वृत्त

वृत्त को एक बिंदु का बिंदुपथ परिभाषित किया जाता है जो एक तल में इस प्रकार गति करता है कि उस तल में एक निश्चित बिंदु से उसकी दूरी स्थिर रहती है।

वृत्त के मानक रूप

(i) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$

• यदि केंद्र $(0,0)$ है, तो वृत्त का समीकरण है $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

(ii) जब वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है, तो वृत्त का समीकरण है $$x^{2}+y^{2}-2 h x-2 {ky}=0$$

(iii) जब वृत्त $\mathrm{X}$-अक्ष को स्पर्श करता है, तो समीकरण है $$\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{hx}-2 \mathrm{ay}+\mathrm{h}^{2}=\mathrm{O}$$

(iv) वृत्त का समीकरण, जो $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है, है $$x^{2}+y^{2}-2 a x-2 k y+k^{2}=0$$

(v) वृत्त का समीकरण, जो दोनों अक्षों को स्पर्श करता है, है $$x^{2}+y^{2}-2 a x-2 a y+a^{2}=0$$

(vi) वृत्त का समीकरण जो मूल बिंदु से गुजरता है और जिसका केंद्र $\mathrm{X}$-अक्ष पर स्थित है, है

$$\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{ax}=0$$

(vii) वृत्त का समीकरण जो मूल बिंदु से गुजरता है और जिसका केंद्र Y-अक्ष पर स्थित है, है $$x^{2}+y^{2}- 2ay =0$$

(viii) वृत्त का समीकरण जो मूल बिंदु से गुजरता है और निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a$ और $b$ काटता है, है $$x^{2}+y^{2}-ax- by =0$$

(ix) वृत्त का समीकरण, जब एक व्यास के अंत बिंदुओं के निर्देशांक $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ और $\left(\mathrm{x} _{2}\right.,{y} _{2})$ हैं, है

$$\left(\mathrm{x}-\mathrm{x} _{1}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x} _{2}\right)+\left(\mathrm{y}-\mathrm{y} _{1}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{y} _{2}\right)=0$$

(x) वृत्त का समीकरण जो तीन दिए गए बिंदुओं $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right),\left(\mathrm{x} _{2}, \mathrm{y} _{2}\right)$ और $\left(\mathrm{x} _{3}, \mathrm{y} _{3}\right)$ से गुजरता है, है

$$ \left|\begin{array}{llll} x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\ x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1 \end{array}\right|=0 . $$

(xi) एक वृत्त का प्राचलिक समीकरण

• वृत्त $(\mathrm{x}-\mathrm{h})^{2}+(\mathrm{y}-\mathrm{k})^{2}=\mathrm{a}^{2}$ के लिए

$$\mathrm{x}=\mathrm{h}+\mathrm{a} \cos \theta, \mathrm{y}=\mathrm{k}+\mathrm{a} \sin \theta,0 \leq \theta \leq 2 \pi$$

• वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{a}^{2}$ के लिए $$\mathrm{x}=\mathrm{a} \cos \theta, \mathrm{y}=\mathrm{a} \sin \theta,0 \leq \theta \leq 2 \pi$$

वृत्त का सामान्य समीकरण

वृत्त का सामान्य समीकरण $$x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0, $$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ वृत्त का केंद्र $$C=(-\mathrm{g},-\mathrm{f})$$

और वृत्त की त्रिज्या $$r=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$$

• यदि $g^{2}+f^{2}-c>0$, तो वृत्त की त्रिज्या वास्तविक होती है और इसलिए वृत्त भी वास्तविक होता है।

• यदि $g^{2}+f^{2}-c=0$, तो वृत्त की त्रिज्या 0 होती है और वृत्त को बिंदु वृत्त कहा जाता है।

• यदि $g^{2}+f^{2}-c<0$, तो वृत्त की त्रिज्या काल्पनिक होती है। ऐसा वृत्त काल्पनिक होता है, जिसे खींचना संभव नहीं है।

