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अध्ययन नोट्स: विद्युत क्षेत्र, विभव और धारिता

विषयसूची

1. विद्युत क्षेत्र और विभव
2. धारिता
3. संधारित्र में संचित ऊर्जा
4. समानांतर संयोजन के दौरान ऊर्जा हानि
5. सारांश

विद्युत क्षेत्र और विभव

विद्युत क्षेत्र

विद्युत क्षेत्र एक सदिश क्षेत्र है जो अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर परीक्षण आवेश पर लगने वाले बल प्रति इकाई आवेश का वर्णन करता है।

• बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र:
  $$ E = \frac{kQ}{r^2} $$

  • $k$ कूलम्ब नियतांक है ($8.99 \times 10^9 , \text{N·m}^2/\text{C}^2$)
  • $Q$ आवेश है
  • $r$ आवेश से दूरी है

• विद्युत क्षेत्र की दिशा:

  • धनात्मक आवेशों से दूर की ओर इंगित करता है
  • ऋणात्मक आवेशों की ओर इंगित करता है

विद्युत विभव

विद्युत विभव विद्युत क्षेत्र में किसी बिंदु पर प्रति इकाई आवेश पर विद्युत विभव ऊर्जा है।

• बिंदु आवेश के कारण विद्युत विभव:
  $$ V = \frac{kQ}{r} $$

  • $V$ वोल्ट (V) में विद्युत विभव है
  • $r$ आवेश से दूरी है

• विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच संबंध:
  $$ E = -\frac{dV}{dr} $$

  • विद्युत क्षेत्र, विद्युत विभव का ऋणात्मक ग्रेडिएंट है

धारिता

धारिता की परिभाषा

धारिता एक प्रणाली की विद्युत आवेश संचित करने की क्षमता है। इसे संग्रहीत आवेश और प्रणाली के पार विभवांतर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

$$ C = \frac{Q}{V} $$

• $C$ फैरड (F) में धारिता है
• $Q$ कूलम्ब (C) में आवेश है
• $V$ वोल्ट (V) में विभवांतर है

श्रृंखला और समानांतर में संधारित्र

परावैद्युत युक्त संधारित्र

• जब एक परावैद्युत पदार्थ को संधारित्र की प्लेटों के बीच डाला जाता है, तो धारिता परावैद्युत नियतांक $ \kappa $ के एक गुणक से बढ़ जाती है।

$$ C = \kappa C_0 $$

• $C_0$ परावैद्युत के बिना धारिता है
• $ \kappa $ परावैद्युत नियतांक (आयामहीन) है

संधारित्र में संचित ऊर्जा

ऊर्जा सूत्र

संधारित्र में संचित ऊर्जा को तीन समतुल्य रूपों में व्यक्त किया जा सकता है:

$$ U = \frac{1}{2} C V^2 $$ $$ U = \frac{1}{2} Q V $$ $$ U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} $$

संधारित्र में ऊर्जा घनत्व

संधारित्र में प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा को ऊर्जा घनत्व $ u $ कहा जाता है।

$$ u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 $$

• $u$ जूल प्रति घन मीटर (J/m³) में ऊर्जा घनत्व है
• $ \varepsilon_0 $ निर्वात परावैद्युतांक है ($8.85 \times 10^{-12} , \text{C}^2/\text{N·m}^2$)
• $E$ वोल्ट प्रति मीटर (V/m) में विद्युत क्षेत्र है

समानांतर संयोजन के दौरान ऊर्जा हानि

ऊर्जा हानि सूत्र

जब $ Q_1 $ और $ Q_2 $ आवेश वाले दो संधारित्रों को समानांतर में जोड़ा जाता है, तो ऊर्जा हानि निम्न द्वारा दी जाती है:

$$ \text{ऊर्जा में हानि} = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2 $$

• $ C_1 $ और $ C_2 $ धारिताएँ हैं
• $ V_1 $ और $ V_2 $ प्रारंभिक विभव हैं

यह हानि इसलिए होती है क्योंकि नए संतुलन तक पहुँचने के लिए प्रणाली आवेश और विभव का पुनर्वितरण करती है।

