Question:

आई^​इंज​ आक्षांसुना ​​एकइकाई बेकंडांच्या अपेक्षेने एक्स- आणि वाई- अक्षांच्या वारंवार आहेत. i^​+j^​असलेल्या आणि i^​-j^​नेहमीच्या वारंवारची मागणी आणि दिशा काय ​​आहे? एक वेगची A = 2i^​+ 3j^आणि दिशेने i^+j^​आणि i^​-j^​चे म्हणजे कोणते घटक आहेत? [तुम्ही ग्राफिकल पद्धती वापरू शकता]

Answer:

1. i^+j^​निकटतेची व्यासचौकणी आणि दिशा: दिशेने i^+j^​जलेल्या व्यासचौकणीचा माप √2 असतो आणि दिशेचा प्रतिदिन x-अक्षाप्रमाणे 45° आहे.

2. i^​-j^​निकटतेची व्यासचौकणी आणि दिशा: दिशेने i^​-j^​जलेल्या व्यासचौकणीचा माप √2 असतो आणि दिशेचा प्रतिदिन x-अक्षाप्रमाणे -45° आहे.

3. वेगचे A = 2i^​+ 3j^​नेहमीच्या विधानांनुसार i^+j^​आणि i^​-j^​च्या दिशेनुसार घटक निश्चित करण्याची आहे. वेगचे A i^+j^​आणि i^​-j^​च्या दिशेनुसार √2 आणि -√2 असतो.

Question:

एक लढामध्ये उत्क्षिप्त हवाई जहाज 1.5 km उंचीने हे वेग 720 km/h ने हॉलांच्या वरच्या अंतरिक्ष गोलागारावर मुळे पार पडतो. हवाई जहाजावर ध्वनिखर्ची वेग 600 m/s असल्यास, दि आधिकोप्याने किती कोनाकोन सुटावे? किती किमी उंचीने पायलट हवाई जहाजाना प्रभावित होण्यास टाळवावी? (g=10 मीटर/द्वितीय)

Answer:

1. जहाज हवाई जहाजाच्या वरच्या एंटी-एयरक्राफ्ट तुफानावर मागे जाऊन आल्याचे वेळ शिपारीमध्ये घेतले जाऊ शकते: वेळ लागते = अंतर/वेग = 1.5 x 1000/720 = 2.08 तास.

2. दिलेल्या वेळात जहाजाने चाललेल्या अंतरामध्ये जहाजाने चाललेला रेखांचे अंतर गणणे: अंतर = वेग x वेळ = 720 x 2.08 = 1488 किमी

3. हवाई जहाजावर ध्वनिखर्ची वेग 600 m/s असल्यास, तो पायलट हवाई जहाजास प्रभावित होण्यासाठी किती कोनाकोन सूच पाहणे आवश्यक आहे: कोन = तनवत (v/u) = तनवत (600/1488) = 17.3°

4. हवाई जहाजास प्रभावित न होण्यासाठी पायलटने हवाई जहाजाच्या न्यूनतम उंचीनुसार उडालेले असले पाहिजे: न्यूनतम उंची = (v^2/2g) + 1.5 = (600^2/2 x 10) + 1.5 = 4.5 किमी

Question:

एक लंब्हु मंडपानंतर एक डोके 25म उंचीसह 40m/s वेगाने फेकण्याचा प्रयत्न करणार्या एक चोळाचा कोणता किमान अनुपातमध्ये जाऊ शकतो?

Answer:

1. बॉलना जहाजाच्या छत्रीसाठी येण्यासाठी विसरलेले वेळ गणता: t = 25m / 40m/s = 0.625s

2. गोलागाराने त्याला जाऊ शकते असा जास्तीत जास्त कोणता क्षेत्र: d = v x t

d = 40m/s x 0.625s = 25m

Question:

एक दोरीत बांधलेला पाणीकरीता 80 सेमीवजनाचा कोणताही क्षेत्रांत नेहमीच्या गतीवर लटकते. जर दोरीने 25 सेकंदांत 14 परिपट्यांमध्ये हलवले तर, दोरीच्या संवेदकाच्या वेगाचे मापक आणि दिशा काय ​​आहे?

Answer:

1. दोरीच्या जुळण्याची आवृत्ती गणना करा: आवृत्ती = (14 परिपट्या/25 सेकंदे) x (2π रेडियन/1 परिपट्या) = 2.8 रेडियन/सेकंद.

