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अध्ययन नोट्स: वृतीय गति

विषयसूची

1. वृतीय गति का परिचय
2. वृतीय गति में प्रमुख अवधारणाएँ
3. वृतीय गति में शामिल बल
4. अभिकेंद्रीय और अपकेंद्रीय बल
5. वृतीय गति के अनुप्रयोग
6. समतल वृतीय सड़क पर गति
7. वक्र सड़कों का बैंकिंग
8. मोड़ के दौरान साइकिल चालक का झुकाव
9. मुख्य बिंदुओं का सारांश

1. वृतीय गति का परिचय

वृतीय गति किसी वस्तु की वृत्ताकार पथ पर गति है। यह घूर्णन गति का एक रूप है जहां वस्तु नियत त्रिज्या के साथ वक्र पथ पर चलती है।

• वृतीय गति के प्रकार:
  • एकसमान वृतीय गति: वस्तु नियत चाल से चलती है।
  • असमान वृतीय गति: वस्तु की चाल परिवर्तित होती है।

2. वृतीय गति में प्रमुख अवधारणाएँ

2.1 कोणीय विस्थापन

• परिभाषा: किसी निश्चित समय में त्रिज्या सदिश द्वारा तय किया गया कोण।
• मात्रक: रेडियन (rad)

2.2 कोणीय वेग

• परिभाषा: कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर।
• सूत्र: $ \omega = \frac{d\theta}{dt} $
• मात्रक: रेडियन प्रति सेकंड (rad/s)

2.3 कोणीय त्वरण

• परिभाषा: कोणीय वेग के परिवर्तन की दर।
• सूत्र: $ \alpha = \frac{d\omega}{dt} $
• मात्रक: रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²)

2.4 रेखीय वेग

• परिभाषा: वृत्ताकार पथ पर चलने वाले कण का वेग।
• सूत्र: $ v = r\omega $
• मात्रक: मीटर प्रति सेकंड (m/s)

2.5 रेखीय त्वरण

• परिभाषा: वृत्ताकार पथ पर चलने वाले कण का त्वरण।
• सूत्र: $ a = r\alpha $
• मात्रक: मीटर प्रति सेकंड वर्ग (m/s²)

3. वृतीय गति में शामिल बल

3.1 अभिकेंद्रीय बल

• परिभाषा: वह बल जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।
• सूत्र: $ F_c = \frac{mv^2}{r} $
• उदाहरण:
  • धागे में तनाव
  • कक्षीय गति में गुरुत्वाकर्षण बल
  • बैंक सड़क पर अभिलंब बल

3.2 अपकेंद्रीय बल

• परिभाषा: वृतीय गति में वस्तु द्वारा अनुभव किया जाने वाला आभासी बाह्य बल।
• टिप्पणी: यह एक आभासी बल है जो घूर्णन संदर्भ फ्रेम में अनुभव होता है।

4. अभिकेंद्रीय और अपकेंद्रीय बल

5. वृतीय गति के अनुप्रयोग

5.1 वृत्ताकार सड़क पर वाहन की गति

• मुख्य बिंदु:
  • वाहन को वृत्ताकार पथ पर चलने के लिए अभिकेंद्रीय बल की आवश्यकता होती है।
  • टायर और सड़क के बीच घर्षण बल अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है।
  • यदि चाल बहुत अधिक हो, तो अपर्याप्त घर्षण के कारण वाहन बाहर की ओर फिसल सकता है।

5.2 वक्र सड़कों का बैंकिंग

• परिभाषा: सड़क को एक कोण पर झुकाया जाता है ताकि घर्षण पर निर्भरता कम हो।
• उद्देश्य:
  • अधिकतम सुरक्षित चाल बढ़ाना।
  • मोड़ के दौरान वाहन स्थिरता में सुधार करना।

