त्रि-विमीय ज्यामिति
JEE में विषय का महत्व
| मापदंड | मान | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|
| कुल प्रश्न (2017-2024) | 12 | JEE में प्रत्येक वर्ष कम से कम एक प्रश्न शामिल किया गया है। |
| भारांक | 5.10% | इस विषय से प्रश्नों के अनुपात को दर्शाता है। |
वार्षिक प्रश्न वितरण
| वर्ष | विषय क्षेत्र | समावेशित अवधारणाएँ | प्रश्नों की संख्या | कठिनाई स्तर | प्रमुख फोकस क्षेत्र |
|---|---|---|---|---|---|
| 2024 | बिंदु से रेखा की दूरी/ दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी | दिक् अनुपात/ न्यूनतम दूरी सूत्र | 2 | औसत | |
| 2023 | दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी | न्यूनतम दूरी सूत्र | 2 | औसत | |
| 2022 | एक सरल रेखा का समीकरण/ दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी/ एक रेखा से बिंदु की दूरी। | दिक् अनुपात/ न्यूनतम दूरी सूत्र/त्रिभुज का क्षेत्रफल | 3 | औसत/ आसान/ औसत | |
| 2021 | दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी। | न्यूनतम दूरी सूत्र | 1 | औसत | |
| 2020 | एक रेखा में एक बिंदु का प्रतिबिंब | लंब का पाद | 1 | आसान | |
| 2019 | एक रेखा से बिंदु पर लंब की लंबाई/ एक रेखा से बिंदु की दूरी | दूरी सूत्र | 2 | औसत/ आसान | |
| 2018 | दो रेखाओं के बीच का कोण | दो रेखाओं के बीच का कोण | 1 | औसत | |
| 2017 | - | - | - | - |
संबंधित वीडियो
अध्ययन नोट्स: निर्देशांक ज्यामिति और 3D ज्यामिति
विषय सूची
- निर्देशांक ज्यामिति का परिचय
- 3D अंतरिक्ष में निर्देशांक प्रणाली
- रेखाओं और समतलों के समीकरण
- दूरी और दिक् कोज्याएँ
- रेखाओं और समतलों के बीच का कोण
- रेखाखंडों का प्रक्षेपण
- महत्वपूर्ण बिंदु और सूत्र
- निष्कर्ष
1. निर्देशांक ज्यामिति का परिचय
मुख्य अवधारणाएँ
- निर्देशांक ज्यामिति बीजगणितीय समीकरणों का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन है।
- त्रि-विमीय अंतरिक्ष में, बिंदुओं को क्रमित त्रिक (x, y, z) द्वारा निरूपित किया जाता है।
- निर्देशांक प्रणाली में तीन परस्पर लंबवत अक्ष शामिल हैं: x, y, और z।
महत्वपूर्ण परिभाषाएँ
निर्देशांक अक्ष और समतल:
- x-अक्ष, y-अक्ष, और z-अक्ष 3D अंतरिक्ष में तीन परस्पर लंबवत रेखाएँ हैं।
- xy-समतल, yz-समतल, और xz-समतल तीन निर्देशांक समतल हैं जो मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अष्टांश:
- निर्देशांक प्रणाली निर्देशांकों (x, y, z) के चिह्नों के आधार पर आठ अष्टांशों में विभाजित है।
2. 3D अंतरिक्ष में निर्देशांक प्रणाली
निर्देशांक अक्ष
- तीनों अक्ष एक दूसरे के लंबवत हैं और मूल बिंदु (0, 0, 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
- अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को उसके निर्देशांक (x, y, z) द्वारा विशिष्ट रूप से पहचाना जा सकता है।
निर्देशांक समतल
- xy-समतल: z = 0 द्वारा परिभाषित
- yz-समतल: x = 0 द्वारा परिभाषित
- xz-समतल: y = 0 द्वारा परिभाषित
अष्टांश
- प्रत्येक अष्टांश निर्देशांकों के चिह्नों द्वारा परिभाषित होता है:
- (+, +, +)
- (+, +, -)
- (+, -, +)
- (+, -, -) (-, +, +) (-, +, -) (-, -, +) (-, -, -)
3. रेखाओं और समतलों के समीकरण
3D में एक रेखा का समीकरण
-
सदिश रूप:
$$ \vec{r} = \vec{a} + t\vec{b} $$ जहाँ $\vec{a}$ रेखा पर एक बिंदु है और $\vec{b}$ दिक् सदिश है। -
कार्तीय रूप:
$$ \dfrac{x - x_1}{a} = \dfrac{y - y_1}{b} = \dfrac{z - z_1}{c} $$ जहाँ $(x_1, y_1, z_1)$ रेखा पर एक बिंदु है और $(a, b, c)$ दिक् सदिश है।
एक समतल का समीकरण
-
सामान्य रूप:
$$ ax + by + cz + d = 0 $$ जहाँ $a, b, c$ समतल के अभिलंब सदिश के गुणांक हैं। -
अभिलंब रूप:
$$ lx + my + nz = p $$ जहाँ $l, m, n$ अभिलंब सदिश की दिक् कोज्याएँ हैं, और $p$ मूल बिंदु से समतल की दूरी है।
4. दूरी और दिक् कोज्याएँ
दिक् कोज्याएँ
- किसी रेखा की दिक् कोज्याएँ वे कोज्याएँ हैं जो रेखा निर्देशांक अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाती है।
- यदि किसी रेखा के दिक् अनुपात $a, b, c$ हैं, तो दिक् कोज्याएँ हैं: $$ l = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \quad m = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \quad n = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$
दो बिंदुओं के बीच की दूरी
- दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी है: $$ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$
