प्रश्न:

दो कोणों की क्रमश: क्षमता I1​ और I2​ (जो ऊंचा डिस्क हैं और केंद्र में से गुजरने वाले, )और कोणों की इंगित सर्वेक्षण जिनकी कक्षखंडित गति ω1​ और ω2​ हैं, वे परस्पर संपर्क करके परस्पर आपस में एक प्याला का साथ रखा जाता है। (ए) दो-डिस्क प्रणाली की कोणीय गति क्या है? (ब) दो-डिस्क प्रणाली की किनेटिक ऊर्जा उन दो डिस्कों की प्रारंभिक किनेटिक ऊर्जा की जुमलती से कम होती है। इस ऊर्जा के खोने का हिसाब कैसे रखा जाए? ω1​ = ω2​ को लें।

उत्तर:

(ए) दो-डिस्क प्रणाली की कोणीय गति एक से इंगित डिस्क की कोणीय गति के बराबर होती है, ω1​ = ω2​।

(ब) दो-डिस्क प्रणाली की किनेटिक ऊर्जा उन दो डिस्कों की प्रारंभिक किनेटिक ऊर्जा की जुमलती से कम होती है क्योंकि दो डिस्कों के बीच घूर्णन के कारण कुछ ऊर्जा खो जाती है। इस ऊर्जा का खोना दो डिस्कों के बीच के घर्षण से उत्पन्न गर्मी के कारण होता है।

प्रश्न:

प्रत्येक कथन को ध्यान से पढ़ें और कहें, सही है या नहीं, कारणों के साथ बताएं; (ए) गूंथते समय घूसे का बल केंद्र बिंदु की गति की दिशा में ही कार्य करता है। (ब) घूसने के दौरान संपर्क के बिन्दु की प्रत्यक्ष गति शून्य होती है। (c) घूसने के दौरान संपर्क के बिन्दु की प्रत्यक्ष त्वरण शून्य होती है। (d) पूर्ण घूसने के बाद संपर्क के बिन्दु प्रतिरोध के खिलाफ किया गया काम शून्य होता है। (e) एक निर्देशित घर्षणमुक्त ढलान पर चल रही पहिया घुमाने की गति करेगी

उत्तर:

(ए) सत्य। घुमाव के दौरान, घूसे का बल केंद्र बिंदु की गति की दिशा में ही कार्य करता है क्योंकि यह घुमाव को सहायता करने वाला बल है।

(ब) असत्य। घूसने के दौरान संपर्क के बिंदु की प्रत्यक्ष गति शून्य नहीं होती है क्योंकि घुसाव की गति के कारण संपर्क बिंदु स्थायी रूप से बदल रहा होता है।

(c) असत्य। घूसने के दौरान संपर्क के बिंदु की प्रत्यक्ष त्वरण शून्य नहीं होती है क्योंकि घुसाव की गति के कारण संपर्क बिंदु स्थायी रूप से बदल रहा होता है।

(d) सत्य। पूर्ण घूसने के बाद संपर्क के बिंदु प्रतिरोध के खिलाफ किया गया काम शून्य होता है क्योंकि शरीर की खिसकने की कोई बात नहीं है, इसलिए घर्षण के खिलाफ किया गया काम कर्मशास्त्र शून्य होता है।

(e) असत्य। एक निर्देशित घर्षणमुक्त ढलान पर चल रही पहिये की घूमाव की गति करेगी नहीं, बल्कि घुमाव की गति करेगी।

१. पदार्थ पर गुरुत्वाकर्षण बल (एफजी) की गणना करें। इसे भौतिक विचार के द्वारा किया जा सकता है (यानी बलों और टॉर्क के माध्यम से)। कक्षा के समाक्रमण ध्यान में यह किया जा सकता है। परिधि (आर) वाले पदार्थ के समानांतर धनुष, डिस्क, सिलेंडर या गोला का व्यास, और आर पदार्थ की त्रिज्या को भागों में विभाजित करके यह किया जा सकता है। पदार्थ शीर्ष पर शांति से आरंभ करता है।

