Mathematics is the art of saying many things in many different ways. - MAXWELL

5.1 भूमिका (Introduction)

पिछली कक्षाओं में हम एक चर और दो चर राशियों के समीकरणों तथा शाब्दिक प्रश्नों को समीकरणों में परिवर्तित करके हल करना सीख चुके हैं। अब हमारे मस्तिष्क में स्वभावतः यह प्रश्न उठता है कि “क्या शाब्दिक प्रश्नों को सदैव एक समीकरण के रूप में परिवर्तित करना संभव है?” उदाहरणतः आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाई 106 सेमी. से कम है, आपकी कक्षा में अधिकतम 60 मेज़ें या कुर्सियाँ या दोनों समा सकती हैं। यहाँ हमें ऐसे कथन मिलते हैं जिनमें ’ $<$ ’ (से कम), ‘>’ (से अधिक), ’ $\leq$ (से कम या बराबर) ’ $\geq$ (से अधिक या बराबर) चिह्न प्रयुक्त होते हैं। इन्हें हम असमिकाएँ (Inequalities) कहते हैं।

इस अध्याय में, हम एक या दो चर राशियों की रैखिक असमिकाओं का अध्ययन करेंगे। असमिकाओं का अध्ययन विज्ञान, गणित, सांख्यिकी, इष्टतमकारी समस्याओं (optimisation problems), अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान इत्यादि से संबंधित समस्याओं को हल करने में अत्यंत उपयोगी है।

5.2 असमिकाएँ (Inequalities)

हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:

(i) रवि 200 रुपये लेकर चावल खरीदने के लिए बाज़ार जाता है, चावल 1 किग्रा० के पैकेटों में उपलब्ध हैं। एक किलो चावल के पैकेट का मूल्य 30 रुपये है। यदि $x$ उसके द्वारा खरीदे गए चावल के पैकेटों की संख्या को व्यक्त करता हो, तो उसके द्वारा खर्च की गई धनराशि $30 x$ रुपये होगी। क्योंकि उसे चावल को पैकेटों में ही खरीदना है इसलिए वह 200 रुपये की पूरी धनराशि को खर्च नहीं कर पाएगा (क्यों?)। अतः

$$ \begin{equation*} 30 x<200 \tag{1} \end{equation*} $$

स्पष्टतः कथन (i) समीकरण नहीं है, क्योंकि इसमें समता (equality) का चिह्न (=) नहीं है। (ii) रेशमा के पास 120 रुपये हैं जिससे वह कुछ रजिस्टर व पेन खरीदना चाहती है। रजिस्टर का मूल्य 40 रुपये और पेन का मूल्य 20 रुपये है। इस स्थिति में यदि रेशमा द्वारा खरीदे गए रजिस्टर की संख्या $x$ तथा पेन की संख्या $y$ हो तो उसके द्वारा व्यय की गयी कुल धनराशि $(40 x+20 y)$ रुपये है। इस प्रकार हम पाते हैं कि

$$ \begin{equation*} 40 x+20 y \leq 120 \tag{2} \end{equation*} $$

क्योंकि इस स्थिति में खर्च की गयी कुल धनराशि अधिकतम 120 रुपये है। ध्यान दीजिए कथन (2) के दो भाग हैं।

$$ \text { और } \quad \begin{align*} & 40 x+20 y<120 \tag{3}\\ & 40 x+20 y=120 \end{align*} $$

कथन (3) समीकरण नहीं है, जबकि कथन (4) समीकरण है। उपरोक्त कथन जैसे (1), (2) तथा (3) असमिका कहलाते हैं।

परिभाषा 1 एक असमिका, दो वास्तविक संख्याओं या दो बीजीय व्यंजकों में ‘ $<$ ‘, ‘>’, ’ $\leq$ या ’ $\geq$ ’ के चिह्न के प्रयोग से बनती हैं।

$3<5 ; 7>5$ आदि संख्यांक असमिका के उदाहरण हैं। जबकि

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ इत्यादि शाब्दिक (चरांक) असमिका के उदाहरण हैं।

$3<5<7$ (इसे पढ़ते हैं 5,3 से बड़ा व 7 से छोटा है), $3 \leq x<5$ (इसे पढ़ते हैं $x, 3$ से बड़ा या बराबर है व 5 से छोटा है) और $2<y \leq 4$ द्वि-असमिका के उदाहरण हैं। असमिकाओं के कुछ अन्य उदाहरण निम्नलिखित हैं :

