द्विघात समीकरण और असमानता
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विषय सूची
- द्विघात समीकरण और असमिकाएँ
1.1. द्विघात समीकरण के मूल
1.2. समीकरण का निर्माण
1.3. सामान्य संकल्पनाएँ
1.4. विशेष स्थितियाँ
1.5. असमिकाएँ - घन समीकरण
- समीकरण का निर्माण
- सामान्य संकल्पनाएँ
- विशेष स्थितियाँ
1. द्विघात समीकरण और असमिकाएँ
1.1. द्विघात समीकरण के मूल
- परिभाषा: एक द्विघात समीकरण $ ax^2 + bx + c = 0 $ के रूप में होता है, जहाँ $ a \neq 0 $.
- मूल: समीकरण के हलों को मूल कहा जाता है।
- मूलों का योग और गुणनफल:
- योग: $ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $
- गुणनफल: $ \alpha \beta = \frac{c}{a} $
- उदाहरण:
- यदि $ \alpha = 2 $ और $ \beta = 3 $, तो समीकरण $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ है।
- यदि $ \alpha = -1 $ और $ \beta = 4 $, तो समीकरण $ x^2 - 3x - 4 = 0 $ है।
1.2. समीकरण का निर्माण
- सामान्य रूप: यदि मूल $ \alpha $ और $ \beta $ हैं, तो समीकरण $ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 $ है।
- उदाहरण:
- मूल $ \alpha = 2 $, $ \beta = 3 $:
$$ x^2 - (2 + 3)x + (2 \times 3) = 0 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 $$
- मूल $ \alpha = 2 $, $ \beta = 3 $:
1.3. सामान्य अवधारणाएँ
- विविक्तकर: $ D = b^2 - 4ac $.
- यदि $ D > 0 $: दो भिन्न वास्तविक मूल।
- यदि $ D = 0 $: एक वास्तविक मूल (दोहराया गया)।
- यदि $ D < 0 $: दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल।
- मूलों की प्रकृति: विविक्तकर द्वारा निर्धारित होती है।
1.4. विशेष परिस्थितियाँ
- पूर्ण वर्ग त्रिपद:
- उदाहरण: $ x^2 + 6x + 9 = 0 $, मूल $ x = -3 $ (दोहराया गया)।
- शून्य गुणांक वाला समीकरण:
- यदि $ a = 0 $, समीकरण रैखिक हो जाता है: $ bx + c = 0 $.
1.5. असमिकाएँ
- द्विघात असमिकाएँ: हल करें $ ax^2 + bx + c > 0 $, $ ax^2 + bx + c < 0 $, इत्यादि।
- चरण:
- समीकरण $ ax^2 + bx + c = 0 $ के मूल ज्ञात करें।
- मूलों के आधार पर अंतराल निर्धारित करें।
- यह जाँचने के लिए प्रत्येक अंतराल का परीक्षण करें कि असमिका कहाँ मान्य है।
- उदाहरण:
- हल करें $ x^2 - 5x + 6 > 0 $.
- मूल: $ x = 2 $, $ x = 3 $.
- अंतरालों का परीक्षण करें: $ (-\infty, 2) $, $ (2, 3) $, $ (3, \infty) $.
- हल: $ x < 2 $ या $ x > 3 $.
2. घनीय समीकरण
- सामान्य रूप: $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $, जहाँ $ a \neq 0 $।
- मूल: एक घनीय समीकरण के तीन मूल (वास्तविक या सम्मिश्र) होते हैं।
- परिमेय मूल प्रमेय: संभावित परिमेय मूल $ \pm \frac{p}{q} $ होते हैं, जहाँ $ p $, $ d $ को विभाजित करता है और $ q $, $ a $ को विभाजित करता है।
- उदाहरण:
- समीकरण: $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $।
- संभावित मूल: $ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 $।
- वास्तविक मूल: $ x = 1, 2, 3 $।
3. एक समीकरण का निर्माण
- मूलों से: यदि मूल $ \alpha $ और $ \beta $ हैं, तो समीकरण होता है $ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 $।
- गुणांकों से: यदि मूलों का योग $ S = \alpha + \beta $ और गुणनफल $ P = \alpha\beta $ है, तो समीकरण होता है $ x^2 - Sx + P = 0 $।
- उदाहरण:
- योग $ S = 5 $, गुणनफल $ P = 6 $:
$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$
- योग $ S = 5 $, गुणनफल $ P = 6 $:
4. सामान्य अवधारणाएँ
- द्विघात सूत्र:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ - शीर्ष बिंदु (वर्टेक्स) परवलय का:
- निर्देशांक: $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $.
- ग्राफ़: परवलय ऊपर की ओर खुलता है यदि $ a > 0 $, नीचे की ओर यदि $ a < 0 $.
5. विशेष मामले
- वास्तविक मूलों के बिना समीकरण: $ x^2 + 1 = 0 $, मूल $ x = \pm i $.
- एक वास्तविक मूल वाला समीकरण: $ x^2 + 2x + 1 = 0 $, मूल $ x = -1 $.
- सभी वास्तविक मूलों वाला समीकरण: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $, मूल $ x = 2, 3 $.
Practice Problems
##### यदि $\sqrt{3 x^{2}-7 x-30}+\sqrt{2 x^{2}-7 x-5}=x+5$, तो $x$ का मान है
1. [ ] 2
2. [ ] 3
3. [x] 6
4. [ ] 5
##### समीकरण $x^{2}-5|x|+6=0$ के समाधानों की संख्या है
1. [x] 4
2. [ ] 3
3. [ ] 2
4. [ ] 1
##### समीकरण $|2 x-1|^{2}-3|2 x-1|+2=0$ के मूल हैं
1. [ ] $\lbrace-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\rbrace$
2. [ ] $\lbrace-\frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2}\rbrace$
3. [ ] $\lbrace-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0,1\rbrace$
4. [x] $\lbrace-\frac{1}{2}, 0,1, \frac{3}{2}\rbrace$
##### समीकरण $(5+2 \sqrt{6})^{x^{2}-3}+(5-2 \sqrt{6})^{x^{2}-3}=10$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के सभी मानों का गुणनफल है
1. [ ] 4
2. [ ] 6
3. [x] 8
4. [ ] 19
##### समीकरण $2(1+i) x^{2}-4(2-i) x-5-3 i=0$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$, का वह मूल जिसका मापांक अधिक है, है
1. [x] $\frac{3-5 i}{2}$
2. [ ] $\frac{5-3 i}{2}$
3. [ ] $\frac{3+i}{2}$
4. [ ] $\frac{3 i+1}{2}$
##### $x^{2}+x+1+2 k(x^{2}-x-1)=0$ कितने $k$ के मानों के लिए पूर्ण वर्ग होगा?
1. [x] 2
2. [ ] 0
3. [ ] 1
4. [ ] 3
##### यदि $(a^{2}+b^{2}) x^{2}-2(b c+a d) x+c^{2}+d^{2}=0$ के मूल बराबर हैं, तब
1. [ ] $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
2. [ ] $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=0$
3. [x] $\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$
4. [ ] $a+b=c+d$
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