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विषय-सूची

1. संबंध और फलन का परिचय 1.1 संबंध की परिभाषा 1.2 फलन की परिभाषा
2. संबंधों के प्रकार 2.1 स्वतुल्य संबंध 2.2 सममित संबंध 2.3 संक्रामक संबंध 2.4 तुल्यता संबंध
3. संबंधों के गुण 3.1 स्वतुल्यता 3.2 सममिति 3.3 संक्रामकता 3.4 प्रतिसममित संबंध
4. संबंधों का संयोजन 4.1 परिभाषा 4.2 अक्रम-विनिमेयता
5. प्रतिलोम संबंध 5.1 परिभाषा 5.2 प्रतिलोम संबंधों के गुण
6. अनुप्रयोग और उदाहरण (संबंध) 6.1 तुल्यता वर्ग 6.2 वास्तविक दुनिया परिदृश्यों में संयोजन
7. अतिरिक्त जानकारी (संबंध) 7.1 संवरक गुण 7.2 आंशिक क्रम 7.3 संपूर्ण क्रम
8. फलन 8.1 फलन की परिभाषा
9. फलनों के प्रकार 9.1 एकैकी (इंजेक्टिव) फलन 9.2 आच्छादक (सर्जेक्टिव) फलन 9.3 द्विगुणित (बाइजेक्टिव) फलन
10. एकैकी और बहु-एक फलन 10.1 एकैकी फलन 10.2 बहु-एक फलन
11. द्विगुणित फलन (विस्तृत) 11.1 मुख्य विशेषताएँ 11.2 द्विगुणित फलनों की गणना
12. फलनों का संयोजन 12.1 संयोजन की परिभाषा 12.2 प्रांत और परिसर आवश्यकताएँ 12.3 अक्रम-विनिमेयता 12.4 संयोजन के गुण

1. संबंध और फलन का परिचय

1.1 संबंधों की परिभाषा

• एक संबंध (relation) क्रमित युग्मों (ordered pairs) का एक समुच्चय होता है।
• उदाहरण: यदि $ A = {1, 2} $ और $ B = {3, 4} $, तो $ R = {(1, 3), (2, 4)} $, $ A $ से $ B $ में एक संबंध है।

1.2 फलनों की परिभाषा

• एक फलन (function) एक विशेष प्रकार का संबंध होता है जिसमें डोमेन (domain) के प्रत्येक अवयव का सह-डोमेन (codomain) में ठीक एक ही प्रतिबिम्ब (image) होता है।
• उदाहरण: $ f: A \rightarrow B $ जहाँ $ f(1) = 3 $ और $ f(2) = 4 $.

2. संबंध के प्रकार

2.1 स्वतुल्य संबंध

• एक संबंध $ R $ समुच्चय $ A $ पर स्वतुल्य है यदि हर $ a \in A $ के लिए, $ (a, a) \in R $ हो।
• उदाहरण: $ R = {(1, 1), (2, 2)} $ समुच्चय $ A = {1, 2} $ पर।

2.2 सममित संबंध

• एक संबंध $ R $ सममित है यदि सभी $ a, b \in A $ के लिए, $ (a, b) \in R $ का अर्थ $ (b, a) \in R $ हो।
• उदाहरण: $ R = {(1, 2), (2, 1)} $ सममित है।

2.3 संक्रामक संबंध

• एक संबंध $ R $ संक्रामक है यदि सभी $ a, b, c \in A $ के लिए, $ (a, b) \in R $ और $ (b, c) \in R $ का अर्थ $ (a, c) \in R $ हो।
• उदाहरण: $ R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} $ संक्रामक है।

2.4 तुल्यता संबंध

• एक संबंध तुल्यता संबंध है यदि वह स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हो।
• उदाहरण: पूर्णांकों पर “समान समता वाला है” का संबंध।

3. संबंधों के गुण

3.1 स्वसंबंधिता (Reflexivity)

• परिभाषा: सभी $ a \in A $ के लिए, $ (a, a) \in R $।
• उदाहरण: वास्तविक संख्याओं पर समानता संबंध $ = $ स्वसंबंधित है।

3.2 सममिति (Symmetry)

• परिभाषा: सभी $ a, b \in A $ के लिए, $ (a, b) \in R $ यदि और केवल यदि $ (b, a) \in R $।
• उदाहरण: संबंध “का भाई-बहन है” सममित है।

3.3 संक्रामकता (Transitivity)