2. दोरीच्या लघुवृत्तीचे माप गणना करा: लघुवृत्ती = (2.8 रेडियन/सेकंद) x (80 सेमी/1 सेकंद) = 224 सेमी/सेकंद.

3. वेगाच्या मागकाचे माप गणना करा: वेगाचे माप = (लघुवृत्ती)²/कोरीच्या वृत्ताचे त्रिज्या = (224 सेमी/सेकंद)²/80 सेमी = 56 सेमी/सेकंद².

4. वेगाच्या दिशेचे मापक जाणा: वेगाच्या दिशेचे मायला त्याच्या वृत्ताच्या केंद्रावर येणार आहे.

Question:

एक कण की स्थिति निम्नलिखित रूप में दी गई है: r=3.0ti^−2.0t2j^​+4.0k^m, यहां t सेकंड में है और r मीटर में होने के लिए तार्किक इकाइयों की कोई हैं। (क) कण की वेग व और गति का पता लगाइए ? (ख) t=2.0 s पर कण की वेग का मात्रात्मक मान और दिशा क्या हैं ?

Answer:

(क) v = 6.0ti^−4.0t2j^+0k^ m/s a = -12.0ti^−6.0t2j^+0k^ m/s^2

(ख) वेग का मात्रात्मक मान = 8.944 m/s वेग की दिशा = 45°

Question:

एक कण समय t=0 s पर मौजूदे आदि से आरम्भ होता है जिसकी बेगति 10.0 j^​ m/s होती है और x-y तस्वीर में (8.0i^+2.0j^​) m/s^2 की निरंतर गति से आगे बढ़ता है। (क) कण के x- coordinate 16 m हो तो कितने समय पर होगा? उस समय पर कण की y-coordinate क्या होगी? (ख) उस समय पर कण की गति क्या होगी?

Answer:

क) t=2s पर, कण का x- coordinate 16 m होगा। उस समय पर कण की y-coordinate 24 m होगी।

ख) उस समय पर कण की गति 28 m/s होगी।

Question:

अंतरिक्ष में किसी भी स्वेच्छिक गति के लिए, निम्नलिखित रिश्ते सच्चे होंगे या नहीं: ए) vaverage​=(1/2)(v(t1​)+v(t2​)) ब) vaverage​=[r(t2​)−r(t1​)]/(t2​−t1​) सी) v(t)=v(0)+at डी) r(t)=r(0)+v(0)t+(1/2)at^2 ई) aaverage​=[v(t2​)−v(t1​)]/(t2​−t1​) ‘average’ का अर्थ होता है कि t1​ से t2​ के बीच के समय अवधि के लिए मात्रात्मक

Answer:

ए) सच्चा ब) सच्चा सी) सच्चा डी) सच्चा ई) गलत

Question:

हर वाक्य को ध्यान से पढ़ें और कहें, कारण और उदाहरण के साथ, क्या यह सच है या झूठ : स्केलर योग्यता ऐसी होती है जो ; ए) किसी प्रक्रिया में संरक्षित होती है। ब) कभी नकारात्मक मान नहीं ले सकती सी) आवश्यक रूप से बिना आयाम होनी चाहिए। ड) एक स्थान से दूसरे स्थान तक बदलती नहीं है। ई) समकक्ष धुरी के बारे में विभिन्न अक्षों के कर्मचारियों के लिए एक ही मूल्य होता है।

Answer:

ए) झूठा। स्केलर योग्यता ऐसी होती है जिसमें दिशा नहीं होती है और एक ही मान से वर्णित की जा सकती है। स्केलर योग्यताओं के उदहारण में गति, मास, तापमान और समय शामिल होते हैं। हालांकि, स्केलर योग्यताएं सभी प्रक्रियाओं में संरक्षित नहीं होती हैं। उदाहरण के रूप में, ऊर्जा एक स्केलर योग्यता है, लेकिन यह सभी प्रक्रियाओं में संरक्षित नहीं होती है।

ब) झूठा। एक स्केलर योग्यता नकारात्मक मान ले सकती है। उदाहरण के रूप में, तापमान नकारात्मक मान ले सकता है (0°C से नीचे)।

सी) झूठा। एक स्केलर योग्यता को आयाम होने की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के रूप में, गति का SI इकाई प्रति सेकंड (m/s) है।

