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अध्ययन नोट्स: प्रकाश तरंगों का व्यतिकरण

विषय सूची

1. व्यतिकरण का परिचय
2. मुख्य अवधारणाएँ और परिभाषाएँ
3. व्यतिकरण की शर्तें
   • 3.1 रचनात्मक व्यतिकरण
   • 3.2 विनाशी व्यतिकरण
4. गणितीय सूत्रीकरण
5. उदाहरण और अनुप्रयोग
6. निष्कर्ष

1. व्यतिकरण का परिचय

व्यतिकरण एक घटना है जिसमें दो या अधिक तरंगें अध्यारोपित होकर एक परिणामी तरंग बनाती हैं जिसका आयाम अधिक, कम या समान हो सकता है। यह अध्यारोपण के सिद्धांत के कारण होता है।

परिभाषा: व्यतिकरण वह घटना है जिसमें दो या अधिक तरंगें अध्यारोपित होकर एक परिणामी तरंग बनाती हैं जिसका आयाम अधिक, कम या समान होता है।

2. मुख्य अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

2.1 अध्यारोपण का सिद्धांत

जब दो या अधिक तरंगें एक बिंदु पर मिलती हैं, तो उस बिंदु पर परिणामी विस्थापन प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापनों का सदिश योग होता है।

परिभाषा: अध्यारोपण का सिद्धांत कहता है कि किसी भी बिंदु पर परिणामी तरंग उस बिंदु पर व्यक्तिगत तरंगों का योग होती है।

2.2 व्यतिकरण के प्रकार

• रचनात्मक व्यतिकरण: तब होता है जब तरंगें समान फेज में होती हैं, जिससे आयाम में वृद्धि होती है।
• विनाशी व्यतिकरण: तब होता है जब तरंगें विपरीत फेज में होती हैं, जिससे आयाम में कमी होती है।

3. व्यतिकरण की शर्तें

3.1 रचनात्मक व्यतिकरण

रचनात्मक व्यतिकरण तब होता है जब दो तरंगों के बीच फेज अंतर 0° या 360° होता है, या पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का पूर्णांक गुणक होता है।

गणितीय शर्तें

• फेज अंतर:
  $$ \phi = 2n\pi \quad \text{जहाँ } n = 0, 1, 2, \dots $$

• पथ अंतर:
  $$ \delta = n\lambda \quad \text{जहाँ } n = 0, 1, 2, \dots $$

परिणामी आयाम और तीव्रता

• आयाम:
  $$ A_R = A_1 + A_2 $$

• तीव्रता:
  $$ I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} $$

उदाहरण: जब समान आयाम और फेज वाली दो समकक्ष प्रकाश तरंगें मिलती हैं, तो वे रचनात्मक व्यतिकरण के कारण एक चमकीली फ्रिंज बनाती हैं।

3.2 विनाशी व्यतिकरण

विनाशी व्यतिकरण तब होता है जब दो तरंगों के बीच फेज अंतर (2n - 1)π होता है, या पथ अंतर तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणक होता है।

गणितीय शर्तें

• फेज अंतर:
  $$ \phi = (2n - 1)\pi \quad \text{जहाँ } n = 1, 2, 3, \dots $$

• पथ अंतर:
  $$ \delta = \left(2n - 1\right)\frac{\lambda}{2} \quad \text{जहाँ } n = 1, 2, 3, \dots $$

परिणामी आयाम और तीव्रता

• आयाम:
  $$ A_R = |A_1 - A_2| $$

What is the difference between $$ \phi = (2n - 1)\pi $$ and $$ \phi = \pi $$? What happens when n=1,2,…?

• तीव्रता:
  $$ I_R = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} $$

उदाहरण: जब समान आयाम लेकिन विपरीत फेज वाली दो समकक्ष प्रकाश तरंगें मिलती हैं, तो वे विनाशी व्यतिकरण के कारण एक गहरी फ्रिंज बनाती हैं।

4. गणितीय सूत्रीकरण

5. उदाहरण और अनुप्रयोग

5.1 यंग का द्विक-स्लिट प्रयोग

• सेटअप: दो समकक्ष प्रकाश स्रोत एक स्क्रीन पर व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करते हैं।
• परिणाम: रचनात्मक और विनाशी व्यतिकरण के कारण एकांतर चमकीली और गहरी फ्रिंजें।
• फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र:
  $$ \beta = \frac{\lambda D}{d} $$ जहाँ $ D $ स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी है, और $ d $ स्लिट्स के बीच का अंतर है।