सारांश

चित्र

• [विद्युत क्षेत्र और विभव आरेख]: एक बिंदु आवेश के चारों ओर विद्युत क्षेत्र रेखाएँ और समविभव सतहें दर्शाने वाला आरेख।
• [संधारित्र विन्यास]: श्रृंखला और समानांतर में जुड़े संधारित्रों का दृश्य प्रतिनिधित्व।
• [परावैद्युत समावेशन]: संधारित्र की प्लेटों के बीच एक परावैद्युत पदार्थ डालने का आरेख।
• [ऊर्जा घनत्व दृश्य प्रतिनिधित्व]: एक संधारित्र में विद्युत क्षेत्र और ऊर्जा घनत्व के बीच संबंध दर्शाने वाला ग्राफ।

Practice Problems

##### त्रिज्या $r$ के एक बड़े ऊष्मारोधी गोले को $Q$ इकाई बिजली से आवेशित किया गया है और इसे त्रिज्या $r^{\prime}$ के एक छोटे ऊष्मारोधी अनावेशित गोले के संपर्क में लाया जाता है और फिर अलग कर दिया जाता है। छोटे गोले पर अब आवेश होगा 1. [ ] $Q\left(r+r^{\prime}\right)$ 2. [ ] $Q\left(r-r^{\prime}\right)$ 3. [ ] $\dfrac{Q}{r^{\prime}+r}$ 4. [x] $\dfrac{Q r^{\prime}}{r^{\prime}+r}$ ##### एक परिमित ऊष्मारोधी, अनावेशित चालक को एक परिमित धनात्मक आवेशित चालक के पास रखा जाता है। अनावेशित पिंड की विभव $\rightarrow$ JEE Main (Online) 2013 1. [x] आवेशित चालक से कम और अनंत से अधिक 2. [ ] आवेशित चालक से अधिक और अनंत से कम 3. [ ] आवेशित चालक से अधिक और अनंत से अधिक 4. [ ] आवेशित चालक से कम और अनंत से कम ##### एक आवेशित गोलाकार गेंद के अंदर विद्युत स्थैतिक विभव $\phi=a r^{2}+b$ द्वारा दिया जाता है, जहां $r$ केंद्र से दूरी है और $a, b$ स्थिरांक हैं। तो गेंद के अंदर आवेश घनत्व है $\rightarrow$ AIEEE 2011 1. [ ] $-6 a \varepsilon _{0} r$ 2. [ ] $-24 \pi a \varepsilon _{0}$ 3. [x] $-6 a \varepsilon _{0}$ 4. [ ] $-24 \pi a \varepsilon _{0} r$ ##### दो बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः 10 V और -4 V के विभव पर बनाए रखे जाते हैं। 100 इलेक्ट्रॉनों को $P$ से $Q$ तक ले जाने में किया गया कार्य है $\rightarrow$ AIEEE 2009 1. [ ] $-19 \times 10^{-17} \mathrm{J}$ 2. [ ] $9.60 \times 10^{-17} \mathrm{J}$ 3. [ ] $-2.24 \times 10^{-16} \mathrm{J}$ 4. [x] $2.24 \times 10^{-16} \mathrm{J}$ ##### एक निश्चित बिंदु से दूरी के साथ विद्युत विभव में परिवर्तन चित्र में दिखाया गया है। $x=2 \mathrm{m}$ पर विद्युत क्षेत्र का मान क्या है? 1. [x] शून्य 2. [ ] $6 / 2$ 3. [ ] $6 / 1$ 4. [ ] $6 / 3$ ##### अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु $(x, y, z)$ पर विद्युत विभव $V=4 x^{2}$ वोल्ट द्वारा दिया जाता है। $(1,0,2) m$ पर विद्युत क्षेत्र $\mathrm{Vm}^{-1}$ में है 1. [ ] 8, धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश 2. [x] 8 , ऋणात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश 3. [ ] 16, $x$-अक्ष के अनुदिश 4. [ ] 16 , $z$-अक्ष के अनुदिश ##### मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक विद्युत क्षेत्र $\mathrm{E}=30 x^{2} \hat{i}$ मौजूद है। तो विभवांतर $V _{A}-V _{O}$, जहां $V _{O}$ मूल बिंदु पर विभव है और $V _{A}$ $x=2 \mathrm{m}$ पर विभव है, होगा $\rightarrow$ JEE Main 2014 1. [ ] $120 \mathrm{J} / \mathrm{C}$ 2. [ ] $-120 \mathrm{J} / \mathrm{C}$ 3. [x] $-80 \mathrm{J} / \mathrm{C}$ 4. [ ] $80 \mathrm{J} / \mathrm{C}$