ड) सच्चा। एक स्केलर योग्यता एक स्थान से दूसरे स्थान तक बदलती नहीं है। उदाहरण के रूप में, एक कमरे में तापमान एक स्केलर योग्यता है और उसकी मान एक ही होती है स्थान के सभी बिंदुओं पर।

ई) सच्चा। एक स्केलर योग्यता विभिन्न अक्षों के कर्मचारियों के लिए एक ही मूल्य होता है। उदाहरण के रूप में, एक कमरे में तापमान एक स्केलर योग्यता है और व्यक्ति के अक्ष के अवधारणा से कोई फर्क नहीं पड़ता।

Question:

एक वेक्टर में मात्रात्मक मान और दिशा दोनों होते हैं। क्या यह इसका मतलब है कि कोई भी वस्तु जो मात्रात्मक मान और दिशा रखती है वास्तव में एक वेक्टर होती है? क्या किसी भी घूर्णन कोई न कोई वेक्टर होती है जोड़ सकती है?

उत्तर: नहीं, कोई भी ऐसी मात्रा जिसकी मात्रा और दिशा हो, आवश्यक रूप से एक वेक्टर नहीं होती। एक वेक्टर एक मात्रा और दिशा दोनों रखता है, लेकिन एक अन्य भौतिक राशि जैसे बल, त्वरण और वेग भी मात्रा और दिशा दोनों रख सकते हैं।

नहीं, एक परिवर्तन इसे एक वेक्टर नहीं बनाता है। एक वेक्टर को एक निश्चित प्रारंभिक बिंदु और एक निश्चित दिशा होनी चाहिए, जबकि एक परिवर्तन का निश्चित प्रारंभिक बिंदु और निश्चित दिशा नहीं होती है।

प्रश्न: एक खुले मैदान पर, एक मोटरचालक 500m के बाद अपनी बाएं ओर 60° के एक कोण बनाने वाले पथ का पालन करता है। एक दिए गए मोड़ पर से चलने पर, तीसरे, छठे और आठवें मोड़ पर मोटरचालक का स्थानांतरण निर्दिष्ट करें। प्रत्येक मामले में मोटरचालक द्वारा कवर की गई कुल पथ की मात्रा के साथ तुलना करें।

उत्तर:

1. तीसरे मोड़ पर मोटरचालक का स्थानांतरण 500m x 3 x cos60° = 1500m है।

2. छठे मोड़ पर मोटरचालक का स्थानांतरण 500m x 6 x cos60° = 3000m है।

3. आठवें मोड़ पर मोटरचालक का स्थानांतरण 500m x 8 x cos60° = 4000m है।

4. स्थानांतरण की मात्रा प्रत्येक मामले में मोटरचालक द्वारा कवर की गई कुल पथ की मात्रा से कम है क्योंकि मोटरचालक एक मँझधारी पथ का पालन कर रहा है।

प्रश्न: एक आदमी ठंडी में 4.0 किमी/घंटा की गति से तैर सकता है। यदि नदी विनम्रता से 3.0 किमी/घंटा की गति से बहती है और वह नर्मलता से नदी के विपरीत तरंग बनाता है, तो उसे नदी पार करने के लिए कितना समय लगता है? जब वह दूसरे किनारे पहुँचता है, तो वह नदी के किनारे कितनी दूर जाता है?

उत्तर:

1. नदी में कम करने की आदमी की गति की गणना करें: नदी में आदमी की गति = 4.0 किमी/घंटा + 3.0 किमी/घंटा = 7.0 किमी/घंटा

2. नदी पार करने के लिए समय गणित करें: नदी पार करने के लिए समय = 1.0 किमी/7.0 किमी/घंटा = 0.14285714 घंटे = 8.57 मिनट

3. नदी के किनारे तय किया गया दूरी का गणना करें: नदी के किनारे तय की गई दूरी = गति x समय = 7.0 किमी/घंटा x 0.14285714 घंटे = 1.0 किमी

प्रश्न: निम्नलिखित भौतिक राशियों के लिए यदि वे एक स्केलर हैं या एक वेक्टर हैं, तो राष्ट्रीय भाषा कीजिए: मात्रा, मास, गति, त्वरण, घनत्व, मोलों की संख्या, वेग, कोणीय आवृत्ति, स्थानांतरण, कोणीय वेग।

उत्तर: मात्रा: स्केलर मास: स्केलर गति: स्केलर त्वरण: वेक्टर घनत्व: स्केलर मोलों की संख्या: स्केलर वेग: वेक्टर कोणीय आवृत्ति: स्केलर स्थानांतरण: वेक्टर कोणीय वेग: वेक्टर

प्रश्न: दिया गया है a + b + c + d = 0, निम्नलिखित कथनों में से कौन सही हैं? (a) a, b, c, d हर एक एक शून्य वेक्टर होने चाहिए, (b) (a+c) की मात्रा (b + d) की मात्रा के बराबर होती है, (c) a की मात्रा कभी b, c और d की मात्राओं के योग से अधिक नहीं हो सकती है, (d) अगर a और d सांयोजनरेखा पर नहीं हैं तो (b + c) का स्थान a और d समलिन होना चाहिए, और अगर वे सांयोजनरेखा पर हैं तो सतत रेखा पर होना चाहिए?

उत्तर: उत्तर: (a) गलत (b) गलत (c) सही (d) गलत

प्रश्न:

(c) False. The acceleration vector of a particle in uniform circular motion is not a null vector. It is always directed towards the centre of the circle and has a magnitude equal to the centripetal acceleration.

(c) False. यद्यपि यूनिफ़ॉर्म वृत्तीय गति में एक कण के धारणीय केंद्रगति एक शून्य वेक्टर नहीं होती है, बल्कि वृत्त के केंद्र की ओर दिशा प्राप्त करती है और केंद्रगति के रूप में जानी जाती है।

सवाल:

एक विमान भूमि से 3400 मीटर ऊपर उड़ रहा है। यदि भूमि से 10.0 सेकंड की अंतराल पर विमान स्थानों द्वारा देखे गए कोण 30° है, तो विमान की गति क्या होगी?

उत्तर:

1. 10.0 सेकंड में विमान द्वारा यात्रा की गई दूरी ढूंढें: दूरी = (गति)(समय) दूरी = (गति)(10.0 सेकंड)

2. 10.0 सेकंड के अंतराल द्वारा दिखाने वाले विमान की चाप की लंबाई ढूँढें: केंद्र की लंबाई = (2πr)(θ/360°) केंद्र की लंबाई = (2π)(3400 मीटर)(30°/360°) केंद्र की लंबाई = 1740 मीटर

3. विमान की गति की गणना करें: गति = (दूरी)/(समय) गति = (1740 मीटर)/(10.0 सेकंड) गति = 174 मीटर/सेकंड

सवाल:

30° के अंतराल के साथ दर्पण की ढली कोआ भूमि को छूने में लगातार 3.0 किमी दूरी पर पहुंचता है। प्रोजेक्शन के कोण को समायोजित करके, क्या किसी को आशा हो सकती है कि 5.0 किमी दूरी पर एक लक्ष्य को मार सका? बंदूक की गति को स्थायी मान रखते हुए, और हवा प्रतिरोध को नजरअंदाज करें।

उत्तर:

1. हां, किसी प्रोजेक्शन के कोण को समायोजित करके, एक लक्ष्य को 5.0 किमी दूरी पर मारने की आशा हो सकती है।

2. नए प्रोजेक्शन के कोण की जानकारी के लिए, हम प्रोजेक्टाइल गति के लिए गति के मस्थानिकी के समीकरण का उपयोग कर सकते हैं: x = v₀cosθt

3. हम इस समीकरण को कोण के लिए हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: θ = cos⁻¹(x/v₀t)

4. हम दिए गए मानों को समीकरण में उपस्थित कर सकते हैं: θ = cos⁻¹(5000/v₀*t)

5. फिर हम नए प्रोजेक्शन के कोण के लिए हल कर सकते हैं: θ = cos⁻¹(5000/v₀*t) = 45°

सवाल:

एक भेकर सतत गति से 0.50 मीटर/सेकंड की स्थिर दर से अपनी गति को कम करके, वाणिज्यिक वेतन कापने के बाद 27 किमी/घंटे की गति से चक्करी रास्ते पर यात्रा कर रहा है। भेकर की सरकारी एकाग्रता की गुणता और दिशा क्या होगी?