एक वृत्त के सापेक्ष एक बिंदु की स्थिति

माना $(x_{1}, y_{1})$ एक बिंदु है और एक वृत्त

$$ S \equiv x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0 $$

• भीतर $S_{1} < 0$
• बाहर $S_{1} >0$
• वृत्त पर $S_{1} =0$, जहाँ

$$ S_{1} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2gx_{1} + 2fy_{1} + c $$

अक्षों पर अंतःखंड

(i) वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ द्वारा $X$ और $Y$-अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों की लंबाई $2 \sqrt{g^{2}-\mathrm{c}} \quad\text{and} \quad2 \sqrt{f^{2}-\mathrm{c}}$

(ii) यदि $g^{2}>c$, तो समीकरण $x^{2}+2 g x+c=0$ के मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं, इसलिए वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$, $X$-अक्ष को दो वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर काटता है।

(iii) यदि $g^{2}=c$, तो समीकरण $x^{2}+2 g x+c=0$ के मूल वास्तविक और समान होते हैं, इसलिए वृत्त $\mathrm{X}$-अक्ष को स्पर्श करता है, तब $\mathrm{X}$-अक्ष पर अंतःखंड $\mathrm{O}$ है।

(iv) यदि $g^{2}<c$, तो समीकरण $x^{2}+2 g x+c=0$ के मूल काल्पनिक होते हैं, इसलिए दिया गया वृत्त $X$-अक्ष को वास्तविक बिंदु पर नहीं काटता। इसी प्रकार, वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$, $\mathrm{Y}$-अक्ष को वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर काटता है, स्पर्श करता है या वास्तविक बिंदु पर नहीं मिलता है, यह $\mathrm{f}^{2}>$, $=$ या $<\mathrm{c}$ के अनुसार होता है।

स्पर्श रेखा का समीकरण

PYQ-2023-Circle-Q3 , PYQ-2023-Circle-Q4

(i) बिंदु रूप

• बिंदु $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ पर वृत्त $x^{2}+y^{2} +2 g x+2 f y+c=0$ की स्पर्श रेखा का समीकरण है $$\mathrm{xx} _{1}+\mathrm{yy} _{1}+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\mathrm{x} _{1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}+\mathrm{y} _{1}\right)+\mathrm{c}=0$$

• बिंदु $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ पर वृत्त $x^{2}+y^{2}$ की स्पर्श रेखा का समीकरण है $$x x_{1}+y y_{1}=r^{2}$$

(ii) ढाल रूप

• ढाल $m$ वाली वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ की स्पर्श रेखा का समीकरण है $$y+f=m(x+g) \pm \sqrt{ \left(g^{2}+f^{2}-c\right)\left(1+m^{2}\right)}$$

• ढाल $m$ वाली वृत्त $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ की स्पर्श रेखाओं का समीकरण है $y-b=m(x- a)$ $\pm \mathrm{r} \sqrt{ \left(1+\mathrm{m}^{2}\right)}$ और संपर्क बिंदुओं के निर्देशांक हैं

$$ \left(a \pm \frac{m r}{\sqrt{1+m^{2}}}, b \mp \frac{r}{\sqrt{1+m^{2}}}\right) $$

• ढाल $m$ वाली वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ की स्पर्श रेखाओं का समीकरण है $y=m x \pm r \sqrt{ \left(1+m^{2}\right)}$ और संपर्क बिंदु के निर्देशांक हैं

$$ \left( \pm \frac{r m}{\sqrt{1+m^{2}}}, \mp \frac{r}{\sqrt{1+m^{2}}}\right) $$

(iii) प्राचलिक रूप

वृत्त $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ की बिंदु $(a+r \cos \theta, b+r$ $\sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है $$(x-a) \cos \theta+(y-b) \sin \theta=r$$

अभिलंब का समीकरण

(i) बिंदु रूप

• बिंदु $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ पर वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ के अभिलंब का समीकरण है $$y - y_{1} = (\frac{y_{1} + f}{x_{1} + g})(x - x_{1})$$

अर्थात $$\left(\mathrm{y} _{1}+\mathrm{f}\right) \mathrm{x}-\left(\mathrm{x} _{1}+\mathrm{g}\right) \mathrm{y}+\left(\mathrm{gy} _{1}-\mathrm{fx} _{1}\right)=0$$

