सदिश राशियाँ और उनकी संक्रियाएँ
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अध्ययन नोट्स: सदिश राशियाँ और उनकी संक्रियाएँ
विषय सूची
- अदिश और सदिश राशियों का परिचय
- सदिश योग
- सदिश योग का त्रिभुज नियम
- सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम
- सदिश व्यवकलन
- सदिशों का अदिश से गुणन और भाग
- सदिशों का गुणनफल
- डॉट गुणनफल (अदिश गुणनफल)
- क्रॉस गुणनफल (सदिश गुणनफल)
- मुख्य अवधारणाओं का सारांश
1. अदिश और सदिश राशियों का परिचय
परिभाषा: अदिश राशियाँ वे भौतिक राशियाँ हैं जिनमें केवल परिमाण होता है, जबकि सदिश राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
| प्रकार | विवरण | उदाहरण |
|---|---|---|
| अदिश | केवल परिमाण होता है | द्रव्यमान, तापमान, चाल |
| सदिश | परिमाण और दिशा होते हैं | विस्थापन, वेग, बल |
2. सदिश योग
2.1 सदिश योग का त्रिभुज नियम
- परिभाषा: दो सदिशों को जोड़ने के लिए, दूसरे सदिश के पुच्छ को पहले सदिश के शीर्ष पर रखें। परिणामी सदिश पहले सदिश के पुच्छ से दूसरे सदिश के शीर्ष तक होता है।
2.2 सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम
- परिभाषा: सदिशों को इस प्रकार रखें कि उनके पुच्छ मिलें। प्रत्येक सदिश के समांतर रेखाएँ खींचकर समांतर चतुर्भुज पूरा करें। परिणामी सदिश समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होता है।
महत्वपूर्ण बिंदु: दोनों नियम समतुल्य हैं और समान परिणामी सदिश प्रदान करते हैं।
3. सदिश व्यवकलन
- परिभाषा: सदिश व्यवकलन एक ऋणात्मक सदिश का योग है।
- विधि:
- जिस सदिश को घटाया जा रहा है, उसकी दिशा उलट दें।
- सदिशों को जोड़ने के लिए त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करें।
उदाहरण: यदि A - B, तो यह A + (-B) के बराबर है, जहाँ -B, सदिश B की विपरीत दिशा में है।
4. सदिशों का अदिश से गुणन और भाग
4.1 सदिश का अदिश से गुणन
- प्रभाव: सदिश के परिमाण को बदलता है।
- धनात्मक अदिश: परिमाण बढ़ता है; दिशा समान रहती है।
- ऋणात्मक अदिश: परिमाण बढ़ता है; दिशा उलट जाती है।
उदाहरण: यदि A = 5i और अदिश = -2, तो -2A = -10i.
4.2 सदिश का अदिश से भाग
- प्रभाव: सदिश के परिमाण को घटाता है।
- दिशा अपरिवर्तित रहती है।
उदाहरण: यदि A = 15i और अदिश = 3, तो A/3 = 5i.
5. सदिशों का गुणनफल
5.1 डॉट गुणनफल (अदिश गुणनफल)
- परिभाषा: दो सदिशों का डॉट गुणनफल एक अदिश राशि है जो मापती है कि एक सदिश दूसरे सदिश की दिशा में कितना विस्तार करता है।
- सूत्र:
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta $$ जहाँ θ सदिशों के बीच का कोण है।
महत्वपूर्ण बिंदु: डॉट गुणनफल क्रमविनिमेय है: $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$.