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

क्रमांक (5), (6), (9), (10) और (14) सुनिश्चित असमिकाएँ तथा क्रमांक (7), (8), (11), (12) और (13) असमिकाएँ कहलाती हैं। यदि $a \neq 0$ हो तो क्रमांक (5) से (8) तक की असमिकाएँ एक चर राशि $x$ के रैखिक असमिकाएँ हैं और यदि $a \neq 0$ तथा $b \neq 0$ हो तो क्रमांक (9) से (12) तक की असमिकाएँ दो चर राशियों $x$ तथा $y$ के रैखिक असमिकाएँ हैं। क्रमांक (13) और (14) की असमिकाएँ रैखिक नहीं हैं। वास्तव में यह एक चर राशि $x$ के द्विघातीय असमिकाएँ हैं, जब $a \neq 0$.

इस अध्याय में हम केवल एक चर और दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का अध्ययन करेंगे।

5.3 एक चर राशि के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण (Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variable and their Graphical Representation)

अनुभाग 6.2 के असमिका (1) अर्थात् $30 x<200$ पर विचार कीजिए। ध्यान दें, कि यहाँ $x$ चावल के पैकेटों की संख्या को व्यक्त करता है। स्पष्टतः $x$ एक ऋणात्मक पूर्णांक अथवा भिन्न नहीं हो सकता है। इस असमिका का बायाँ पक्ष $30 x$ और दायाँ पक्ष 200 है।

$x=0$ के लिए, बायाँ पक्ष $=30(0)=0<200$ (दायाँ पक्ष), जोकि सत्य है।

$x=1$ के लिए, बायाँ पक्ष $=30(1)=30<200$ दायाँ पक्ष), जोकि सत्य है।

$x=2$ के लिए, बायाँ पक्ष $=30(2)=60<200$, जो कि सत्य है।

$x=3$ के लिए, बायाँ पक्ष $=30(3)=90<200$, जो कि सत्य है।

$x=4$ के लिए, बायाँ पक्ष $=30(4)=120<200$, जो कि सत्य है।

$x=5$ के लिए, बायाँ पक्ष $=30(5)=150<200$, जो कि सत्य है।

$x=6$ के लिए, बायाँ पक्ष $=30(6)=180<200$, जो कि सत्य है।

$x=7$ के लिए, बायाँ पक्ष $=30(7)=210<200$, जो कि असत्य है।

उपर्युक्त स्थिति में हम पाते हैं कि उपर्युक्त असमिका को सत्य कथन करने वाले $x$ के मान केवल $0,1,2,3,4,5$ और 6 हैं। $x$ के उन मानों को जो दिए असमिका को एक सत्य कथन बनाते हों, उन्हें असमिका का हल कहते हैं। और समुच्चय $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ को हल समुच्चय कहते हैं।

इस प्रकार, एक चर राशि के किसी असमिका का हल, चर राशि का वह मान है, जो इसे एक सत्य कथन बनाता हो।

हमने उपर्युक्त असमिका का हल ‘प्रयास और भूल विधि’ (trial and error method) से प्राप्त किया है। जो अधिक सुविधाजनक नहीं है। स्पष्टतः यह विधि अधिक समय लेने वाली तथा कभी-कभी संभाव्य नहीं होती है। हमें असमिकाओं के हल के लिए अधिक अच्छी या क्रमबद्ध तकनीक की आवश्यकता है। इससे पहले हमें संख्यांक असमिकाओं के कुछ और गुणधर्म सीखने चाहिए और असमिकाओं को हल करते समय उनका नियमों की तरह पालन करना चाहिए। आपको स्मरण होगा कि रैखिक समीकरणों को हल करते समय हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:

नियम 1 एक समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्याएँ जोड़ी (अथवा घटाई) जा सकती हैं।

नियम 2 एक समीकरण के दोनों पक्षों में समान शून्येतर संख्याओं से गुणा (अथवा भाग) किया जा सकता है।

असमिकाओं को हल करते समय हम पुनः इन्हीं नियमों का पालन तथा नियम 2 में कुछ संशोधन के साथ करते हैं। अंतर मात्र इतना है कि ॠणात्मक संख्याओं से असमिका के दोनों पक्षों को गुणा (या भाग) करने पर असमिका के चिह्न विपरीत हो जाते हैं (अर्थात् ’ $<$ ’ को $>$, ’ $\leq$ को ’ $\geq$ ’ इत्यादि कर दिया जाता है)। इसका कारण निम्नलिखित तथ्यों से स्पष्ट है:

$3>2$ जबकि $-3<-2$

$-8<-7$ जबकि $(-8)(-2)>(-7)(-2)$, अर्थात् $16>14$

इस प्रकार असमिकाओं को हल करने के लिए हम निम्नलिखित नियमों का उल्लेख करते हैं:

नियम 1 एक असमिका के दोनों पक्षों में, असमिका के चिह्नों को प्रभावित किए बिना समान संख्याएँ जोड़ी (अथवा घटाई) जा सकती हैं।

नियम 2 किसी असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक संख्याओं से गुणा (या भाग) किया जा सकता है। परंतु दोनों पक्षों को समान ऋणात्मक संख्याओं से गुणा (या भाग, करते समय असमिका के चिह्न तदनुसार परिवर्तित कर दिए जाते हैं।

आइए अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

प्रश्नावली 5.1

1. हल कीजिए : $24 x<100$, जब

(i) $x$ एक प्राकृत संख्या है।

(ii) $x$ एक पूर्णांक है।

2. हल कीजिए: $-12 x>30$, जब

(i) $x$ एक प्राकृत संख्या है।

(ii) $x$ एक पूर्णांक है।

3. हल कीजिए: $5 x-3<7$, जब

(i) $x$ एक पूर्णांक

(ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।

4. हल कीजिए : $3 x+8>2$, जब

(i) $x$ एक पूर्णांक

(ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।

निम्नलिखित प्रश्न 5 से 16 तक वास्तविक संख्या $x$ के लिए हल कीजिए:

5. $4 x+3<6 x+7$

6. $3 x-7>5 x-1$

7. $3(x-1) \leq 2(x-3)$

8. $3(2-x) \geq 2(1-x)$

9. $x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}<11$

10. $\frac{x}{3}>\frac{x}{2}+1$

11. $\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}$

12. $\frac{1}{2} \frac{3 x}{5}+4 \geq \frac{1}{3}(x-6)$

13. $2(2 x+3)-10<6(x-2)$

14. $37-(3 x+5) \geq 9 x-8(x-3)$

15. $\frac{x}{4}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}$

16. $\frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{(3 x-2)}{4}-\frac{(2-x)}{5}$

प्रश्न 17 से 20 तक की असमिकाओं का हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए।

17. $3 x-2<2 x+1$

18. $5 x-3 \geq 3 x-5$

19. $3(1-x)<2(x+4)$

20. $\frac{x}{2} \geq \frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}$

21. रवि ने पहली दो एकक परीक्षा में 70 और 75 अंक प्राप्त किए हैं। वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए, जिसे वह तीसरी एकक परीक्षा में पाकर 60 अंक का न्यूनतम औसत प्राप्त कर सके।

22. किसी पाठ्यक्रम में ग्रेड ’ $\mathrm{A}$ ’ पाने के लिए एक व्यक्ति को सभी पाँच परीक्षाओं (प्रत्येक 100 में से) में 90 अंक या अधिक अंक का औसत प्राप्त करना चाहिए। यदि सुनीता के प्रथम चार परीक्षाओं के प्राप्तांक $87,92,94$ और 95 हों तो वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए जिसें पांचवीं परीक्षा में प्राप्त करके सुनीता उस पाठ्यक्रम में ग्रेड ’ $A$ ’ पाएगी।

23. 10 से कम क्रमागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनके योगफल 11 से अधिक हों।

24. क्रमागत सम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक 5 से बड़े हों, तथा उनका योगफल 23 से कम हो।

25. एक त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा की तीन गुनी है तथा त्रिभुज की तीसरी भुजा सबसे बड़ी भुजा से 2 सेमी कम है। तीसरी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञात कीजिए जबकि त्रिभुज का परिमाप न्यूनतम 61 सेमी है।

26. एक व्यक्ति 91 सेमी लंबे बोर्ड में से तीन लंबाईयाँ काटना चाहता है। दूसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई से 3 सेमी अधिक और तीसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई की दूनी है। सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाईयाँ क्या हैं, यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम 5 सेमी अधिक लंबा हो?

[संकेत यदि सबसे छोटे बोर्ड की लंबाई $x$ सेमी हो, तब $(x+3)$ सेमी और $2 x$ सेमी क्रमशः दूसरे और तीसरे टुकड़ों की लंबाईयाँ हैं। इस प्रकार $x+(x+3)+2 x \leq 91$ और $2 x \geq(x+3)+5]$

अध्याय 5 पर विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1 से 6 तक की असमिकाओं को हल कीजिए:

1. $2 \leq 3 x-4 \leq 5$

2. $6 \leq-3(2 x-4)<12$

3. $-3 \leq 4-\frac{7 x}{2} \leq 18$

4. $-15<\frac{3(x-2)}{5} \leq 0$

5. $-12<4-\frac{3 x}{-5} \leq 2$

6. $7 \leq \frac{(3 x+11)}{2} \leq 11$.

प्रश्न 7 से 10 तक की असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए।

7. $5 x+1>-24,5 x-1<24$

8. $2(x-1)<x+5,3(x+2)>2-x$

9. $3 x-7>2(x-6), 6-x>11-2 x$

10. $5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 0,2 x+19 \leq 6 x+47$.

11. एक विलयन को $68^{\circ} \mathrm{F}$ और $77^{\circ} \mathrm{F}$ के मध्य रखना है। सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान का परिसर ज्ञात कीजिए, जहाँ सेल्सियस फारेनहाइट परिवर्तन सूत्र $\mathrm{F}=\frac{9}{5} \mathrm{C}+32$ है।

12. $8 %$ बोरिक एसिड के विलयन में $2 %$ बोरिक एसिड का विलयन मिलाकर तनु (dilute) किया जाता है। परिणामी मिश्रण में बोरिक एसिड $4 %$ से अधिक तथा $6 %$ से कम होना चाहिए। यदि हमारे पास $8 %$ विलयन की मात्रा 640 लिटर हो तो ज्ञात कीजिए कि $2 %$ विलयन के कितने लिटर इसमें मिलाने होंगे?

13. $45 %$ अम्ल के 1125 लिटर विलयन में कितना पानी मिलाया जाए कि परिणामी मिश्रण में अम्ल $25 %$ से अधिक परंतु $30 %$ से कम हो जाए?

14. एक व्यक्ति के बौद्धिक-लब्धि (IQ) मापन का सूत्र निम्नलिखित है:

$$ \mathrm{IQ}=\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{CA}} \times 100 $$

जहाँ MA मानसिक आयु और CA कालानुक्रमी आयु है। यदि 12 वर्ष की आयु के बच्चों के एक समूह की $\mathrm{IQ}$, असमिका $80 \leq \mathrm{IQ} \leq 140$ द्वारा व्यक्त हो, तो उस समूह के बच्चों की मानसिक आयु का परिसर ज्ञात कीजिए।

सारांश

एक असमिका, दो वास्तविक संख्याओं या दो बीजीय व्यंजकों में $<,>, \leq$ या $\geq$ के चिह्न के प्रयोग से बनती है।

एक असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी या घटायी जा सकती है।

किसी असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक, संख्या से गुणा (या भाग) किया जा सकता है। परंतु दोनों पक्षों को समान ऋणात्मक संख्याओं से गुणा (या भाग) करने पर असमिका के चिह्न तदनुसार बदल जाते हैं।

$x$ के उन मानों (Values) को जो दिऐ गए असमिका को एक सत्य कथन बनाते हों, उन्हें असमिका का हल कहते हैं।

$x<a$ (या $x>a)$ का संख्या रेखा पर आलेख खींचने के लिए संख्या रेखा पर संख्या $a$ पर एक छोटा सा वृत्त बनाकर, $a$ से बाईं (या दाईं) ओर की संख्या रेखा को गहरा काला कर देते हैं।

$x \leq a($ या $x \geq a)$ का संख्या रेखा पर आलेख खींचने के लिए संख्या रेखा पर संख्या $a$ पर एक छोटा काला वृत्त बनाकर $a$ से बाईं (या दाईं) ओर की संख्या रेखा को गहरा काला कर देते हैं।