• परिभाषा: सभी $ a, b, c \in A $ के लिए, $ (a, b) \in R $ और $ (b, c) \in R $ का तात्पर्य है $ (a, c) \in R $।
• उदाहरण: संबंध “से बड़ा है” संक्रामक है।

3.4 असममित संबंध (Antisymmetric Relations)

• परिभाषा: सभी $ a, b \in A $ के लिए, यदि $ (a, b) \in R $ और $ (b, a) \in R $, तो $ a = b $।
• उदाहरण: सेटों पर संबंध “का उपसमुच्चय है” असममित है।

4. संबंधों का संयोजन

4.1 परिभाषा

• मान लीजिए कि $ R $, $ A $ से $ B $ तक एक संबंध है, और $ S $, $ B $ से $ C $ तक एक संबंध है। संयोजन $ S \circ R $, $ A $ से $ C $ तक एक संबंध है।
• परिभाषा: $ (a, c) \in S \circ R $ यदि कोई $ b \in B $ मौजूद है जैसे कि $ (a, b) \in R $ और $ (b, c) \in S $।

4.2 अक्रम-विनिमेयता

• ध्यान दें: सामान्यतः $ R \circ S \neq S \circ R $ होता है।
• उदाहरण: यदि $ R = {(1, 2)} $ और $ S = {(2, 3)} $, तो $ R \circ S = {(1, 3)} $, लेकिन $ S \circ R = \emptyset $।

5. प्रतिलोम संबंध

5.1 परिभाषा

• एक संबंध $ R $ का प्रतिलोम, जिसे $ R^{-1} $ से निरूपित किया जाता है, संबंध $ {(b, a) \mid (a, b) \in R} $ होता है।
• उदाहरण: यदि $ R = {(1, 2)} $, तो $ R^{-1} = {(2, 1)} $।

5.2 प्रतिलोम संबंधों के गुण

• प्रमेय: यदि $ R $ एक तुल्यता संबंध है, तो $ R^{-1} $ भी एक तुल्यता संबंध होता है।
• नोट: दो तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेदन भी एक तुल्यता संबंध होता है।
• नोट: दो तुल्यता संबंधों का सम्मिलन आवश्यक रूप से एक तुल्यता संबंध नहीं होता है।

6. अनुप्रयोग और उदाहरण (संबंध)

6.1 समतुल्यता वर्ग

• परिभाषा: एक समतुल्यता संबंध $ R $ के लिए, $ a $ से संबंधित सभी तत्वों के समुच्चय को $ a $ का समतुल्यता वर्ग कहा जाता है।
• उदाहरण: पूर्णांकों पर “समान समता वाला है” संबंध में, समतुल्यता वर्ग सम और विषम संख्याएँ होते हैं।

6.2 वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में संयोजन

• उदाहरण: यदि $ R $ “का माता-पिता है” को दर्शाता है और $ S $ “का बच्चा है” को दर्शाता है, तो $ S \circ R $ “का दादा-दादी/नाना-नानी है” को दर्शाएगा।

7. अतिरिक्त जानकारी (संबंध)

• संवृत्ति गुण: संबंधों को संघ, प्रतिच्छेद आदि के अंतर्गत संवृत्त किया जा सकता है, जिससे नए संबंध बनते हैं।
• आंशिक क्रम: एक संबंध जो स्वतुल्य, प्रतिसममित और संक्रामक हो, उसे आंशिक क्रम कहते हैं।
• सम्पूर्ण क्रम: एक आंशिक क्रम जिसमें प्रत्येक जोड़े के तत्व तुलनीय होते हैं, उसे सम्पूर्ण क्रम कहते हैं।

8. फलन

8.1 फलन की परिभाषा

• एक फलन इनपुट के एक सेट (डोमेन) और स्वीकार्य आउटपुट के एक सेट (सहडोमेन) के बीच एक संबंध है जहाँ प्रत्येक इनपुट का संबंध ठीक एक आउटपुट से होता है।
• औपचारिक परिभाषा: यदि $ f: A \rightarrow B $, तो प्रत्येक $ x \in A $ के लिए, एक अद्वितीय $ y \in B $ मौजूद है जैसे कि $ f(x) = y $।

9. फलन के प्रकार

9.1 इंजेक्टिव (एक-से-एक) फलन

• परिभाषा: एक फलन $ f: A \rightarrow B $ इंजेक्टिव होता है यदि डोमेन के भिन्न तत्व कोडोमेन के भिन्न तत्वों से मैप होते हैं।
  • गणितीय शर्त: सभी $ x_1, x_2 \in A $ के लिए $ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 $।
• उदाहरण: $ f(x) = 2x $ इंजेक्टिव है क्योंकि प्रत्येक इनपुट एक अद्वितीय आउटपुट से मैप होता है।