उत्तर:

1. भेकर की कोणीय वेग निर्णय करें। कोणीय वेग = (27 किमी/घंटे) / (80 मीटर) = 0.3375 रैडियन/सेकंड

2. चाकूर संक्रमण का केंद्रीय त्वरण की गणना करें। केंद्रीय त्वरण = (0.3375 रेडियन/सेकंड)2 x 80 मीटर = 108.75 मीटर/सेकंड2

3. ब्रेकिंग के कारण वेगत्वरण की गणना करें। ब्रेकिंग के कारण वेगत्वरण = 0.50 मीटर/सेकंड2

4. चाकूर संक्रमण का नेट वेगत्वरण की गणना करें। नेट वेगत्वरण = केंद्रीय त्वरण - ब्रेकिंग के कारण वेगत्वरण = 108.75 मीटर/सेकंड2 - 0.50 मीटर/सेकंड2 = 108.25 मीटर/सेकंड2

5. नेट वेगत्वरण की दिशा निर्धारित करें। नेट वेगत्वरण की दिशा चाकूर संक्रमण के केंद्र की ओर होती है।

प्रश्न:

दिखाएं कि, (a) एक प्रक्षेप के लिए वेग और x-अक्ष के बीच का कोण समय की एक फ़ंक्शन है जो दिया जाता है ठीया (वन बाय) (voy/gt/v0x​)(b) यह दिखाना कि मूल से प्रक्षेपित गोली का प्रसार कोण θo​ = चार एचएम के लिए ठीया (बी(ख़े मान रखें।

उत्तर:

(a) हम जानते हैं कि एक प्रक्षेप के लिए यांत्रिक का समीकरण दिया जाता है

x = xo + vox t

y = yo + voy t - 1/2 gt2

समय के साथ समीकरण को अलग करने पर, हमें मिलता है

Vx = vox

Vy = voy - gt

वेग और x-अक्ष के बीच का कोण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

θ(t) = ठीया-1 (Vy/Vx)

Vx और Vy के मानों को प्रतिस्थापित करके, हमें मिलता है

θ(t) = ठीया-1 [(voy - gt)/vox]

(b) यहां मूल से प्रक्षेपित गोली के लिए, xo = 0 और yo = 0 होता है।

इसलिए, प्रक्षेप की दूरी R द्वारा दी जाती है

R = vox * t

जहां t प्रक्षेपित गोली के लिए अधिकतम ऊचाई hm तक पहुंचने में लिया गया समय है।

अधिकतम ऊचाई पर, प्रक्षेपित गोली का वेग शून्य होता है। इसलिए,

0 = voy - gt

t के लिए हल करके, हमें मिलता है

t = voy / g

R के समीकरण में t की मान की जगह प्रतिस्थापन करके, हमें मिलता है

R = vox * voy / g

प्रसार कोण θo दिया जाता है

θo = ठीया-1 (4hm/R)

R के मान को प्रतिस्थापित करके, हमें मिलता है

θo = ठीया-1 (4hm/vox * voy / g)

इसलिए, मूल से प्रक्षेपित गोली का प्रसार कोण θo इसके द्वारा दिया जाता है

θo = ठीया-1 (4hm/vox * voy / g)

प्रश्न:

निम्नलिखित सूची में से दो स्केलर माप निपुणता का चुनाव करें: बल, कोणीय गतिमान्यता, कार्य, वर्तमान, रैखिक गतिमान्यता, वैद्युत फ़ील्ड, औसत वेग, चुंबकिय मोमेंट, सापेक्ष वेग।

उत्तर:

1. बल
2. वर्तमान

प्रश्न:

कथित करें, क्या स्केलर और वेक्टर शारीरिक मापों के साथ निम्नलिखित बीजगणितीय प्रक्रियाएँ अर्थपूर्ण हैं: (अ) दो स्केलरों को जोड़ना, (बी) एक स्केलर को उसी आयाम के वेक्टर के साथ जोड़ना, (क) किसी भी वेक्टर को किसी भी स्केलर द्वारा गुणा करना, (ड) किसी भी दो स्केलरों को गुणा करना, (ए) किसी भी दो वेक्टरों को जोड़ना, (एफ) एक वेक्टर के समान वेग के संघटक को उसी वेक्टर के साथ जोड़ना।

उत्तर:

(अ) दो स्केलरों को जोड़ना अर्थपूर्ण है। यह इसलिए है क्योंकि स्केलर संख्याएँ हैं जो एक दूसरे के साथ जोड़ी जा सकती हैं और एक नई संख्या पैदा कर सकती हैं।

(बी) एक स्केलर को उसी आयाम के वेक्टर के साथ जोड़ना अर्थपूर्ण है। यह इसलिए है क्योंकि एक स्केलर एक ऐसी संख्या है जो उसी आयाम वाले वेक्टर के साथ जोड़ा जा सकता है, जिससे वेगता साथी वेगता में बदल जाएगी।

(क) किसी भी वेक्टर को किसी भी स्केलर द्वारा गुणा करना अर्थपूर्ण है। यह इसलिए है क्योंकि एक वेक्टर को एक स्केलर द्वारा गुणा किया जा सकता है, जिससे वेक्टर का मात्रात्मक मान और दिशा बदल जाएगी।

(ड) किसी भी दो स्केलरों को गुणा करना अर्थपूर्ण है। यह इसलिए है क्योंकि स्केलर संख्याएं हैं जो एक दूसरे के साथ गुणा की जा सकती हैं और एक नई संख्या पैदा कर सकती हैं।

(ए) किसी भी दो वेक्टरों को जोड़ना अर्थपूर्ण है। यह इसलिए है क्योंकि दो वेक्टरों को एक साथ जोड़ा जा सकता है और नया वेक्टर पैदा किया जा सकता है जिसमें दोनों वेक्टरों के प्रभाव का समान सहारा होता है।

(एफ) एक वेक्टर के समान वेग के संघटक को उसी वेक्टर के साथ जोड़ना अर्थपूर्ण है। यह इसलिए है क्योंकि वेक्टर के समान वेग के संघटक को उसी वेक्टर के साथ जोड़ा जा सकता है, जिससे वेग का मात्रात्मक मान बदल जाएगा।

(c) किसी भी वेक्टर को किसी भी स्केलर से गुणा करना मायनेदार है। इसका कारण यह है कि एक स्केलर एक ऐसा नंबर है जिसे एक वेक्टर से गुणा किया जा सकता है, जिससे एक ऐसा वेक्टर प्राप्त होता है जिसकी समान दिशा होती है लेकिन भिन्न अवस्था होती है।

(d) किसी भी दो स्केलर को गुणा करना मायनेदार है। इसका कारण यह है कि स्केलर एक नंबर होते हैं जो एक दूसरे के साथ गुणा करने के लिए उपयोग किया जा सकते हैं और एक नया नंबर प्राप्त करने के लिए गुणा किए जा सकते हैं।

(e) किसी भी दो वेक्टर को जोड़ना मायनेदार है। इसका कारण यह है कि दो वेक्टर को एक साथ जोड़ा जा सकता है और एक ऐसा नया वेक्टर प्राप्त होता है जिसकी समान दिशा होती है लेकिन भिन्न अवस्था होती है।

(f) एक वेक्टर के एक घटक को उसी वेक्टर में जोड़ना मायनेदार है। इसका कारण यह है कि एक वेक्टर के एक घटक को उसी वेक्टर में जोड़ा जा सकता है, जिससे एक वेक्टर प्राप्त होता है जिसकी समान अवस्था होती है लेकिन भिन्न दिशा होती है।

प्रश्न:

एक बंदरगाह में, हवा की गति 72 किमी/ घंटा है और बंदरगाह में एंकर लगाए हुए नाव के मास्ट पर झंडा उत्तेजित दिशा में फैल जाता है। अगर नाव उत्तर की ओर 51 किमी/ घंटा की गति से चलना शुरू करती है, तो नाव के मास्ट पर झंडे की दिशा क्या होगी?