5.2 क्रॉस गुणनफल (सदिश गुणनफल)
- परिभाषा: दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल एक सदिश होता है जो मूल दो सदिशों द्वारा निर्मित तल के लंबवत होता है।
- सूत्र:
$$ \vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta , \hat{n} $$ जहाँ θ सदिशों के बीच का कोण है और $\hat{n}$ तल के लंबवत एकांक सदिश है।
महत्वपूर्ण बिंदु: क्रॉस गुणनफल प्रतिक्रमविनिमेय है: $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$।
6. मुख्य अवधारणाओं का सारांश
मुख्य अवधारणाएँ
- अदिश राशियाँ: केवल परिमाण होता है (जैसे, द्रव्यमान, तापमान)।
- सदिश राशियाँ: परिमाण और दिशा होते हैं (जैसे, वेग, बल)।
- सदिश योग: त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम से किया जा सकता है।
- सदिश व्यवकलन: एक ऋणात्मक सदिश के योग को शामिल करता है।
- अदिश गुणन: सदिश के परिमाण को बदलता है।
- डॉट गुणनफल: अदिश परिणाम, सदिशों के बीच कोण पर आधारित।
- क्रॉस गुणनफल: सदिश परिणाम, मूल सदिशों के तल के लंबवत।
महत्वपूर्ण सूत्र
| संक्रिया | सूत्र |
|---|---|
| डॉट गुणनफल | $\vec{A} \cdot \vec{B} = |
| क्रॉस गुणनफल | $\vec{A} \times \vec{B} = |
Practice Problems
##### यदि $A$ और $B$ दो अशून्य सदिश हैं जिनका परिमाण समान है, तो सदिश $A$ और $A-B$ के बीच का कोण है
1. [ ] $0^{\circ}$
2. [ ] $90^{\circ}$
3. [ ] $180^{\circ}$
4. [x] सदिशों $A$ और $B$ की अभिविन्यास पर निर्भर करता है
##### एक सदिश जिसका परिमाण 30 इकाई है, $X$, $Y$ और $Z$-अक्षों में से प्रत्येक के साथ समान कोण बनाता है। तो $X$, $Y$ और $Z$-अक्षों के अनुदिश इस सदिश के घटक हैं
1. [x] $10 \sqrt{3}$ इकाई
2. [ ] $\dfrac{10}{\sqrt{3}}$ इकाई
3. [ ] $15 \sqrt{3}$ इकाई
4. [ ] 10 इकाई
##### एक कण का प्रारंभिक वेग $3 \hat{i}+4 \hat{j}$ है और त्वरण $0.4 \hat{i}+0.3 \hat{j}$ है। 10 s के बाद इसकी चाल है
1. [ ] 10 इकाई
2. [x] $7 \sqrt{2}$ इकाई
3. [ ] 7 इकाई
4. [ ] 8.5 इकाई
##### एक गेंद को धरातल से $20 \sqrt{3} \ \mathrm{ms}^{-1}$ के वेग से क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाते हुए फेंका जाता है। गेंद धरातल से 40 m की ऊँचाई पर समय $t$ पर होगी जबकि (गुरुत्वीय त्वरण $g=10 \ \mathrm{ms}^{-2}$ लीजिये)
1. [ ] $\sqrt{2} \ \mathrm{s}$
2. [ ] $\sqrt{3} \ \mathrm{s}$
3. [x] 2 s
4. [ ] 3 s
##### एक बल $F=(5 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) \ \mathrm{N}$ किसी कण पर लगाया जाता है जो इसे मूल बिंदु से बिंदु $\ \mathrm{r}=(2 \hat{i}-\hat{\ \mathrm{j}}) \ \mathrm{m}$ तक विस्थापित कर देता है। कण पर किया गया कार्य (जूल में) है
1. [ ] -7
2. [x] +7
3. [ ] +10
4. [ ] +13
##### यदि $A \times B=B \times A$ है, तो $A$ और $B$ के बीच का कोण है
1. [x] $\pi$
2. [ ] $\dfrac{\pi}{3}$
3. [ ] $\dfrac{\pi}{2}$
4. [ ] $\dfrac{\pi}{4}$
##### एक गेंद सीढ़ी के ऊपर से $u \ \mathrm{ms}^{-1}$ के क्षैतिज वेग से लुढ़कती है। यदि सीढ़ियों की ऊँचाई $h$ मीटर और चौड़ाई $b$ मीटर है, तो गेंद $n$वीं सीढ़ी के किनारे से टकराएगी, जहाँ $n$ है
1. [ ] $\dfrac{2 h u}{g b^{2}}$
2. [x] $\dfrac{2 h u^{2}}{g b^{2}}$
3. [ ] $\dfrac{2 h u^{2}}{g b}$
4. [ ] $\dfrac{h u^{2}}{g b^{2}}$
##### दो कागज की स्क्रीन $A$ और $B$ 200 m की दूरी पर हैं। एक गोली $A$ और $B$ को भेदती है। $B$ में छेद $A$ में छेद से 40 cm नीचे है। यदि गोली $A$ से टकराते समय क्षैतिज गति कर रही है, तो $A$ पर गोली का वेग है
1. [ ] $200 \ \mathrm{ms}^{-1}$
2. [ ] $400 \ \mathrm{ms}^{-1}$
3. [ ] $600 \ \mathrm{ms}^{-1}$
4. [x] $700 \ \mathrm{ms}^{-1}$
##### एक प्रक्षेप्य को $30^{\circ}$ के कोण पर क्षैतिज दिशा में इस प्रकार फायर किया जाता है कि इसके प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $80 \ \mathrm{ms}^{-1}$ है। इसका उड्डयन काल $T$ है। $t=\dfrac{T}{4}$ पर इसके वेग का परिमाण लगभग है (गुरुत्वीय त्वरण $g=10 \ \mathrm{ms}^{-2}$ लीजिये)
1. [ ] $180 \ \mathrm{ms}^{-1}$
2. [ ] $155 \ \mathrm{ms}^{-1}$
3. [x] $145 \ \mathrm{ms}^{-1}$
4. [ ] $140 \ \mathrm{ms}^{-1}$
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