9.2 सरजेक्टिव (ऑन्टो) फलन

• परिभाषा: एक फलन $ f: A \rightarrow B $ सरजेक्टिव होता है यदि कोडोमेन का प्रत्येक तत्व डोमेन के कम से कम एक तत्व की छवि हो।
  • गणितीय शर्त: प्रत्येक $ y \in B $ के लिए, एक $ x \in A $ मौजूद होता है ताकि $ f(x) = y $।
• उदाहरण: $ \mathbb{R} $ पर $ f(x) = x^3 $ सरजेक्टिव है क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या का एक घनमूल होता है।

9.3 बायजेक्टिव फलन

• परिभाषा: एक फलन बायजेक्टिव होता है यदि वह इंजेक्टिव और सरजेक्टिव दोनों हो।
• मुख्य गुण: यदि $ f: A \rightarrow B $ बायजेक्टिव है, तो $ A $ और $ B $ के तत्वों की संख्या समान होती है।
• उदाहरण: $ \mathbb{R} $ पर $ f(x) = x $ बायजेक्टिव है, क्योंकि यह एक-से-एक और ऑन्टो दोनों है।

10. एकैक और बहु-एक फलन

10.1 एकैक फलन

• परिभाषा: डोमेन का प्रत्येक अवयव कोडोमेन में एक विशिष्ट अवयव से संबंधित होता है।
• रेखाचित्रीय निरूपण: एक क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को अधिक से अधिक एक बार प्रतिच्छेद करती है।

10.2 बहु-एक फलन

• परिभाषा: डोमेन के कई अवयव कोडोमेन के एक ही अवयव से संबंधित होते हैं।
• उदाहरण: $ f(x) = x^2 $ बहु-एक है क्योंकि $ f(2) = f(-2) = 4 $।

11. बीजेक्टिव फलन (विस्तृत)

11.1 मुख्य विशेषताएँ

• एकैकी और आच्छादक: बीजेक्टिव फलन दोनों गुणों को संतुष्ट करते हैं।
• प्रतिलोम फलन: एक बीजेक्टिव फलन का एक प्रतिलोम फलन होता है $ f^{-1}: B \rightarrow A $ जिससे कि $ f^{-1}(f(x)) = x $ सभी $ x \in A $ के लिए।
• समुच्चयों की समानता: यदि $ f: A \rightarrow B $ बीजेक्टिव है, तो $ n(A) = n(B) $, जहाँ $ n(S) $ समुच्चय $ S $ के अवयवों की संख्या को निरूपित करता है।

11.2 बीजेक्टिव फलनों की गणना

• स्थिति: यदि $ n(A) = n(B) = m $ है, तो $ A $ से $ B $ तक के बीजेक्टिव फलनों की संख्या $ m! $ (m का फैक्टोरियल) होती है।
• उदाहरण: $ A = {1, 2} $ और $ B = {a, b} $ के लिए, $ 2! = 2 $ बीजेक्टिव फलन होते हैं।

12. फलनों का संयोजन

12.1 संयोजन की परिभाषा

• संयोजन: यदि $ f: A \rightarrow B $ और $ g: B \rightarrow C $, तो संयोजन $ g \circ f: A \rightarrow C $ को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है: $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \forall x \in A $$
• संकेतन: $ gof(x) = g(f(x)) $, $ fog(x) = f(g(x)) $.

12.2 डोमेन और रेंज की आवश्यकताएँ

• शर्त: $ gof $ केवल तभी परिभाषित होता है जब $ f $ की रेंज $ g $ के डोमेन का उपसमुच्चय हो।
• उदाहरण: यदि $ f(x) = x + 1 $ और $ g(x) = x^2 $, तो $ gof(x) = (x + 1)^2 $.

12.3 गैर-क्रमविनिमेयता

• महत्वपूर्ण बिंदु: सामान्यतः, $ gof \neq fog $।
• उदाहरण:
  • $ f(x) = x + 1 $, $ g(x) = 2x $
  • $ gof(x) = 2(x + 1) = 2x + 2 $
  • $ fog(x) = (2x) + 1 = 2x + 1 $

12.4 संयोजन के गुण

• साहचर्य गुण: $ (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) $ जब यह परिभाषित हो।
• पहचान फलन: यदि $ I_A: A \rightarrow A $ पहचान फलन है, तो $ f \circ I_A = f = I_B \circ f $।