2. शरीर पर कार्यरत नॉर्मल बल (Fn) की गणना करें। इसे शरीर के मास और शरीर के नॉर्मल त्वरण (a) का गुणा करके किया जा सकता है। Fn = ma

3. शरीर पर टॉर्क (T) की गणना करें। इसे शरीर के घर्मण ध्रुव (k) के गुणा करके बल (F) के साथ किया जा सकता है। T = Fk

4. शरीर का कोणत्वीय त्वरण (α) की गणना करें। इसे शरीर के मोमेंट ऑफ़ इंजर्शिया (I) को टॉर्क (T) से विभाजित करके किया जा सकता है। α = T/I

5. शरीर की रैखिक त्वरण (a) की गणना करें। इसे शरीर के कोणत्वीय त्वरण (α) को शरीर के अक्ष (R) से गुणा करके किया जा सकता है। a = αR

6. शरीर की वेग (v) की गणना करें। इसे शरीर की रैखिक त्वरण (a) को शरीर के ढलवानी सतह तक पहुंचने में लगने वाले समय (t) से गुणा करके किया जा सकता है। v = at

7. शरीर की अंतिम वेग (v) की गणना करें। इसे v^2=2gh/1+k^2/R^2 के समीकरण को हल करके किया जा सकता है। v = √2gh/1+k^2/R^2

सवाल:

एक आदमी एक घूर्णनात्मक मंच पर खड़ा है, अपने हाथों को सिरे संग धराया हुआ, प्रत्येक हाथ में 5 किलोग्राम वजन होता है। मंच की कोणीय गति 30 परिवर्तन प्रति मिनट है। फिर आदमी अपने हाथों को अपनी शरीर के पास लाता है, प्रत्येक वजन की दूरी को संकलनीय धुरी से संशोधित करते हुए, जो प्रतिसंरेख धुरी से 90 सेमी से 20 सेमी के बीच होती है। आदमी के साथ मंच का गतिविधि का मोमेंट इंजर्शिया को स्थिर और 7.6 किलोग्राम मीटर में लिया जा सकता है। (ए) उसकी नई कोणीय गति क्या होगी? (कक्ष्या अवरोध को अनदृश्य करें) (ख) क्या किनेटिक ऊर्जा इस प्रक्रिया में संरक्षित होती है? यदि नहीं, तो यह परिवर्तन कहाँ से होता है?

उत्तर:

(ए) नई कोणीय गति को निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके गणित किया जा सकता है: Iω = Iω’ जहां I मोमेंट ऑफ़ इंजर्शिया है, ω प्रारंभिक कोणीय गति है, और ω’ नई कोणीय गति है।

Iω = Iω' 7.6 किलोग्राम मीटर^2 * (30 परिवर्तन/मिनट) = 7.6 किलोग्राम मीटर^2 * ω'

जैसा कि ω = 30 परिवर्तन/मिनट है, इसलिए

ω’ = 30 परिवर्तन/मिनट

(ख) किनेटिक ऊर्जा इस प्रक्रिया में संरक्षित नहीं होती है क्योंकि आदमी वजनों पर काम कर रहा है, जिससे उनकी किनेटिक ऊर्जा परिवर्तित हो जाती है। किनेटिक ऊर्जा में परिवर्तन आदमी द्वारा किए गए काम से होता है।

सवाल:

(ए) सीधी धुरी के थ्योरम का सत्यापन करें। (संकेत: एक बिंदु (x, y) की दूरीध से समानीकरण के आधार से एक ओरिजिन के माध्यम से एक धुरी से अक्ष प्लेन के। X^2+y^2।) (ख) समांतर धुरियों का थ्योरम सत्यापित करें। (संकेत: यदि केंद्र भार को मूल मानक बनाया गया है, तो शीर्ष। रियो+मी+त को 0।).

