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अध्ययन नोट्स: गुरुत्वाकर्षण

विषयसूची

1. गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम
2. गुरुत्व के कारण त्वरण
3. ऊँचाई और गहराई के साथ $ g $ का परिवर्तन
4. पृथ्वी के घूर्णन के कारण $ g $ का परिवर्तन
5. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और क्षेत्र की तीव्रता
6. गुरुत्वाकर्षण विभव
7. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और विभव के बीच संबंध
8. सारांश

1. गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम

मुख्य अवधारणाएँ

• परिभाषा: ब्रह्मांड का प्रत्येक कण प्रत्येक अन्य कण को एक बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती होता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सूत्र:
  $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$
  • $ F $: गुरुत्वाकर्षण बल
  • $ G $: गुरुत्वाकर्षण नियतांक ($6.674 \times 10^{-11} , \text{N·m}^2/\text{kg}^2$)
  • $ m_1, m_2 $: कणों के द्रव्यमान
  • $ r $: कणों के बीच की दूरी

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

गुरुत्वाकर्षण बल: दो द्रव्यमानों के बीच आकर्षण बल।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक ($ G $): एक समानुपातिकता स्थिरांक जो गुरुत्वाकर्षण अंतर्क्रिया की ताकत को मात्रात्मक रूप से व्यक्त करता है।

2. गुरुत्व के कारण त्वरण

मुख्य अवधारणाएँ

• परिभाषा: पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण किसी वस्तु द्वारा अनुभव किया गया त्वरण।
• सूत्र:
  $$ g = \frac{GM}{R^2} $$
  • $ g $: गुरुत्व के कारण त्वरण ($ \approx 9.81 , \text{m/s}^2 $)
  • $ M $: पृथ्वी का द्रव्यमान
  • $ R $: पृथ्वी की त्रिज्या

उदाहरण

• पृथ्वी की सतह पर: $ g \approx 9.81 , \text{m/s}^2 $
• मुक्त पतन में: वस्तुएँ $ g $ पर त्वरित होती हैं, द्रव्यमान से स्वतंत्र (गैलीलियो का सिद्धांत)।

3. ऊँचाई और गहराई के साथ $ g $ का परिवर्तन

मुख्य अवधारणाएँ

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• ऊँचाई $ h $ पर: $ g_h < g $
• गहराई $ d $ पर: $ g_d < g $
• रेखांकन प्रदर्शन: ऊँचाई और गहराई दोनों के लिए एक घटता हुआ वक्र।

4. पृथ्वी के घूर्णन के कारण $ g $ का परिवर्तन

मुख्य अवधारणाएँ

• प्रभाव: पृथ्वी का घूर्णन एक अपकेंद्री बल उत्पन्न करता है जो भूमध्य रेखा पर $ g $ को ध्रुवों की तुलना में कम कर देता है।
• सूत्र:
  $$ g’ = g - \frac{v^2}{R} $$
  • $ v $: भूमध्य रेखा पर स्पर्शरेखीय वेग
  • $ R $: पृथ्वी की त्रिज्या

उदाहरण

• भूमध्य रेखा पर: $ g \approx 9.78 , \text{m/s}^2 $
• ध्रुवों पर: $ g \approx 9.83 , \text{m/s}^2 $

5. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और क्षेत्र की तीव्रता

मुख्य अवधारणाएँ

• गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र: एक द्रव्यमान के चारों ओर का वह स्थान जहाँ उसका गुरुत्वीय प्रभाव महसूस किया जाता है।
• क्षेत्र की तीव्रता ($ I $): क्षेत्र में एक बिंदु पर प्रति इकाई द्रव्यमान पर बल।
• सूत्र:
  $$ I = \frac{F}{m} $$
  • $ I $: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता
  • $ F $: गुरुत्वाकर्षण बल
  • $ m $: परीक्षण कण का द्रव्यमान

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता: एक सदिश राशि जो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत और दिशा को एक बिंदु पर दर्शाती है।

6. गुरुत्वाकर्षण विभव

मुख्य अवधारणाएँ

• परिभाषा: एक परीक्षण द्रव्यमान को अनंत से गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक बिंदु तक लाने के लिए प्रति इकाई द्रव्यमान पर किया गया कार्य।
• सूत्र:
  $$ V = -\frac{GM}{r} $$
  • $ V $: गुरुत्वाकर्षण विभव
  • $ r $: द्रव्यमान $ M $ से दूरी

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• नकारात्मक चिह्न: इंगित करता है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के विरुद्ध कार्य किया जाता है।
• विभव ऊर्जा: $ U = mV $

7. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और विभव के बीच संबंध

मुख्य अवधारणाएँ

• गणितीय संबंध:
  $$ I = -\frac{dV}{dr} $$
  • $ I $: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता
  • $ V $: गुरुत्वाकर्षण विभव
  • $ r $: त्रिज्य दूरी

स्पष्टीकरण

• गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण विभव का नकारात्मक प्रवणता है।
• यह संबंध गुरुत्वाकर्षण बलों और विभवों की परस्पर संबंध को समझने में मौलिक है।

8. सारांश

मुख्य विषयों का पुनरावलोकन

• गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम: $ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $
• गुरुत्व के कारण त्वरण: $ g = \frac{GM}{R^2} $
• $ g $ का परिवर्तन:
  • ऊँचाई: $ g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} $
  • गहराई: $ g_d = \frac{GM}{R^2} \left(1 - \frac{d}{R}\right) $
• पृथ्वी का घूर्णन: भूमध्य रेखा पर $ g $ को कम करता है।
• गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र: $ I = \frac{F}{m} $
• गुरुत्वाकर्षण विभव: $ V = -\frac{GM}{r} $
• क्षेत्र और विभव संबंध: $ I = -\frac{dV}{dr} $

