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अध्ययन नोट्स: दीर्घवृत्त

अनुक्रमणिका

1. दीर्घवृत्त का समीकरण
2. स्पर्श रेखाएँ तथा अभिलम्ब
3. दीर्घवृत्त के गुणधर्म
4. संयुग्मी व्यास
5. महत्वपूर्ण बिंदु
6. सारांश

1. दीर्घवृत्त का समीकरण

मानक समीकरण

मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त का मानक रूप है: $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

• दीर्घ अक्ष: लंबाई = $2a$
• लघु अक्ष: लंबाई = $2b$
• नाभियाँ: $(\pm c, 0)$ पर स्थित, जहाँ $c = \sqrt{a^2 - b^2}$

प्राचलिक समीकरण

• प्राचलिक निर्देशांक: $x = a \cos \theta$, $y = b \sin \theta$
• उत्केंद्रित कोण: $\theta$ वह कोण है जो सहायक वृत्त पर बिंदु $P$ द्वारा बनाया जाता है।

2. स्पर्श रेखाएँ तथा अभिलम्ब

स्पर्श रेखा का समीकरण

दीर्घवृत्त पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर: $$ \frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1 $$

• प्राचलिक रूप: $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$

अभिलम्ब का समीकरण

बिंदु $(x_1, y_1)$ पर: $$ \frac{a x}{x_1} + \frac{b y}{y_1} = a^2 + b^2 $$

• प्राचलिक रूप: $\frac{x}{a \cos \theta} + \frac{y}{b \sin \theta} = \frac{a^2 + b^2}{\cos \theta \sin \theta}$

मुख्य अवधारणाएँ

• शीर्ष पर स्पर्श रेखा: $(a, 0)$ पर, स्पर्श रेखा $x = a$ है।
• लघु अक्ष के अंत पर स्पर्श रेखा: $(0, b)$ पर, स्पर्श रेखा $y = b$ है।

3. दीर्घवृत्त के गुणधर्म

मुख्य विशेषताएँ

• दूरियों का योग: दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु $P$ के लिए, नाभियों से दूरियों का योग नियत होता है: $PF_1 + PF_2 = 2a$।
• उत्केंद्रता: $e = \frac{c}{a}$, जहाँ $0 < e < 1$।
• नियता: $x = \pm \frac{a}{e}$, जहाँ $e < 1$।

महत्वपूर्ण सूत्र

• उत्केंद्रता: $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$
• क्षेत्रफल: $\pi a b$
• नाभिलंब: लंबाई = $\frac{2b^2}{a}$

4. संयुग्मी व्यास

परिभाषा

दो व्यास संयुग्मी होते हैं यदि एक के अंत पर खींची गई स्पर्श रेखा दूसरे के समान्तर हो।

मुख्य परिणाम

• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: संयुग्मी व्यासों के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल नियत होता है और $4ab$ के बराबर होता है।
• उत्केंद्रित कोण: संयुग्मी व्यासों के सिरों के उत्केंद्रित कोण $\frac{\pi}{2}$ से भिन्न होते हैं।

5. महत्वपूर्ण बिंदु

उत्केंद्रित कोण

• परिभाषित कोण $\theta$ इस प्रकार कि $P$ सहायक वृत्त पर स्थित हो।
• संबंध: यदि $P$ दीर्घवृत्त पर है, तो सहायक वृत्त पर $Q$ कोण $\angle NOQ = \theta$ से संगत होता है।

विशेष स्थितियाँ

• संयुग्मी व्यास: संयुग्मी व्यासों की लंबाइयों का गुणनफल नियत होता है।
• दीर्घ और लघु अक्ष: दीर्घ अक्ष सबसे लंबा व्यास होता है, जबकि लघु अक्ष सबसे छोटा होता है।

6. सारांश

7. मुख्य परिभाषाएँ

उत्केंद्रित कोण: वह कोण $\theta$ जिसके लिए दीर्घवृत्त पर बिंदु $P$ सहायक वृत्त पर बिंदु $Q$ के संगत होता है।

संयुग्मी व्यास: दो व्यास जिनमें एक के अंत पर स्पर्श रेखा दूसरे के समान्तर होती है।

नाभिलंब: दीर्घ अक्ष के लंबवत एक रेखाखंड जो नाभि से गुजरती है और दीर्घवृत्त पर सिरे बिंदुओं पर समाप्त होती है।

8. उदाहरण

उदाहरण 1: शीर्ष पर स्पर्श रेखा

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए, बिंदु $(4, 0)$ पर स्पर्श रेखा है: $$ x = 4 $$

उदाहरण 2: उत्केंद्रता

$a = 5$ और $b = 3$ वाले दीर्घवृत्त के लिए: $$ e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$

9. निष्कर्ष

दीर्घवृत्त का अध्ययन उसके ज्यामितीय गुणधर्मों, समीकरणों तथा संबंधित अवधारणाओं जैसे स्पर्श रेखाओं, अभिलम्बों और संयुग्मी व्यासों की समझ को शामिल करता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में उन्नत समस्याओं के लिए इन विषयों में निपुणता आवश्यक है।