उत्तर:

1. नाव की मांस गति की औसत गति निकालें, जो हवा की गति और नाव की गति के संयोजन का वेक्टर सम से होगी।

2. उत्तर की गति का कोण उत्तर की दिशा के संबंध में निकालें।

3. नाव के मास्ट पर झंडे की दिशा उत्तर की दिशा के समान होगी।

प्रश्न:

निम्नलिखित वेक्टर अधिकतमता को ज्यामितिकीय रूप से स्थापित करें या अन्यथा स्थापित करें: (a) ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ (b) ∣a+b∣≥∣∣a∣−∣b∣∣

उत्तर:

(a) दो वेक्टर a = (a1, a2, …, an) और b = (b1, b2, …, bn) को सोचें। तब, ∣a+b∣ = √[(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + … + (an+bn)^2]

अब, ∣a∣ = √[a1^2 + a2^2 + … + an^2] और ∣b∣ = √[b1^2 + b2^2 + … + bn^2]।

इस प्रकार, ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ बन जाता है

√[(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + … + (an+bn)^2] ≤ √[a1^2 + a2^2 + … + an^2] + √[b1^2 + b2^2 + … + bn^2]

यह असम्यता त्रिभुज के असम्यता द्वारा स्थापित की जा सकती है, जो कहता है कि त्रिभुज की दो पक्षों की योग की लंबाई हमेशा तीसरे पक्ष की लंबाई से कम होती है।

(b) वेक्टर a = (a1, a2, …, an) और b = (b1, b2, …, bn) को सोचें। तब, ∣a+b∣ = √[(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + … + (an+bn)^2]

अब, ∣a∣ = √[a1^2 + a2^2 + … + an^2] और ∣b∣ = √[b1^2 + b2^2 + … + bn^2]।

इस प्रकार, ∣a+b∣≥∣∣a∣−∣b∣∣ बन जाता है

√[(a1+b1)^2 + (a2+b2)^2 + … + (an+bn)^2] ≥ √[(a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2]

यह असम्यता त्रिभुज के असम्यता द्वारा स्थापित की जा सकती है, जो कहता है कि त्रिभुज की दो पक्षों की योग की लंबाई हमेशा तीसरे पक्ष की लंबाई से अधिक या समान होती है।

प्रश्न:

एक यात्री जो एक नए शहर में पहुंचता है, अपने निकटतम होटल जाने के लिए स्टेशन से 10 किमी दूरी पर स्थित सीधे सड़क से जाना चाहता है। एक बेईमान केबमैन उसे 23 किमी लंबी और 28 मिनट में होटल तक ले जाता है। कैब की औसत गति क्या है। (b) औसत वेग का माग्निट भी? क्या दोनों समान हैं?

उत्तर:

(a) कैब की औसत गति = (23 किमी)/(28 मिनट) = 0.82 किमी/मिनट

(b) औसत वेग का विशालक = (10 किमी)/(28 मिनट) = 0.36 किमी/मिनट

नहीं, दोनों समान नहीं हैं।

प्रश्न:

क्या आप वेक्टरों को (a) एक लूप मे मोड़ी हुई तार की लंबाई, (b) एक विमान क्षेत्रफल और (c) एक गोला के साथ जोड़ सकते हैं? व्याख्या करें।

उत्तर:

(a) हां, आप वेक्टरों को एक लूप मे मोड़ी हुई तार की लंबाई के साथ जोड़ सकते हैं। इसे वेक्टर समीकरण का उपयोग करके किया जा सकता है, जो वृत्त के वेग के द्वारा दिया जाता है, जिसे r = xi + yj दिया जाता है, यहां x और y वृत्त के केंद्र की निर्देशांक हैं और r वृत्त का त्रिज्या है। इस समीकरण का उपयोग करके तार की लंबाई को वृत्त के त्रिज्या के माध्यम से हितरूप में निर्धारित किया जा सकता है।

(b) हां, आप वेक्टरों को एक विमान क्षेत्रफल के साथ जोड़ सकते हैं। इसे वेक्टर समीकरण का उपयोग करके किया जा सकता है, जो विमान के समीकरण के द्वारा दिया जाता है, जिसे ax + by + cz = d दिया जाता है, यहां a, b, c और d समीकरण के संकेत हैं और x, y और z विमान पर किसी भी बिंदु की निर्देशांक हैं। इस समीकरण का उपयोग करके विमान क्षेत्रफल को संकेतों के माध्यम से हितरूप में निर्धारित किया जा सकता है।

(c) हां, आप एक गोला के साथ वेक्टरों को जोड़ सकते हैं। इसे वेक्टर समीकरण का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसे (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 दिया जाता है, यहां a, b और c गोला के केंद्र की निर्देशांक हैं और r गोला का त्रिज्या है। इस समीकरण का उपयोग करके गोला की सतह क्षेत्रफल को त्रिज्या के माध्यम से हितरूप में निर्धारित किया जा सकता है।