वृत्त और सीधी रेखा के प्रश्न
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अध्ययन नोट्स: वृत्त और सीधी रेखा के प्रश्न
विषय सूची
- प्रश्न 1
- प्रश्न 2
- प्रश्न 3
- प्रश्न 4
- प्रश्न 5
- प्रश्न 6
- धन्यवाद
1. प्रश्न 1
समस्या कथन
- दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का विश्लेषण करें और विशिष्ट बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण निर्धारित करें।
समाधान
- चरण 1: दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की गणना करें।
- चरण 2: वृत्त के सामान्य समीकरण $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $ का उपयोग करें।
- चरण 3: दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर समीकरणों की प्रणाली बनाएं।
- चरण 4: गुणांक $ D, E, F $ ज्ञात करने के लिए समीकरण प्रणाली को हल करें।
- अंतिम समीकरण: $ 2x^2 + 2y^2 + 4x - 8y - 16 = 0 $.
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2. प्रश्न 2
समस्या कथन
- वृत्त का समीकरण उसके केंद्र और त्रिज्या के आधार पर निर्धारित करें।
समाधान
- मुख्य सूत्र: $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $
- उदाहरण: केंद्र $ (3, 4) $ और त्रिज्या $ 5 $ के लिए समीकरण $ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 $ होगा।
3. प्रश्न 3
समस्या कथन
- तीन गैर-संरेख बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात करें।
समाधान
- चरण 1: वृत्त के सामान्य समीकरण का उपयोग करें।
- चरण 2: तीन बिंदुओं के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
- चरण 3: $ D, E, F $ ज्ञात करने के लिए समीकरण प्रणाली को हल करें।
- अंतिम समीकरण: $ x^2 + y^2 - 6x + 8y - 12 = 0 $.
4. प्रश्न 4
समस्या कथन
- वृत्त के केंद्र से दी गई रेखा की दूरी की गणना करें।
समाधान
- सूत्र: दूरी $ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $
- उदाहरण: रेखा $ 3x - 4y + 5 = 0 $ और केंद्र $ (2, 3) $ के लिए दूरी $ \frac{|3(2) - 4(3) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{1}{5} $ है।
5. प्रश्न 5
समस्या कथन
- रेखा के वृत्त की स्पर्श रेखा होने की शर्त निर्धारित करें।
समाधान
- मुख्य शर्त: केंद्र से रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर हो।
- गणितीय व्यंजक: $ \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r $.
6. प्रश्न 6
समस्या कथन
- रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन का विश्लेषण करें और प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
समाधान
- चरण 1: रेखा के समीकरण को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
- चरण 2: परिणामी द्विघात समीकरण को हल करें।
- चरण 3: प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें।
- उदाहरण: रेखा $ y = mx + c $ और वृत्त $ x^2 + y^2 = r^2 $ के लिए $ y $ को प्रतिस्थापित करें: $ x^2 + (mx + c)^2 = r^2 $।
Practice Problems
##### उस वृत्त का समीकरण जिसके दो व्यास रेखाओं $2 x-3 y+4=0$ और $3 x+4 y-5=0$ के अनुदिश हैं और जो मूल बिंदु से गुजरता है, है:
1. [ ] $x^{2}+y^{2}+2 x-44 y=0$
2. [ ] $17 x^{2}+17 y^{2}-2 x+44 y=0$
3. [x] $17 x^{2}+17 y^{2}+2 x-44 y=0$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
##### बिंदु $(2,0),(0,1),(4,5)$, और $(0, a)$ एकवृत्तीय हैं। तब $a$ का मान बराबर है:
1. [x] $\dfrac{14}{3}$ या 1
2. [ ] 14 या $\dfrac{1}{3}$
3. [ ] $-\dfrac{14}{3}$ या -1
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
##### दो बिंदुओं $A$ और $B$ के भुज समीकरण $x^{2}+2 a x-4=0$ के मूल हैं और उनके कोटि समीकरण $x^{2}+2 b x-9=0$ के मूल हैं। तब $A B$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण है:
1. [ ] $x^{2}+y^{2}-a x-b x+13=0$
2. [ ] $x^{2}+y^{2}+a x+b y-13=0$
3. [x] $x^{2}+y^{2}+2 a x+2 b y-13=0$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
##### यदि रेखाएँ $a _1 x+b _1 y+c _1=0$ और $a _2 x+b _2 y+c _2=0$ निर्देशांक अक्षों को एकवृत्तीय बिंदुओं पर काटती हैं, तो:
1. [x] $a _1 a _2=b _1 b _2$
2. [ ] $a _1 b _1=a _2 b _2$
3. [ ] $a _1 b _1=a _2 b _1$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
##### उस वृत्त का समीकरण जो बिंदु $(2,0)$ से गुजरता है और जिसका केंद्र रेखाओं $3 x+5 y=1$ और $(2+c) x+5 c^{2} y=1$ के प्रतिच्छेद बिंदु की सीमा है जब $c \rightarrow 1$ होता है, है:
1. [ ] $25(x^{2}+y^{2})-20 x+2 y+60=0$
2. [x] $25(x^{2}+y^{2})-20 x+2 y-60=0$
3. [ ] $25(x^{2}-y^{2})-20 x-2 y-60=0$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
##### रेखाएँ $3 x-y+3=0$ और $x-3 y-6=0$ निर्देशांक अक्षों को एकवृत्तीय बिंदुओं पर काटती हैं। इन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण है:
1. [x] $x^{2}+y^{2}-5 x-y-6=0$
2. [ ] $x^{2}+y^{2}+5 x+y+6=0$
3. [ ] $x^{2}+y^{2}+2 x y=0$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
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