चित्र:
चित्र: यंग के द्विक-स्लिट प्रयोग में व्यतिकरण फ्रिंजों को दर्शाता चित्र।

5.2 पतली फिल्म व्यतिकरण

• घटना: प्रकाश तरंगें एक पतली फिल्म की ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित होकर व्यतिकरण उत्पन्न करती हैं।
• अनुप्रयोग: एंटी-रिफ्लेक्टिव कोटिंग्स, पानी पर तेल की फिल्में, आदि।

6. निष्कर्ष

व्यतिकरण तरंग प्रकाशिकी में एक मौलिक अवधारणा है, जो प्रकाश की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित करती है। रचनात्मक और विनाशी व्यतिकरण को समझना भौतिकी, इंजीनियरिंग और प्रौद्योगिकी में अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है।

मुख्य संदेश: व्यतिकरण तरंगों के अध्यारोपण का परिणाम है, जो तरंगों के बीच फेज और पथ अंतर के आधार पर भिन्न तीव्रता वाले पैटर्न उत्पन्न करता है।

Practice Problems

##### एक दूरस्थ प्रकाश स्रोत का तरंगाग्र किस आकार का होता है 1. [ ] गोलाकार 2. [ ] बेलनाकार 3. [ ] अण्डाकार 4. [x] समतल ##### यंग के द्विक रेखा छिद्र प्रयोग में, दो कला-संबद्ध स्रोतों को 0.90 mm की दूरी पर रखा जाता है और फ्रिंजों को एक मीटर दूर देखा जाता है। यदि यह केंद्रीय फ्रिंज से 1 mm की दूरी पर दूसरी अंधेरी फ्रिंज उत्पन्न करता है, तो प्रयुक्त एकवर्णी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य होगी 1. [ ] $60 \times 10^{-4} \mathrm{cm}$ 2. [ ] $10 \times 10^{-4} \mathrm{cm}$ 3. [ ] $10 \times 10^{-5} \mathrm{cm}$ 4. [x] $6 \times 10^{-5} \mathrm{cm}$ ##### यंग के द्विक रेखा छिद्र प्रयोग में, दोनों रेखा छिद्र समान आयाम $A$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के तरंगों के कला-संबद्ध स्रोतों के रूप में कार्य करते हैं। एक अन्य प्रयोग में समान व्यवस्था के साथ दोनों रेखा छिद्रों को समान आयाम और तरंगदैर्ध्य के तरंगों के अकला-संबद्ध स्रोतों के रूप में बनाया जाता है। यदि पहले मामले में स्क्रीन के मध्य बिंदु पर तीव्रता $l _{1}$ है और दूसरे मामले में $l _{2}$ है, तो अनुपात $\dfrac{l _{1}}{l _{2}}$ होगा $\rightarrow$ AIEEE 2012 1. [ ] 4 2. [x] 2 3. [ ] 1 4. [ ] 0.5 ##### प्रकाश का एक मिश्रण जिसमें 590 nm तरंगदैर्ध्य और एक अज्ञात तरंगदैर्ध्य शामिल है, यंग के द्विक रेखा छिद्र को प्रकाशित करता है और स्क्रीन पर दो अतिव्यापी व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करता है। दोनों प्रकाशों का केंद्रीय उच्चिष्ठ संपाती होता है। इसके अलावा, यह देखा जाता है कि ज्ञात प्रकाश की तीसरी चमकीली फ्रिंज अज्ञात प्रकाश की चौथी चमकीली फ्रिंज के साथ मेल खाती है। इस डेटा से, अज्ञात प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है $\rightarrow$ AIEEE 2003 1. [ ] 885.0 nm 2. [x] 442.5 nm 3. [ ] 776.8 nm 4. [ ] 393.4 nm ##### दो कला-संबद्ध बिंदु स्रोत $S _{1}$ और $S _{2}$ को छोटी दूरी $d$ से अलग किया गया है जैसा कि दिखाया गया है। स्क्रीन पर प्राप्त फ्रिंज होंगी $\rightarrow$ JEE Main 2013 1. [ ] बिंदु 2. [ ] सीधी रेखाएँ 3. [ ] अर्ध-वृत्त 4. [x] संकेंद्रित वृत्त