उत्तर:

(ए) सीधी धुरियों का थ्योरम का सत्यापन:

P एक ऐसा बिंदु है जो एक्स-वास्तविकी प्लेन से दूरी पर है, जिसकी कोणवृत्ती (x, y) है।

हम साबित करेंगे कि प द्वारा एक्स-धुरी से छोटे दूरी का वर्ग य धुरी से छोटे दूरी के वर्ग के बराबर है।

दूरी पर (x, y) से x-धुरी की दूरी को d1 और य-धुरी की दूरी को d2 माना जाए।

हमें साबित करना है कि d1^2 = d2^2

ओ एक्स-धुरी का मूल है, जो xy प्लेन में निर्मित होता है।

ओ पर ऐसा बिंदु होता है, जहां OP1 = d1

ओ य-धुरी का एक बिंदु होता है, जहां OP2 = d2

पाइथागोरस के उपग्रह के अनुसार, हमें हासिल हुआ है

OP^2 = OP1^2 + OP2^2

P के निर्देशांक प्रयोग करते हुए,

(x^2 + y^2) = (d1^2) + (d2^2)

इसलिए, d1^2 = d2^2

उच्चारण के उदाहरण के संबंध में : सत्यापित लंबक्षेत्र का सिद्धांत इसलिए सिद्ध हो गया है।

(I) सत्यापित के सिद्धांत का सबूत:

एक बिन्दु P को x,y न्यूनाधिकरण में रखें प्लेन पर।

x,y में शून्य बिन्दु O को x,y प्लेन में बन दिया जाता है।

OP1=x के रूप में जटिल रेखांश पर बिन्दु P1 को रखें

OP2=y के रूप में जटिल रेखांश पर बिन्दु P2 को रखें

हम सिद्ध करेंगे कि x-अक्ष से P की दूरी का वर्ग y-अक्ष से P की दूरी के वर्ग के बराबर होता है।

d1 को P से x-अक्ष की दूरी और d2 को P से y-अक्ष की दूरी मानें।

हमें सिद्ध करना है कि d1^2 = d2^2

निलंबक्षेत्र के सिद्धांत द्वारा, हमें है

(x^2 + y^2) = (d1^2) + (d2^2)

हम यह भी जानते हैं कि एक पदार्थ संगठन के संरचना का केंद्र मूलस्थान पर होता है, अर्थात ∑mi​ri​=0

P1 और P2 की न्यूनाधिकरण को बदलते, हम प्राप्त करते हैं

x + y = 0

इसे समीकरण (x^2 + y^2) = (d1^2) + (d2^2) में बदलकर, हमें मिलता है

x^2 + y^2 = (d1^2) + (d2^2)

x^2 + (x + y)^2 = (d1^2) + (d2^2)

x^2 + x^2 + 2xy + y^2 = (d1^2) + (d2^2)

2x^2 + 2xy = (d1^2) + (d2^2)

2x^2 = (d1^2) + (d2^2)

इसलिए, d1^2 = d2^2

इसलिए, सत्यापित के सिद्धांत का खंड प्रमाणित हो जाता है।

अब, (ब) परिधि के सिद्धांत को सिद्ध करें:

आधार पर नीचे दिए गए उत्तर है: (a) सिलेंडर पर क्रियाशील घर्षण की शक्ति Ffriction = μs * mg का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है, जहां μs स्थिर घर्षण का संकेतक है, m सिलेंडर का भार है, और g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। दिए गए मानों को स्थानांतरित करने से हमें मिलता है:

Ffriction = 0.25 * 10 * 9.8 = 24.5 N

(b) घर्षण के खिलाफ किया गया काम W = Ffriction * s का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां Ffriction सिलेंडर पर क्रियाशील घर्षण की शक्ति है, और s यात्रा की दूरी है। यदि यात्रा की दूरी नहीं दी गई है, तो हम घर्षण के खिलाफ किए गए काम को नहीं कर सकते हैं।

(c) सिलेंडर नाइंटीकेशन करना शुरू करता है, और सवारी को पूरी तरह से नहीं चलाता है, इस छटनी के बिंदु per tanθ = μs के उपयोग से निकाला जा सकता है, जहां μs स्थिर घर्षण का संकेतक है और θ संकेत है inclined angle। दिए गए μs की मानिका, हमें मिलता है:

tanθ = 0.25

इसलिए, θ = tan-1(0.25) = 14.0°