मुख्य सूत्र

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, \quad g = \frac{GM}{R^2}, \quad I = -\frac{dV}{dr} $$

चित्र 1: ऊँचाई और गहराई के साथ $ g $ के परिवर्तन का रेखांकन प्रदर्शन।

Practice Problems

##### एक द्रव्यमान $M$ दो भागों $m$ और $(M-m)$ में विभाजित किया जाता है, जो एक निश्चित दूरी से अलग किए गए हैं। वह अनुपात $m / M$ जो भागों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल को अधिकतम करता है, है 1. [ ] $1: 4$ 2. [ ] $1: 3$ 3. [x] $1: 2$ 4. [ ] $1: 1$ ##### द्रव्यमान 2M, m और $M$ के कण क्रमशः बिंदुओं $A, B$ और $C$ पर स्थित हैं, जहां $A B=\dfrac{1}{2}(B C)$, $m$ $M$ की तुलना में बहुत छोटा है और समय $t=0$ पर, वे सभी चित्र में दिए गए अनुसार विरामावस्था में हैं। तब, सही कथन चुनें। 1. [ ] $m$ विरामावस्था में बना रहेगा 2. [ ] $m$, $M$ की ओर गति करेगा 3. [x] $m$, $2 M$ की ओर गति करेगा 4. [ ] $m$ का दोलनशील गति होगी ##### यदि कोई पृथ्वी की सतह से चंद्रमा की ओर जाता है, तो उसके भार पर क्या प्रभाव पड़ेगा? 1. [ ] व्यक्ति का भार पृथ्वी की सतह से ऊंचाई के साथ लगातार घटता जाता है 2. [ ] व्यक्ति का भार पृथ्वी की सतह से ऊंचाई के साथ बढ़ता है 3. [x] व्यक्ति का भार पहले ऊंचाई के साथ घटता है और फिर पृथ्वी की सतह से ऊंचाई के साथ 'बढ़ता' है 4. [ ] व्यक्ति का भार पहले ऊंचाई के साथ बढ़ता है और फिर पृथ्वी की सतह से ऊंचाई के साथ घटता है ##### एक निश्चित ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पृथ्वी की तुलना में एक-चौथाई है। यदि एक पीतल की गेंद को इस ग्रह पर ले जाया जाता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है? 1. [ ] पीतल की गेंद का द्रव्यमान दूसरे ग्रह पर वही है जो पृथ्वी पर है 2. [x] पीतल की गेंद का द्रव्यमान इस ग्रह पर पृथ्वी पर मापे गए द्रव्यमान का एक चौथाई है 3. [ ] पीतल की गेंद का भार इस ग्रह पर पृथ्वी पर मापे गए भार का एक चौथाई है 4. [ ] पीतल की गेंद का आयतन दूसरे ग्रह पर वही है जो पृथ्वी पर है ##### यदि पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या दोनों $50 \\%$ कम हो जाएं, तो गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 1. [ ] समान रहेगा 2. [ ] $50 \\%$ घट जाएगा 3. [ ] $100 \\%$ घट जाएगा 4. [x] $100 \\%$ बढ़ जाएगा ##### 200 kg द्रव्यमान का एक अनुसंधान उपग्रह पृथ्वी की कक्षा में औसत त्रिज्या $\dfrac{3 R}{2}$ पर चक्कर लगाता है, जहां $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। यह मानते हुए कि पृथ्वी की सतह पर 1 kg द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण बल 10 N है, उपग्रह पर बल होगा 1. [ ] 880 N 2. [x] 889 N 3. [ ] 885 N 4. [ ] 892 N ##### वह ऊंचाई जिस पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $\dfrac{g}{9}$ हो जाता है (जहां, $g=$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण) पृथ्वी की त्रिज्या $R$ के पदों में है 1. [ ] $2 h$ 2. [ ] $\dfrac{h}{\sqrt{3}}$ 3. [x] $\dfrac{h}{2}$ 4. [ ] $\sqrt{2} h$ ##### पृथ्वी की सतह से ऊंचाई $h$ पर $g$ के मान में परिवर्तन पृथ्वी की सतह के नीचे गहराई $d$ पर $g$ के परिवर्तन के बराबर है। जब $d$ और $h$ दोनों पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत छोटे हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है? 1. [ ] $d=\dfrac{h}{2}$ 2. [ ] $d=\dfrac{3 h}{2}$ 3. [x] $d=2 h$ 4. [ ] $d=h$ ##### पृथ्वी का औसत घनत्व 1. [ ] $g$ पर निर्भर नहीं करता है 2. [ ] $g$ का एक जटिल फलन है 3. [x] $g$ के सीधे आनुपातिक है 4. [ ] $g$ के व्युत्क्रमानुपाती है ##### पृथ्वी के केंद्र से दूरी $d$ के साथ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ का परिवर्तन सर्वोत्तम रूप से किसके द्वारा दर्शाया गया है? ( $R=$ पृथ्वी की त्रिज्या) $\rightarrow$ JEE Main 2017 (ऑफलाइन) **विकल्प** 1. [ ] 4. [ ] 3. [x] 4. [ ]