5. रेखाओं और समतलों के बीच का कोण
दो रेखाओं के बीच का कोण
- दिक् कोज्याएँ $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $$ \cos \theta = l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 $$
एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण
- एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण $\phi$, रेखा और समतल के अभिलंब के बीच के कोण का पूरक है: $$ \sin \phi = \dfrac{|l a + m b + n c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$ जहाँ $a, b, c$ समतल समीकरण $ax + by + cz + d = 0$ के गुणांक हैं।
दो समतलों के बीच का कोण
- दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $$ \cos \theta = \dfrac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} $$
6. रेखाखंडों का प्रक्षेपण
एक रेखाखंड का प्रक्षेपण
- दिक् कोज्याएँ $l, m, n$ वाली रेखा पर एक रेखाखंड $AB$ का प्रक्षेपण है: $$ \text{Projection} = (x_2 - x_1)l + (y_2 - y_1)m + (z_2 - z_1)n $$
एक निर्देशांक अक्ष पर प्रक्षेपण
- x-अक्ष पर एक रेखाखंड का प्रक्षेपण $x_2 - x_1$ है, और इसी तरह y और z के लिए।
7. महत्वपूर्ण बिंदु और सूत्र
मुख्य सूत्रों का सारांश
| सूत्र | विवरण |
|---|---|
| $ \vec{r} = \vec{a} + t\vec{b} $ | एक रेखा का सदिश समीकरण |
| $ \dfrac{x - x_1}{a} = \dfrac{y - y_1}{b} = \dfrac{z - z_1}{c} $ | एक रेखा का कार्तीय समीकरण |
| $ ax + by + cz + d = 0 $ | एक समतल का सामान्य समीकरण |
| $ \cos \theta = l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 $ | दो रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या |
| $ \sin \phi $= $\dfrac{|l a + m b + n c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $ | एक रेखा और एक समतल के बीच के कोण की ज्या |
महत्वपूर्ण परिभाषाएँ
दिक् अनुपात: एक रेखा की दिक् कोज्याओं के अनुपात, जो कोई भी वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं।
अभिलंब सदिश: एक समतल के लंबवत सदिश, जिसका उपयोग समतल के समीकरण में किया जाता है।
अष्टांश: निर्देशांक समतलों द्वारा निर्मित आठ क्षेत्रों में से एक।
8. निष्कर्ष
- त्रि-विमीय निर्देशांक ज्यामिति स्थानिक संबंधों को समझने के लिए मौलिक है।
- मुख्य अवधारणाओं में दिक् कोज्याएँ, रेखाओं और समतलों के समीकरण, रेखाओं और समतलों के बीच के कोण और प्रक्षेपण शामिल हैं।
- ये विषय उन्नत गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक हैं।
Practice Problems
##### यदि एक त्रिभुज का लंबकेंद्र और केन्द्रक क्रमशः $(-3,5,1)$ और $(3,3,-1)$ हैं, तो इसका परिकेंद्र है
1. [x] $(6,2,-2)$
2. [ ] $(1,2,0)$
3. [ ] $(6,2,2)$
4. [ ] $(6,-2,2)$
##### एक रेखा $\theta$ और $Z$-अक्षों दोनों के साथ समान कोण $X$ बनाती है। यदि $Y$-अक्ष के साथ जो कोण $\beta$, वह ऐसा है कि $\sin ^{2} \beta=3 \sin ^{2} \theta$, तो $\cos ^{2} \theta$ बराबर है
1. [ ] $\dfrac{2}{3}$
2. [ ] $\dfrac{1}{5}$
3. [x] $\dfrac{3}{5}$
4. [ ] $\dfrac{2}{5}$
##### एक रेखा $X$ और $Y$-अक्षों दोनों के साथ एक कोण $\theta$ बनाती है। $\theta$ का एक संभावित मान है
1. [ ] $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$
2. [ ] $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$
3. [x] $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right]$
4. [ ] $\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right]$
##### एक सदिश के तीन निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेप $6,-3$ और 2 हैं। सदिश की दिक् कोज्याएँ हैं
1. [ ] $6,-3,2$
2. [ ] $\dfrac{6}{5},-\dfrac{3}{5}, \dfrac{2}{5}$
3. [x] $\dfrac{6}{7},-\dfrac{3}{7}, \dfrac{2}{7}$
4. [ ] $-\dfrac{6}{7},-\dfrac{3}{7}, \dfrac{2}{7}$
##### यदि 3-विमीय अंतरिक्ष में एक रेखाखंड के $X, Y$ और $Z$-अक्षों पर प्रक्षेप क्रमशः 2, 3 और 6 हैं, तो रेखाखंड की लंबाई है
1. [ ] 12
2. [x] 7
3. [ ] 9
4. [ ] 6
##### एक सदिश $\mathbf{r}$ $O X, O Y$ और $O Z$ के साथ समान कोणों पर झुका हुआ है। यदि $\mathbf{r}$ का परिमाण 6 इकाई है, तो $\mathbf{r}$ बराबर है
1. [ ] $\sqrt{3}(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})$
2. [ ] $-\sqrt{3}(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})$
3. [x] $-2 \sqrt{3}(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
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