसी वज्ञानिक विचारी के साथ, निम्नलिखित बीजगणितीय प्रकारों के साथ देखले-बखले होने के बारे में बताएं: (क) किसी दो गृह को जोड़ना, (बी) एक स्थानांतर तक एक ग्रामीण को एक वेग से जोड़ना , (केंद्रीय) किसी वेग को किसी ग्रामीण के द्वारा गुणा करना, (d) किसी दो स्केलर को गुणा करना, (e) किसी दो वेगों को जोड़ना, (एफ) एक वेग के टुकड़े को उसी वेग के साथ जोड़ना।

उत्तर:

(क) किसी दो स्केलरों को जोड़ना यथार्थ है। इसलिए स्केलर संख्याएं ऐसे अंकों हैं जिन्हें एक नए अंक के रूप में जोड़ा जा सकता है।

(बी) एक स्थानांतर तक एक वेग से एक स्केलर को जोड़ना यथार्थ है। इसलिए, एक स्केलर एक स्थानांतर वेग के साथ जोड़ा जा सकता है, जिसकी आयामिकता एक ही होती है।

(केंद्रीय) किसी वेग को किसी स्केलर द्वारा गुणा करना यथार्थ है। इसलिए, एक स्केलर एक वेग के साथ गुणा करने के कारण, वेग की आयामिकता का बदलाव होता है।

(d) किसी दो स्केलरों को गुणा करना यथार्थ है। इसलिए स्केलर संख्याएं एक दूसरे के साथ गुणा करके एक नए स्केलर का निर्माण करती हैं।

(e) किसी दो वेगों को जोड़ना यथार्थ है। इसलिए, दो वेगों को एक साथ जोड़ने से एक नया वेग मिलता है जिसके निर्धारित के आयामिकता के साथ।

(एफ) एक वेग के टुकड़ों को उसी वेग के साथ जोड़ना यथार्थ है। इसलिए, एक वेग के टुकड़ों को अपने ही वेग के साथ जोड़ने से एक नया वेग मिलता है।

(c) किसी भी वेक्टर को किसी भी स्केलर से गुणा करना मायने रखता है। इसका कारण यह है कि एक स्केलर एक ऐसी संख्या है जो एक वेक्टर को गुणा करने के लिए उपयोग की जा सकती है, जिससे नया वेक्टर एक ही दिशा के साथ लेकिन अलग स्थानिकता के साथ होता है।

(d) किसी भी दो स्केलर को गुणा करना मायने रखता है। इसका कारण यह है कि स्केलर एक ऐसी संख्या है जो एक नई संख्या पैदा करने के लिए एक साथ गुणा करने के लिए उपयोग की जा सकती है।

(e) किसी भी दो वेक्टर को जोड़ना मायने रखता है। इसका कारण यह है कि दो वेक्टरों को एक साथ जोड़ा जा सकता है, जिससे नया वेक्टर एक ही दिशा के साथ लेकिन अलग स्थानिकता के साथ पैदा होता है।

(f) एक वेक्टर के एक घटक को उसी वेक्टर में जोड़ना मायने रखता है। इसका कारण यह है कि एक वेक्टर के एक घटक को उसी वेक्टर में जोड़ा जा सकता है, जिससे नया वेक्टर एक ही मात्रा के साथ लेकिन अलग दिशा के साथ पैदा होता है।

प्रश्न:

एक बंदरगाह में, हवा की गति 72 किमी/घंटा है और बंदरगाह में एंकर लगा हुआ नाव के मीट में देखा जाता है। यदि नाव 51 किमी/घंटा की गति से उत्तर की ओर चलना शुरू करती है, तो नाव के मीट पर लगे झंडे की दिशा क्या होगी?

