SATHEE: Number System - All Formulas & Shortcuts

संख्या प्रणाली - सभी सूत्र और शॉर्टकट

संख्या प्रणाली के लिए त्वरित संदर्भ गाइड विभाज्यता नियमों और शेषफल शॉर्टकट्स के साथ

📘 संख्याओं के प्रकार

1. संख्या वर्गीकरण

प्राकृतिक संख्याएं (N):

1, 2, 3, 4, 5, … 1 से शुरू होने वाली गिनती की संख्याएं

पूर्ण संख्याएं (W):

0, 1, 2, 3, 4, 5, … प्राकृतिक संख्याएं + 0

पूर्णांक (Z):

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएं

परिमेय संख्याएं (Q):

ऐसी संख्याएं जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां q ≠ 0 उदाहरण: 1/2, 3/4, 0.5, 2

अपरिमेय संख्याएं:

इन्हें p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता उदाहरण: √2, π, e

2. विशेष संख्या प्रकार

सम संख्याएं: 2, 4, 6, 8, 10, … (2 से विभाजित) विषम संख्याएं: 1, 3, 5, 7, 9, … (2 से विभाजित नहीं)

अभाज्य संख्याएं:

ऐसी संख्याएं जिनके ठीक 2 गुणनखंड हों (1 और स्वयं) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, … नोट: 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है

भाज्य संख्याएं:

ऐसी संख्याएं जिनके 2 से अधिक गुणनखंड हों 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, …

सह-अभाज्य संख्याएं:

दो ऐसी संख्याएं जिनका महत्तम समापवर्तक 1 हो उदाहरण: (3,5), (8,15), (7,9)

⚡ विभाज्यता नियम (ज़रूर याद करें!)

3. आवश्यक विभाज्यता नियम

2 से विभाज्य:

अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 हो उदाहरण: 1234, 5678

3 से विभाज्य:

अंकों का योग 3 से विभाज्य हो उदाहरण: 123 → 1+2+3 = 6 (3 से विभाज्य) ✓

4 से विभाज्य:

अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों उदाहरण: 1216 → 16 ÷ 4 = 4 ✓

5 से विभाज्य:

अंतिम अंक 0 या 5 है
उदाहरण: 125, 340

6 से विभाज्य:

2 और 3 दोनों से विभाज्य है
उदाहरण: 126 (सम + अंकों का योग=9, 3 से विभाज्य) ✓

8 से विभाज्य:

अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों
उदाहरण: 1000 → 000 ÷ 8 = 0 ✓
उदाहरण: 2048 → 048 ÷ 8 = 6 ✓

9 से विभाज्य:

अंकों का योग 9 से विभाज्य हो
उदाहरण: 729 → 7+2+9 = 18 (÷9) ✓

10 से विभाज्य:

अंतिम अंक 0 है
उदाहरण: 1230, 4560

11 से विभाज्य:

एकांतर अंकों के योग का अंतर = 0 या 11 का गुणज
उदाहरण: 1331 → (1+3) - (3+1) = 4-4 = 0 ✓
उदाहरण: 1221 → (1+2) - (2+1) = 3-3 = 0 ✓

12 से विभाज्य:

3 और 4 दोनों से विभाज्य है

🔥 HCF & LCM

4. HCF (उच्चतम समापवर्त्य)

HCF ज्ञात करने की विधियाँ:

अभाज्य गुणनफल विधि:

प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनफल निकालें
HCF = न्यूनतम घातों वाले साझा अभाज्य गुणनफल का गुणनफल

उदाहरण: 12 और 18 का HCF

12 = ² × 3
18 = 2 × 3²
HCF = 2¹ × 3¹ = 6

भाग विधि (यूक्लिडियन एल्गोरिद्म):

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें
पिछले भाजक को शेष से भाग देते जाएँ
अंतिम भाजक HCF है

5. LCM (लघुतम समापवर्त्य)

अभाज्य गुणनफल विधि:

LCM = अधिकतम घातों वाले सभी अभाज्य गुणनफल का गुणनफल

उदाहरण: 12 और 18 का LCM

12 = ² × 3
18 = 2 × 3²
LCM = ² × 3² = 4 × 9 = 36

सूत्र संबंध:

HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल

HCF × LCM = a × b

उदाहरण: a=12, b=18

HCF = 6, LCM = 36
6 × 36 = 216
12 × 18 = 216 ✓

💡 शेष प्रमेय

6. आधारभूत शेष सूत्र

जब N को D से विभाजित किया जाता है:

N = D × Q + R

जहाँ: N = भाज्य D = भाजक Q = भागफल R = शेष (0 ≤ R < D)

7. ऋणात्मक शेष अवधारणा

शेष जब (N-a) को D से विभाजित किया जाता है:

यदि N को D से विभाजित करने पर शेष R आता है, तो (N-a) का शेष (R-a) या (R-a+D) होगा

उदाहरण: 47 ÷ 5 से शेष 2 आता है

(47-3) ÷ 5 = 44 ÷ 5 से शेष (2-3+5) = 4 आता है

8. विल्सन का प्रमेय (अभाज्य संख्याओं के लिए)

यदि p अभाज्य है:

(p-1)! + 1, p से विभाज्य है

(p-1)! ÷ p का शेष = p-1 या -1

उदाहरण: p=7

6! = 720 720 + 1 = 721 = 7 × 103 ✓ 720 ÷ 7 से शेष 6 आता है (जो कि 7-1 है)

9. चीनी शेष प्रमेय (CRT)

जब N भाज्यों d₁, d₂, d₃ के साथ शेष r₁, r₂, r₃ देता है:

यदि शेष एक पैटर्न का पालन करते हैं, तो उपयोग करें:

N = LCM(d₁, d₂, d₃) × k ± common_diff

उदाहरण: N ÷ 3 से 2, N ÷ 4 से 3, N ÷ 5 से 4 शेष देता है

पैटर्न: प्रत्येक शेष = भाजक - 1 N = LCM(3,4,5) × k - 1 N = 60k - 1 N = 59, 119, 179, … (k=1,2,3,…)

📊 त्वरित शॉर्टकट

शॉर्टकट 1: पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग

योग = n(n+1)/2

उदाहरण: 1+2+3+…+100

= 100 × 101/2 = 5050

शॉर्टकट 2: पहले n सम संख्याओं का योग

योग = n(n+1)

उदाहरण: 2+4+6+…+100 (50 पद)

= 50 × 51 = 2550

शॉर्टकट 3: पहले n विषम संख्याओं का योग

योग = n²

उदाहरण: 1+3+5+…+99 (50 पद)

= 50² = 2500

शॉर्टकट 4: गुणनखंडों की संख्या

यदि N = p₁^a × p₂^b × p₃^c:

गुणनखंडों की संख्या = (a+1)(b+1)(c+1)

उदाहरण: 72 = 2³ × 3²

गुणनखंड = (3+1)(2+1) = 4 × 3 = 12

शॉर्टकट 5: गुणनखंडों का योग

यदि N = p^a (अभाज्य घात):

योग = (p^(a+1) - 1)/(p - 1)

उदाहरण: 16 के गुणनखंड = 2⁴

योग = (2⁵ - 1)/(2-1) = 31/1 = 31 (1+2+4+8+16 = 31 ✓)

🎯 परीक्षा पैटर्न

पैटर्न 1: अंतिम अंक ज्ञात करना

घातों का अंतिम अंक:

2 के लिए: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … (4 का चक्र) 3 के लिए: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … (4 का चक्र) 4 के लिए: 4, 6, 4, 6, … (2 का चक्र) 7 के लिए: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … (4 का चक्र) 8 के लिए: 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6, … (4 का चक्र) 9 के लिए: 9, 1, 9, 1, … (2 का चक्र)

उदाहरण: 7^123 का अंतिम अंक

चक्र = 4, इसलिए 123 ÷ 4 शेष = 3 चक्र में 3रा (7,9,3,1) = 3 अंतिम अंक = 3

पैटर्न 2: सबसे बड़ा विभाजक

सबसे बड़ा संख्या जो (a-b), (b-c), (c-a) को विभाजित करता है:

= सभी अंतरों का महत्तम समापवर्तक

पैटर्न 3: शेषफल के लिए सबसे छोटी संख्या

सबसे छोटी संख्या जो a, b, c से विभाजित होने पर शेषफल r देती है:

संख्या = ल.स. (a,b,c) × k + r सबसे छोटी = ल.स. + r (जब k=1)

उदाहरण: 5, 6, 7 से विभाजित होने पर 3 शेष देती है

ल.स.(5,6,7) = 210 सबसे छोटी = 210 + 3 = 213

💎 विशेष सूत्र

10. पूर्ण वर्ग जाँच

संख्या पूर्ण वर्ग है यदि:

वर्गमूल पूर्णांक हो
सभी अभाज्य गुणनखंडों की घात सम हो
0,1,4,5,6,9 से समाप्त हो (2,3,7,8 नहीं)

पहले n पूर्ण वर्गों का योग:

1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6

11. पूर्ण घन जाँच

पूर्ण घन इससे समाप्त होते हैं:

0→0, 1→1, 2→8, 3→7, 4→4, 5→5, 6→6, 7→3, 8→2, 9→9

पहले n घनों का योग:

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = [n(n+1)/2]²

12. अंकों के योग के सूत्र

संख्या N के अंकों का योग:

यदि N ≡ r (mod 9), तो अंकों का योग ≡ r (mod 9)

उदाहरण: 123 ÷ 9 शेष 6

अंकों का योग = 1+2+3 = 6 ✓

🔍 सामान्य गलतियाँ

❌ HCF को LCM से उलझाना ❌ 2 को एकमात्र सम प्रधान भूलना ❌ गलत विभाज्यता परीक्षण (4 के लिए 3 का प्रयोग, आदि) ❣ शेष सीमा की जाँच न करना (0 ≤ R < D) ✅ HCF × LCM = a × b (दो संख्याओं के लिए) ✅ अभाज्य गुणनफल सबसे विश्वसनीय विधि है ✅ 3 और 9 से विभाज्यता के लिए अंकों का योग ✅ 4 के लिए अंतिम 2 अंक, 8 के लिए अंतिम 3 अंक