5.3 मोड़ के दौरान साइकिल चालक का झुकाव

• तकनीक: साइकिल चालक अंदर की ओर झुकते हैं ताकि अभिकेंद्रीय बल उत्पन्न हो।
• उद्देश्य: मोड़ के दौरान संतुलन और नियंत्रण बनाए रखना।
• सूत्र: $ \tan\theta = \frac{v^2}{rg} $

6. समतल वृतीय सड़क पर गति

• अभिकेंद्रीय बल आवश्यकता:
  • अभिकेंद्रीय बल टायर और सड़क के बीच घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
• घर्षण बल:
  • $ F_f = \mu mg $
  • जहाँ $ \mu $ घर्षण गुणांक है।
• अधिकतम चाल:
  • $ v_{max} = \sqrt{\mu rg} $

7. वक्र सड़कों का बैंकिंग

7.1 बैंकिंग का उद्देश्य

• घर्षण पर निर्भरता कम करता है।
• वाहनों के लिए सुरक्षा और स्थिरता बढ़ाता है।

7.2 बैंकिंग कोण

• सूत्र: $ \tan\theta = \frac{v^2}{rg} $
• स्पष्टीकरण:
  • बैंकिंग कोण $ \theta $ को घर्षण के बिना आवश्यक अभिकेंद्रीय बल प्रदान करने के लिए डिज़ाइन किया जाता है।

7.3 बैंकिंग के लाभ

• अधिकतम सुरक्षित चाल बढ़ाता है।
• टायरों के घर्षण को कम करता है।
• चालक नियंत्रण में सुधार करता है।

8. मोड़ के दौरान साइकिल चालक का झुकाव

8.1 साइकिल चालक क्यों झुकते हैं

• अभिकेंद्रीय बल उत्पन्न करने के लिए जो साइकिल चालक को वृत्ताकार पथ पर बनाए रखता है।
• झुकाव कोण अभिलंब बल का एक घटक प्रदान करता है जो केंद्र की ओर कार्य करता है।

8.2 झुकाव कोण का सूत्र

• $ \tan\theta = \frac{v^2}{rg} $

8.3 उदाहरण

• 20 m त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर 10 m/s चाल से चलने वाला साइकिल चालक।
• $ \tan\theta = \frac{10^2}{20 \times 9.8} = \frac{100}{196} \approx 0.51 $
• $ \theta \approx 27^\circ $

9. मुख्य बिंदुओं का सारांश

प्रमुख अवधारणाएँ

• अभिकेंद्रीय बल: वृतीय गति के लिए आवश्यक, केंद्र की ओर निर्देशित।
• अपकेंद्रीय बल: घूर्णन फ्रेम में आभासी बाह्य बल।
• कोणीय वेग और त्वरण: कोणीय विस्थापन के परिवर्तन दर से संबंधित।
• सड़कों का बैंकिंग: घर्षण पर निर्भरता कम करने और स्थिरता बढ़ाने के लिए उपयोगी।

महत्वपूर्ण सूत्र

• $ v = r\omega $
• $ a = r\alpha $
• $ F_c = \frac{mv^2}{r} $
• $ \tan\theta = \frac{v^2}{rg} $

अनुप्रयोग

• वृत्ताकार सड़कों पर वाहन गति
• वक्र सड़कों का बैंकिंग
• मोड़ के दौरान साइकिल चालक का झुकाव

चित्र और आरेख

चित्र 1: अभिकेंद्रीय बल क्रिया में

• कैप्शन: धागे से बंधी गेंद पर कार्यरत अभिकेंद्रीय बल का चित्रण।
• संदर्भ: अनुभाग 3.1

चित्र 2: वक्र सड़क का बैंकिंग

• कैप्शन: वक्र सड़क के बैंकिंग कोण को दर्शाता आरेख।
• संदर्भ: अनुभाग 7.1

चित्र 3: मोड़ के दौरान साइकिल चालक का झुकाव

• कैप्शन: संतुलन बनाए रखने के लिए अंदर की ओर झुके साइकिल चालक का आरेख।
• संदर्भ: अनुभाग 8.1