उत्तर:

1. नाव की योग्यता वेग की गणना करें, जो हवा की गति और नाव की गति के वेक्टर सम की जोड़ होती है।

2. उत्तरी दिशा के संबंध में योग्यता वेग का कोण निर्धारित करें।

3. नाव के मीट पर लगे झंडे की दिशा, योग्यता वेग की दिशा के बराबर होगी।

प्रश्न:

निम्नलिखित वेक्टर अच्छाईयों का ज्यामितिकीय या अन्यथा स्थापित करें: (a) ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ (b) ∣a+b∣≥∣∣a∣−∣b∣∣

उत्तर:

(a) एक और b दो वेक्टर हों। तभी, ∣a+b∣ = √[(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + … + (an+bn)^2]

अब, ∣a∣ = √[a1^2 + a2^2 + … + an^2] और ∣b∣ = √[b1^2 + b2^2 + … + bn^2] होते हैं।

इसलिए, ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

√[(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + … + (an+bn)^2] ≤ √[a1^2 + a2^2 + … + an^2] + √[b1^2 + b2^2 + … + bn^2]

यह असम्बद्धता त्रिकोणीय असमिकाएं स्थापित करके स्थापित की जा सकती है, जो किसी त्रिकोनीय और परलक्ष धारियके की लंबाई हमेशा तीसरे धारियके की लंबाई से कम होती है।

(b) एक और b दो वेक्टर हों। तभी, ∣a+b∣ = √[(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + … + (an+bn)^2]

अब, ∣a∣ = √[a1^2 + a2^2 + … + an^2] और ∣b∣ = √[b1^2 + b2^2 + … + bn^2] होते हैं।

इसलिए, ∣a+b∣≥∣∣a∣−∣b∣∣ को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

√[(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + … + (an+bn)^2] ≥ √[(a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2]

यह असम्बद्धता त्रिकोणीय असमिकाएं स्थापित करके स्थापित की जा सकती है, जो किसी त्रिकोणीय और परलक्ष धारियके की लंबाई हमेशा तीसरे धारियके की लंबाई से अधिक या बराबर होती है।

प्रश्न:

एक यात्री एक नए शहर में पहुंचता है और स्टेशन से एक होटल तक जाना चाहता है, जो स्टेशन से सीधे सड़क पर दूरी पर 10 किमी दूर स्थित है। एक बेईमान कैब सवार उसे एक घुमावदार मार्ग पर 23 किमी ले जाता है और 28 मिनट में होटल पर पहुंचता है। कैब की औसत गति क्या होगी? (b) औसत वेग का माग्निट्यूड क्या होगा? क्या दोनों बराबर हैं?

उत्तर:

(a) कैब की औसत गति = (23 किमी)/(28 मिनट) = 0.82 किमी/मिनट

(b) उस्तव वेग का महत्त्व = (10 किमी)/(28 मिनट) = 0.36 किमी/मिनट

नहीं, ये दोनों बराबर नहीं हैं।

प्रश्न:

क्या आप शून्य के साथ वेक्टर को जोड़ सकते हैं (a) एक दीर्घा की लंबाई, (b) एक समतल क्षेत्र, (c) एक गोला? समझाएँ।

जवाब:

(a) हां, आप एक लंबाई से शून्य को जोड़ सकते हैं। इसे सर्कल के वेक्टर समीकरण का उपयोग करके किया जा सकता है, जो xi + yj द्वारा दिया जाता है, यहां x और y सर्कल के केंद्र के संयम से हैं और r सर्कल का त्रिज्या है। इस समीकरण का उपयोग करके लंबाई को सर्कल के त्रिज्या के मान में निर्धारित किया जा सकता है।

(b) हां, आप एक समतल क्षेत्र के साथ शून्य को जोड़ सकते हैं। इसे समतल के वेक्टर समीकरण का उपयोग करके किया जा सकता है, जो ax + by + cz = d द्वारा दिया जाता है, यहां a, b, c और d समीकरण के सामान्यताएं हैं और x, y और z समतल पर किसी भी बिंदु की संयम हैं। इस समीकरण का उपयोग करके क्षेत्र को समीकरण के साथ मान में निर्धारित किया जा सकता है।

(c) हां, आप एक गोला के साथ शून्य को जोड़ सकते हैं। इसे गोला के वेक्टर समीकरण का उपयोग करके किया जा सकता है, जो (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 द्वारा दिया जाता है, यहां a, b और c गोला के केंद्र के संयम हैं और r गोला का त्रिज्या है। इस समीकरण का उपयोग करके गोला के पृष्ठीय क्षेत्र को त्रिज्या के मान में निर्धारित किया जा सकता है।