SATHEE: Time & Work - All Formulas & Shortcuts

समय और कार्य - सभी सूत्र और शॉर्टकट

सभी समय और कार्य सूत्रों के लिए शक्तिशाली LCM विधि सहित त्वरित संदर्भ गाइड

📘 मूलभूत सूत्र

1. मौलिक संबंध

कार्य = समय × दक्षता या किया गया कार्य = दिनों की संख्या × प्रतिदिन कार्य

मुख्य अवधारणा:

यदि A ’n’ दिनों में कार्य पूरा कर सकता है: A द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य = 1/n

यदि A प्रतिदिन 1/n कार्य करता है: A पूरा कार्य ’n’ दिनों में पूरा करता है

2. दिए गए समय में किया गया कार्य

यदि A ‘a’ दिनों में कार्य पूरा करता है:

1 दिन में किया गया कार्य = 1/a ‘x’ दिनों में किया गया कार्य = x/a शेष कार्य = 1 - x/a = (a-x)/a

उदाहरण: A कार्य को 10 दिनों में पूरा करता है

1 दिन में: 1/10 कार्य
3 दिनों में: 3/10 कार्य
शेष: 7/10 कार्य

3. शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय

यदि x/y कार्य किया गया है:

शेष कार्य = 1 - x/y = (y-x)/y

शेष कार्य को पूरा करने का समय = (शेष कार्य) / (प्रतिदिन कार्य)

🎯 साथ में काम करना

4. दो व्यक्ति साथ में काम कर रहे हैं

यदि A ‘a’ दिनों में पूरा करता है, B ‘b’ दिनों में:

संयुक्त रूप से प्रतिदिन कार्य:

1/a + 1/b = (a+b)/(ab)

साथ में पूरा करने का समय:

T = ab/(a+b) दिन

उदाहरण: A = 10 दिन, B = 15 दिन

साथ में = (10×15)/(10+15) = 150/25 = 6 दिन

5. तीन या अधिक व्यक्ति साथ में काम कर रहे हैं

यदि A, B, C क्रमशः a, b, c दिनों में पूरा करते हैं:

संयुक्त रूप से प्रतिदिन:

1/a + 1/b + 1/c

साथ में समय:

T = 1/(1/a + 1/b + 1/c) = abc/(bc+ac+ab)

⚡ LCM विधि (सबसे बेहतरीन विधि!)

6. LCM विधि क्यों?

भागों के बजाय, पूर्ण संख्याओं के साथ काम करें!

चरण:

सभी दिए गए दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालें
LCM = कुल कार्य (इकाइयों में)
दक्षता = कुल कार्य / दिन
लागू करें: कार्य = दक्षता × समय

7. LCM विधि उदाहरण

समस्या: A 10 दिनों में पूरा करता है, B 15 दिनों में। साथ में?

पारंपरिक विधि:

1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 समय = 6 दिन

LCM विधि:

LCM(10, 15) = 30 इकाइयाँ (कुल कार्य)

दक्षता: A = 30/10 = 3 इकाइयाँ/दिन B = 30/15 = 2 इकाइयाँ/दिन साथ में = 3 + 2 = 5 इकाइयाँ/दिन

समय = 30/5 = 6 दिन

लाभ: कोई भाग नहीं! आसान गणना!

💡 उन्नत सूत्र

8. वैकल्पिक दिनों में काम

A दिन 1 पर काम करता है, B दिन 2 पर, A दिन 3 पर, B दिन 4 पर…

2 दिनों में कार्य = 1/a + 1/b

2-दिन चक्रों की संख्या:

चक्र = ⌊कार्य/(1/a + 1/b)⌋

फिर शेष कार्य को अलग से गणना करें

9. कार्य और मजदूरी

जब भुगतान किए गए कार्य के अनुपात में हो:

मजदूरी अनुपात = कार्य अनुपात = दक्षता अनुपात

यदि A:B दक्षता = 3:2

मजदूरी A:B = 3:2

यदि कुल मजदूरी = W:

A का हिस्सा = W × 3/5 B का हिस्सा = W × 2/5

10. मान-दिन अवधारणा

M₁ × D₁ = M₂ × D₂ (पुरुष₁ × दिन₁ = पुरुष₂ × दिन₂)

उदाहरण: 10 पुरुष 6 दिनों में पूरा करते हैं। 15 पुरुषों के लिए कितने दिन?