निष्कर्ष

वृतीय गति भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जिसके दैनिक जीवन में व्यापक अनुप्रयोग हैं। इसमें शामिल बलों, जैसे अभिकेंद्रीय और अपकेंद्रीय बल, तथा बैंकिंग और साइकिल चालक के झुकाव के सिद्धांतों को समझना सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक है।

Practice Problems

##### एक कण 5 मीटर त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $5 \ \mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}$ की एकसमान चाल से गति कर रहा है। जब कण आधा चक्कर पूरा करता है, तो औसत त्वरण क्या होगा? 1. [ ] शून्य 2. [x] $\frac{10}{\pi} \ \mathrm{ms}^{-2}$ 3. [ ] $10 \ \mathrm{ms}^{-2}$ 4. [ ] इनमें से कोई नहीं ##### एक साइकिल सवार 34.3 मीटर परिधि के गोलाकार पथ को $\sqrt{22} \ \mathrm{s}$ में पूरा करता है, उसके द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण होगा 1. [x] $45^{\circ}$ 2. [ ] $40^{\circ}$ 3. [ ] $42^{\circ}$ 4. [ ] $48^{\circ}$ ##### एक कण एक समान वृत्तीय गति करता है। वृत्त के तल पर किस बिंदु के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग संरक्षित रहेगा? 1. [x] वृत्त के केंद्र के सापेक्ष 2. [ ] वृत्त की परिधि पर स्थित बिंदु के सापेक्ष 3. [ ] वृत्त के अंदर स्थित बिंदु के सापेक्ष 4. [ ] वृत्त के बाहर स्थित बिंदु के सापेक्ष ##### एक पहिया अपनी धुरी के परितः 900 rpm से घूम रहा है। जब बिजली बंद की जाती है, तो यह 1 मिनट में रुक जाता है। rads $^{-2}$ में कोणीय मंदन है 1. [x] $\frac{\pi}{2}$ 2. [ ] $\frac{\pi}{4}$ 3. [ ] $\frac{\pi}{6}$ 4. [ ] $\frac{\pi}{8}$ ##### एक कण घटती हुई चाल से वृत्ताकार पथ में गति करता है। सही कथन चुनें। 1. [ ] कोणीय संवेग स्थिर रहता है 2. [ ] त्वरण a केंद्र की ओर कार्य कर रहा है 3. [ ] कण घटती हुई त्रिज्या वाले सर्पिल पथ में गति करता है 4. [x] कोणीय संवेग की दिशा स्थिर रहती है ##### द्रव्यमान $m _{1}$ और $m _{2}$ की दो कारें क्रमशः $r _{1}$ और $r _{2}$ त्रिज्या के वृत्तों में गति कर रही हैं। उनकी चाल इस प्रकार है कि वे समान समय $t$ में पूर्ण चक्कर लगाती हैं। उनके अभिकेंद्रीय त्वरण का अनुपात है $\rightarrow$ AIEEE 2012 1. [ ] $m _{1} r _{1}: m _{2} r _{2}$ 2. [ ] $m _{1}: m _{2}$ 3. [x] $r _{1}: r _{2}$ 4. [ ] $1: 1$ ##### 0.25 kg द्रव्यमान की एक गेंद 1.96 m लंबी डोरी के सिरे से बंधी हुई है और क्षैतिज वृत्त में गति कर रही है। यदि तनाव 25 N से अधिक होता है तो डोरी टूट जाएगी। गेंद को किस अधिकतम चाल से घुमाया जा सकता है? 1. [x] $14 \ \mathrm{ms}^{-1}$ 2. [ ] $3 \ \mathrm{ms}^{-1}$ 3. [ ] $3.92 \ \mathrm{ms}^{-1}$ 4. [ ] $5 \ \mathrm{ms}^{-1}$