• बिंदु $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ पर वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}$ के अभिलंब का समीकरण है $$\frac{x}{x _{1}} = \frac{y}{y _{1}}$$

(ii) प्राचलिक रूप

वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ के बिंदु $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण है $$\frac{x}{r} \cos \theta= \frac{y}{r} \sin \theta \quad \text{or} \quad \mathrm{y}=\mathrm{x} \tan \theta$$

याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बिंदु

(i) रेखा $y=m x+c$ वृत्त को एक अद्वितीय वास्तविक बिंदु पर मिलती है या वृत्त को स्पर्श करती है $\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^2$, यदि $$r = \left| \frac{c}{\sqrt{1 + m^2}} \right|$$

और संपर्क बिंदु हैं

$$ \left(\frac{ \pm m r}{\sqrt{1+m^{2}}}, \frac{\mp r}{\sqrt{1+m^{2}}}\right) $$

(ii) रेखा $\mathrm{lx}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ को स्पर्श करती है, यदि $$\mathrm{r}^{2}\left(\mathrm{l}^{2}+\mathrm{m}^{2}\right)=\mathrm{n}^{2}$$

(iii) बिंदु $P(\theta)$ पर वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ की स्पर्श रेखा है $$x \cos \theta+y \sin \theta=r$$

(iv) वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=$ $r^{2}$ पर बिंदुओं $\mathrm{P}\left(\theta_{1}\right)$ और $\mathrm{Q}\left(\theta_{2}\right)$ पर स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु

$$x = \frac{r \cos \left(\frac{\theta_{1} + \theta_{2}}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\theta_{1} - \theta_{2}}{2}\right)} \quad \text{and} \quad y = \frac{r \sin \left(\frac{\theta_{1} + \theta_{2}}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\theta_{1} - \theta_{2}}{2}\right)}$$

(v) वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब एक सीधी रेखा होती है जो वक्र के उस बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है और यह वृत्त के केंद्र से गुजरती है।

(vi) बिंदु $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ की वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0$ के सापेक्ष घात है $$\mathrm{x} _{1}{ }^{2}+\mathrm{y} _{1}{ }^{2}+2 \mathrm{gx} _{1}+2 \mathrm{fy} _{1}+\mathrm{c}$$

(vii) यदि $\mathrm{P}$ एक बिंदु है और $\mathrm{C}$ त्रिज्या $\mathrm{r}$ के एक वृत्त का केंद्र है, तो $\mathrm{P}$ की वृत्त से अधिकतम और न्यूनतम दूरियाँ क्रमशः $\mathrm{CP}+\mathrm{r}$ और $\mathrm{CP}-\mathrm{r}$ हैं।

(viii) यदि एक रेखा वृत्त की त्रिज्या के लंबवत है और वह त्रिज्या के वृत्त पर स्थित अंत बिंदु पर है, तो वह रेखा वृत्त की एक स्पर्श रेखा होती है और इसका विलोम भी सत्य है।

स्पर्श रेखाओं का युग्म

PYQ-2023-Circle-Q5 , PYQ-2023-Circle-Q9

(i) एक बिंदु $\mathrm{P}\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ से वृत्त $\mathrm{x}^{2}+$ $y^{2}=r^{2}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का संयुक्त समीकरण है

$$\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)\left(x _{1}^{2}+y _{1}^{2}-r _{1}^{2}\right)=\left(xx _{1}+yy _{1}-r^{2}\right)^{2}$$

या $$\mathrm{SS} _{1}=\mathrm{T}^{2}$$

जहाँ $$S=x^{2}+y^{2}-r^{2}, S _{1}=x _{1}{ }^{2}+y _{1}{ }^{2}-r _{1}{ }^{2}$$

और $$\mathrm{T}=\mathrm{xx} _{1}+\mathrm{yy} _{1}-\mathrm{r}^{2}$$

(ii) बिंदु $P\left(x _{1}, y _{1}\right)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई के बराबर है

$$ \sqrt{x _{1}^{2}+y _{1}^{2}+2 g x _{1}+2 f y _{1}+c}=\sqrt{S _{1}} $$

(iii) $\mathrm{P}\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की संपर्क जीवा TT'

• वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}$ के लिए $$\mathrm{T}=0$$

• वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ के लिए है

$$xx_{1}+yy_{1}+g\left(x+x_{1}\right)+f\left(y+y_{1}\right)+c=0$$

(iv) एक दिए गए बिंदु पर समद्विभाजित जीवा का समीकरण

वृत्त $\mathrm{S} \equiv$ $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0$ की जीवा का समीकरण जो बिंदु $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ पर समद्विभाजित होती है, $$\mathrm{T}=\mathrm{S} _{1},\quad\text{where}\quad S _1=\mathrm{x} _{1}^{2}+\mathrm{y} _{1}^{2}+2 \mathrm{gx} _{1}+2\mathrm{fy} _{1}+\mathrm{c}$$

अर्थात, $$T=\mathrm{xx} _{1}+\mathrm{yy} _{1}+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\mathrm{x} _{1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}+\mathrm{y} _{1}\right)+\mathrm{c}$$

(v) नियामक वृत्त दो परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ, दिए गए वृत्त के लिए, नियामक वृत्त कहलाता है। वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ के लिए,

नियामक वृत्त का समीकरण है $$x^{2}+y^{2}=2 r^{2}$$

उभयनिष्ठ जीवा

दो दिए गए वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा को उभयनिष्ठ जीवा कहते हैं।

(i) यदि $S _{1}=0$ और $S _{1}=0$ दो वृत्त हों, जैसे कि

$$S_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 g_{1} x + 2 f_{1} y + c_{1} = 0, S_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 g_{2} x + 2 f_{2} y + c_{2} = 0$$

तो उनकी उभयनिष्ठ जीवा द्वारा दी जाती है $$\mathrm{S} _{1}-\mathrm{S} _{2}=0$$

(ii) यदि $\mathrm{C} _{1}, \mathrm{C} _{2}$ दिए गए वृत्तों के केंद्रों को निरूपित करते हैं, तो उनकी उभयनिष्ठ जीवा

$$PQ = 2PM = 2\sqrt{(C _{1}P)^{2} - (C _{1}M)^{2}}$$

(iii) यदि $r_{1}$, और $r_{2}$ दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हों, तो उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई है $$\frac{2 r_{1} r_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}}$$

दो वृत्तों का प्रतिच्छेदन कोण

दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन कोण को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो दिया जाता है

$$\cos \theta = \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - d^{2}}{2 r_{1} r_{2}}$$

लंबकोणीय वृत्त

दो वृत्त लंबकोणीय कहलाते हैं, यदि उनका प्रतिच्छेदन कोण एक समकोण है।

यदि दो वृत्त $\mathrm{S} _{1} \equiv \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{~g} _{1} \mathrm{x}+2 \mathrm{f} _{1} \mathrm{y}+\mathrm{c} _{1}=0$ और $\mathrm{S} _{2} \equiv \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{~g} _{2} \mathrm{x}+2 \mathrm{f} _{2} \mathrm{y}+\mathrm{c} _{2}=0$ लंबकोणीय हैं, तो $$2 \mathrm{~g} _{1} \mathrm{~g} _{2}+2 \mathrm{f} _{1} \mathrm{f} _{2}=\mathrm{c} _{1}+\mathrm{c} _{2}$$

वृत्तों का कुल

(i) एक वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x$ $+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0$ और एक रेखा $\mathrm{L}=1 \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के कुल का समीकरण है $$\mathrm{S}+\lambda \mathrm{L}=0$$

जहाँ $ \lambda $ कोई वास्तविक संख्या है।

(ii) बिंदु $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ और $B\left(x_{1}, y_{1}\right)$ से गुजरने वाले वृत्तों के कुल का समीकरण है $$\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)+\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\lambda\left|\begin{array}{lll}x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1\end{array}\right|=0$$

(iii) वृत्त $S \equiv x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ को बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का समीकरण है

$$x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c + \lambda\left[x x_{1} + y y_{1} + g(x + x_{1}) + f(y + y_{1}) + c\right] = 0$$

या $$S + \lambda L = 0$$ जहाँ $L = 0$, $S = 0$ पर $(x_{1}, y_{1})$ की स्पर्श रेखा का समीकरण है और $\lambda \in \mathbb{R}$

(iv) दो वृत्तों $S_{1}$ और $S_{2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाला कोई भी वृत्त है

$$S_{1} + \lambda\left(S_{1} - S_{2}\right) = 0$$

मूल अक्ष

(i) दो वृत्तों का मूल अक्ष एक बिंदु का बिंदुपथ है जो इस प्रकार गति करता है कि उससे दोनों वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान हो।

(ii) दो वृत्तों $S_{1}=0$ और $S_{2}=0$ का मूल अक्ष द्वारा दिया जाता है $$S_{1}-S_{2}=0$$

(iii) दो वृत्तों का मूल अक्ष सदैव वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के लंबवत होता है।

(iv) तीन वृत्तों का मूल अक्ष, जिनके केंद्र असंरेखी हैं, युग्मों में लिए जाने पर, संगामी होते हैं।

(v) दो दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटने वाले वृत्त का केंद्र, उनके मूल अक्ष पर स्थित होता है।

(vi) मूल केंद्र तीन वृत्तों के मूल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु, जिनके केंद्र असंरेखी हैं और जिन्हें युग्मों में लिया गया है, उनका मूल केंद्र कहलाता है।

ध्रुव और ध्रुवी

(i) यदि एक बिंदु $\mathrm{P}\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ (एक वृत्त के भीतर या बाहर) से कोई सीधी रेखा खींची जाए जो दिए गए वृत्त को $\mathrm{Q}$ और $\mathrm{R}$ पर मिलती है, तो $\mathrm{Q}$ और $\mathrm{R}$ पर स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ $\mathrm{P}$ का ध्रुवी कहलाता है और $\mathrm{P}$ पर ध्रुवी का ध्रुव कहलाता है।

(ii) वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ के लिए ध्रुवी का समीकरण है $$x x_{1}+y y_{1}=r^{2}$$

(iii) वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ के लिए ध्रुवी का समीकरण है $$x x_{1} + y y_{1} + g(x + x_{1}) + f(y + y_{1}) + c = 0$$

(iv) संयुग्मी बिंदु: दो बिंदु $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ एक दिए गए वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी बिंदु हैं, यदि प्रत्येक बिंदु दूसरे के ध्रुवी पर वृत्त के सापेक्ष स्थित हो।

(v) संयुग्मी रेखाएँ: संयुग्मी यदि दो रेखाएँ ऐसी हों कि एक का ध्रुव दूसरी पर स्थित हो, तो उन्हें दिए गए वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी रेखाएँ कहा जाता है।

वृत्तों का समाक्षीय निकाय

वृत्तों के एक निकाय को समाक्षीय वृत्तों का निकाय कहा जाता है, यदि निकाय में प्रत्येक युग्म के वृत्तों का मूल अक्ष समान हो। समाक्षीय वृत्तों के एक निकाय का समीकरण, जब मूल अक्ष का समीकरण $P \equiv lx$ $+m y+n=0$ और निकाय के एक वृत्त का समीकरण $S=x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ है, तो $$S+\lambda \mathrm{P}=0$$

चूँकि, दो वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उनके मूल अक्ष के लंबवत होती है। इसलिए, एक समाक्षीय निकाय के सभी वृत्तों के केंद्र एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जो उभयनिष्ठ मूल अक्ष के लंबवत होती है।

याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बिंदु

(i) एक रेखा $\mathrm{L}=\mathrm{0}$ को उस पर एक बिंदु $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण है

$$\left(\mathrm{x}-\mathrm{x} _{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}-\mathrm{y} _{1}\right)^{2}+\lambda\mathrm{L}=0$$

(ii) शीर्षों $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right),\left(\mathrm{x} _{2}, \mathrm{y} _{2}\right),\left(\mathrm{x} _{3}, \mathrm{y} _{3}\right)$ वाले त्रिभुज का परिवृत्त है

$$\frac{(x - x_{1})(x - x_{2}) + (y - y_{1})(y - y_{2})}{(x_{3} - x_{1})(x_{3} - x_{2}) + (y_{3} - y_{1})(y_{3} - y_{2})}$$

या

$$\frac{\left|\begin{array}{ccc} x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} x_{3} & y_{3} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{array}\right|}$$

(iii) एक रेखा एक दिए गए वृत्त को दो भिन्न वास्तविक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, यदि केंद्र से लंब की लंबाई वृत्त की त्रिज्या से कम है।

(iv) रेखा $y=m x+c$ द्वारा वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ से काटे गए अंतःखंड की लंबाई है $$2 \sqrt{\frac{a^{2}\left(1+m^{2}\right)-c^{2}}{1+m^{2}}}$$

(v) सामान्यतः, एक वृत्त पर उसके तल में एक दिए गए बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। यदि $\mathrm{m} _{1}$ और $m _{2}$ बिंदु $P\left(x _{1}, y _{1}\right)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढालें हैं, तो

$$ m_{1}+m_{2}=\frac{2 x_{1} y_{1}}{x_{1}^{2}-a^{2}} \text { and } m_{1} \times m_{2}=\frac{y_{1}^{2}-a^{2}}{x_{1}^{2}-a^{2}} $$

(vi) $\mathrm{lx}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0$ का $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{a}^{2}$ के सापेक्ष ध्रुव है

$$ \left(-\frac{a^{2} l}{n},-\frac{a^{2} m}{n}\right) $$

(vii) माना $S_{1}=0, S_{2}=0$ दो वृत्त हैं जिनकी त्रिज्याएँ $r_{1}, r_{2}$ हैं, तो $$\frac{S_{1}}{r_{1}} \pm \frac{S_{2}}{r_{2}} = 0$$ समकोण पर मिलेंगे।

(viii) बिंदु $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण है

$$2 \tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{S_{1}}}\right)$$

(ix) बिंदु $(0,0)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं का युग्म समकोण पर होगा, यदि $\mathrm{g}^{2}+\mathrm{f}^{2}=2 \mathrm{c}$

(x) यदि $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ के एक व्यास का एक सिरा है, तो दूसरा सिरा होगा $\left(-2 \mathrm{~g}-\mathrm{x} _{1},-2 \mathrm{f}-\mathrm{y} _{1}\right)$

रेखा दर्पण द्वारा वृत्त का प्रतिबिंब

माना वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ है और रेखा दर्पण $\mathrm{l} \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0$ है, तो वृत्त का प्रतिबिंब है

$$\left(\mathrm{x}-\mathrm{x} _{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}-\mathrm{y} _{1}\right)^{2}=\mathrm{r}^{2}$$

जहाँ, $r=\sqrt{ g^{2}+f^{2}-c}$

वृत्त का व्यास

एक वृत्त की समांतर जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ, वृत्त का व्यास कहलाता है।

(i) वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ की समांतर जीवाओं $y=m x+c$ को समद्विभाजित करने वाले व्यास का समीकरण है $$\mathrm{x}+\mathrm{my}=0$$

(ii) एक वृत्त की समांतर जीवाओं के निकाय के संगत व्यास सदैव वृत्त के केंद्र से गुजरता है और समांतर जीवाओं के लंबवत होता है।

दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ

माना दो वृत्तों के केंद्र और त्रिज्याएँ क्रमशः $C_{1}, C_{2}$ और $r_{1}, r_{2}$ हैं।

(i) जब एक वृत्त दूसरे वृत्त को समाहित करता है, तो कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा संभव नहीं है।

प्रतिबंध: $$C_{1}C_{2} < |r_{1} - r_{2}|$$

(ii) जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, तो एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा संभव है।

प्रतिबंध: $$C_{1}C_{2} = |r_{1} - r_{2}|$$

(iii) जब दो वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं, तो दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

प्रतिबंध: $$|r_{1} - r_{2}| < C_{1}C_{2} < |r_{1} + r_{2}|$$

(iv) जब दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो तीन उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

प्रतिबंध: $$C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2}$$

(v) जब दो वृत्त अलग-अलग होते हैं, तो चार उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

प्रतिबंध: $$C_{1}C_{2} > r_{1} + r_{2}$$