10 × 6 = 15 × D D = 60/15 = 4 दिन

सामान्य सूत्र:

M₁ × D₁ × H₁ × E₁ = M₂ × D₂ × H₂ × E₂

जहाँ:

M = पुरुष, D = दिन, H = घंटे/दिन, E = दक्षता

🔥 नल और टंकी

11. इनलेट और आउटलेट पाइप

इनलेट पाइप (टंकी भरता है):

यदि ‘a’ घंटे में भरता है:

1 घंटे में भरा गया भाग = 1/a

आउटलेट पाइप (टैंक खाली करता है):

यदि ‘b’ घंटे में खाली करता है:

1 घंटे में खाली किया गया भाग = -1/b (ऋणात्मक!)

12. संयुक्त इनलेट और आउटलेट

इनलेट ‘a’ घंटे में भरता है, आउटलेट ‘b’ घंटे में खाली करता है:

दोनों खुले:

प्रति घंटा शुद्ध भराव = 1/a - 1/b = (b-a)/(ab)

भरने में समय = ab/(b-a) घंटे

नोट: यह मानता है कि b > a (आउटलेट इनलेट से धीमा है)

यदि a > b: टैंक कभी नहीं भरेगा (आउटलेट तेज़ है!)

13. एकाधिक पाइप

दो इनलेट (a, b घंटे) और एक आउटलेट (c घंटे):

सभी खुले:

शुद्ध = 1/a + 1/b - 1/c

समय = 1/(1/a + 1/b - 1/c)

14. पाइप अंतराल पर खुलता/बंद होता है

समय अंतराल के साथ LCM विधि का प्रयोग करें!

उदाहरण: A 4 घंटे में भरता है, B 6 घंटे में खाली करता है। दोनों एक-एक घंटे बारी-बारी से खुले रहते हैं।

कुल = LCM(4,6) = 12 इकाई

A की दक्षता = +3 इकाई/घंटा B की दक्षता = -2 इकाई/घंटा

2 घंटे में: 3 - 2 = 1 इकाई 12 इकाई के लिए: 12 चक्र × 2 घंटे = 24 घंटे

🎓 जटिल परिदृश्य

15. समूह द्वारा किया गया कार्य

M पुरुष या W महिलाएं D दिनों में कार्य कर सकते हैं:

1 पुरुष का 1 दिन का कार्य:

1/(M × D)

1 महिला का 1 दिन का कार्य:

1/(W × D)

दक्षता अनुपात (पुरुष:महिला):

W:M

16. भागों में किया गया कार्य

A और B एक साथ ‘x’ दिन, फिर A अकेले ‘y’ दिन:

कुल किया गया कार्य:

x(1/a + 1/b) + y(1/a)

1 (पूरा कार्य) के बराबर सेट करें और हल करें

17. दक्षता अनुपात विधि

यदि A, B से x% अधिक दक्ष है:

दक्षता अनुपात A:B = (100+x):100

अगर B को ‘b’ दिन लगते हैं: A को लगते हैं = b × 100/(100+x) दिन

उदाहरण: A, B से 25% अधिक कुशल है। B को 20 दिन लगते हैं।

A को लगते हैं = 20 × 100/125 = 16 दिन

📊 त्वरित शॉर्टकट

शॉर्टकट 1: समान कार्य, भिन्न व्यक्ति

अगर m₁ आदमी d₁ दिन लेते हैं, m₂ आदमी d₂ दिन लेते हैं:

m₁ × d₁ = m₂ × d₂

शॉर्टकट 2: दोगुनी कुशलता

अगर A, B से दोगुना कुशल है:

Time_A = Time_B / 2

साथ में:

Time = Time_A × 2/3 = Time_B × 1/3

शॉर्टकट 3: तीन व्यक्ति - विशेष स्थिति

अगर A=B=C कुशलता में हैं:

साथ में वे T/3 दिन लेते हैं (जहाँ T = एक व्यक्ति का समय)

शॉर्टकट 4: नकारात्मक कार्य (विनाशकारी)

A बनाता है, B नष्ट करता है:

अगर A ‘a’ दिन में बनाता है, B ‘b’ दिन में नष्ट करता है:

दोनों साथ: (b-a)/ab दिन (अगर b>a)

अगर a>b: निर्माण कभी पूरा नहीं होता!

💎 सामान्य पैटर्न

पैटर्न 1: साथ शुरू, एक छोड़ देता है

A और B शुरू करते हैं, B, x दिन बाद छोड़ देता है:

चरण:

x दिन में किया गया कार्य = x(1/a + 1/b)
शेष = 1 - x(1/a + 1/b)
A अकेले का समय = शेष/(1/a)
कुल समय = x + A अकेले का समय

पैटर्न 2: अनुपस्थिति के कारण कार्य रुका

A सभी दिन काम करता है, B बारी-बारी से दिन काम करता है:

LCM विधि का प्रयोग करें:

2-दिन चक्रों के लिए गणना करें
शेष कार्य की जाँच करें

पैटर्न 3: अतिरिक्त श्रमिक शामिल होते हैं

10 श्रमिक 20 दिनों के लिए। 8 दिनों के बाद, कुल 12 दिनों में समाप्त करने के लिए कितने और चाहिए?

किया गया कार्य = 10 × 8 = 80 मान-दिन
शेष = 10 × 20 - 80 = 120 मान-दिन
बचे दिन = 12 - 8 = 4
आवश्यक श्रमिक = 120/4 = 30
अतिरिक्त = 30 - 10 = 20

🎯 मानसिक गणित ट्रिक्स

ट्रिक 1: त्वरित साथ-साथ समय

छोटी संख्याओं के लिए:

6 और 12 साथ = 6×12/18 = 72/18 = 4 दिन
4 और 8 साथ = 4×8/12 = 32/12 = 2.67 दिन

ट्रिक 2: सामान्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

याद रखें:

LCM(4,6) = 12
LCM(6,8) = 24
LCM(10,15) = 30
LCM(12,18) = 36

ट्रिक 3: दक्षता तुलना

यदि A:B = 3:2

समय अनुपात = 2:3 (उल्टा!)
यदि A को 10 दिन लगते हैं, तो B को 15 दिन लगते हैं

📝 सूत्र सारांश सारणी

परिदृश्य सूत्र

A अकेला 1/a प्रति दिन

A और B साथ ab/(a+b) दिन

A, B, C साथ abc/(bc+ac+ab) दिन

मान-दिन M₁D₁ = M₂D₂

इनलेट + आउटलेट ab/(b-a) यदि b>a

दक्षता संबंध कार्य = दक्षता × समय

वेतन अनुपात = कार्य अनुपात = दक्षता अनुपात

परिदृश्य	सूत्र
A अकेला	1/a प्रति दिन
A और B साथ	ab/(a+b) दिन
A, B, C साथ	abc/(bc+ac+ab) दिन
मान-दिन	M₁D₁ = M₂D₂
इनलेट + आउटलेट	ab/(b-a) यदि b>a
दक्षता संबंध	कार्य = दक्षता × समय
वेतन अनुपात	= कार्य अनुपात = दक्षता अनुपात

🔍 सामान्य गलतियाँ

❌ दिनों को सीधे जोड़ना (10 + 15 ≠ 25)
❌ आउटलेट पाइपों के लिए ऋणात्मक चिह्न भूलना
❌ दक्षता अनुपात के बजाय समय अनुपात का उपयोग
❌ समान इकाइयों में न बदलना (दिन/घंटे)
✅ जटिल समस्याओं के लिए हमेशा LCM विधि का प्रयोग करें
✅ याद रखें: दक्षता और समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं